22.3.2二次函数与最大利润问题 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
22.3.2二次函数与最大利润问题
人教版九年级上册
教学目标
教学目标： 1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最
大利润问题.
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
教学重点:能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
教学难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
新知导入
情境引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
新知讲解
合作学习
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
18000
6000
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
新知 利润问题中的数量关系
【数量关系】
探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，
如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．
我们先来看涨价的情况．
(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时，每星期少卖_____件，实际卖出__________件，销售额为_________________元，买进商品需付____________元．
因此，所得利润___________________________________，
即y＝－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30.
根据上面的函数，填空：
当x＝__时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价__元，即定价___元时，利润最大，最大利润是________．
10x
(300－10x)
(60＋x)(300－10x)
40(300－10x)
y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)
5
5
65
6250元
怎样确定x的
取值范围
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论，自己写出答案．
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件,实际卖出（300+20x）件，销售额为（60-x)（300+20x）元，买进商品需付40（300+20x）元，
因此，得利润 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),
即y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20），
当x=2.5时，y最大，
也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，
即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，
你知道应如何定价能使利润最大了吗？
定价为65元时，利润最大.
提炼概念
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
典例精讲
例 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为 y元，
则 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440.
∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x< 20.
当x=2时，y最大= 19 440.
这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人
最高，最高收入为 19 440 元.
归纳概念
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
课堂练习
1. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .
每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式
为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
2.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外.现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,那么每天可售出50箱；如果每箱产品每涨价1元,那么日销售量将减少2箱.
(1)现该销售点每天要盈利600元,同时又要使顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高
解：(1)设每箱产品应涨价x元,则每天可售出__________箱,每箱盈利__________元.
依题意得方程______________＝600.
整理,得____________＝0.
解这个方程,得x1＝________,x2＝________.
(50－2x)
(10＋x)
(50－2x)(10＋x)
x2－15x＋50
5
10
因为要使顾客得到实惠,所以舍去x＝________,取x＝________.
答：每箱产品应涨价________元.
(2)设利润为y元,则y＝______________.
整理成一般形式,得y＝______________.
配方,得y＝_________________.
所以每箱产品应涨价________元,才能获利最高.
10
5
5
(50－2x)(10＋x)
－2x2＋30x＋500
－2(x－7.5)2＋612.5
7.5
3. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800.
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大，
∴当x最大= 50时，Q最大= 1200.
答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=60,
70k+b=20,
∴
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）.
解得
k =－2,
b = 160.
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x + 160)
=－2x2 + 220x－ 4800
=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70).
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250.
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
最大利润是1250元.
（3）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在.
60x－1800 , （40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
Q =
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218.解得x1=51，x2=59.
由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218.
因此若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
x
Q
0
55
1218
59
51
1250
（4）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
解：由题意得
51≤x≤59,
30 (－2 x +160)≥1620.
解得：51≤x≤53.
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大.
∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242.
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
x
Q
o
55
1242
53
51
课堂总结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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