22.3.2二次函数与最大利润问题 学案
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课题 22.3.2二次函数与最大利润问题 单元 第22单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
重点 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
难点 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
教学过程
导入新课 【引入思考】日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？探究：利用二次函数解决商品利润最大问题问题 某商品现在的售价为每件60元， ( http: / / www.21cnjy.com )每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.2·1·c·n·j·y探究 某商品现在的售价为每件60元，每 ( http: / / www.21cnjy.com )星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？21·世纪*教育网◆涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润 (元)销售量 (件)每星期利润 (元)正常销售涨价销售②自变量x的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？◆降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润 (元)销售量 (件)每星期利润 (元)正常销售降价销售②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
新知讲解 提炼概念 小结：二次函数解决销售利润最值问题的步骤：1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；2.结合实际意义，确定自变量的取值范围.；3.在自变量的取值范围内确定最大利润.可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.典例精讲 例 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
课堂练习 巩固训练 1. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. 2.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外.现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,那么每天可售出50箱；如果每箱产品每涨价1元,那么日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天要盈利600元,同时又要使顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元 (2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高 解：(1)设每箱产品应涨价x元,则每天可售出__________箱,每箱盈利__________元.依题意得方程______________＝600.整理,得____________＝0.解这个方程,得x1＝________,x2＝________.因为要使顾客得到实惠,所以舍去x＝________,取x＝________.答：每箱产品应涨价________元.(2)设利润为y元,则y＝______________.整理成一般形式,得y＝______________.配方,得y＝_________________.所以每箱产品应涨价________元,才能获利最高.3. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1) 当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 【来源：21cnj*y.co*m】 ( http: / / www.21cnjy.com )（3） 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；（4）在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？21*cnjy*c答案引入思考18000，6000探究： 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析 调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先分析涨价的情况.利润=（售价-进价）×销售量解：设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化. 当涨价 x 元时，售价变为(60+x)元，每星期少10x卖件，实际卖出(300-10x)件，因此，所得利润为y=(60+x-40)(300-10x)= -10x2+100x+6000自变量的取值范围是多少？自变量x要满足以下条件：解得0≤x≤30∵a=-10<0，开口向下∴当 时，y最大.所以，涨价5元时，即定价60+5=65元时，利润最大，最大利润为 6250 元.如何求降价时的利润呢？解：设每件降价 x 元，则售价变为(60-x)元，每星期多卖20x件，实际卖出(300+20x)件，因此，所得利润为y=(60-x-40)(300+20x)= -20x2+100x+6000，其中0≤x≤20.∵a=-20<0，开口向下∴当时，y最大.所以，降价2.5元时，即定价60-2.5=57.5元时，利润最大，最大利润为 6125 元.∵6250>6125∴定价 65 元时，利润最大.提炼概念 典例精讲 例：21c例n解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为 y元，则 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440. ∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x< 20.当x=2时，y最大= 19 440.这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人最高，最高收入为 19 440 元.j*y. 巩固训练1.y=2000-5(x-100)，w=[2000-5(x-100)](x-80)2.（1）(50－2x)，(10＋x)，(50－2x)(10＋x)，x2－15x＋50，5,10. 10,5，5.（2）(50－2x)(10＋x)，－2x2＋30x＋500，－2(x－7.5)2＋612.5，7.53.解：（1）由题意得：当40≤x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )50时，Q = 60(x－30)= 60x－1800，∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大，∴当x最大= 50时，Q最大= 1200.【来源：21·世纪·教育·网】答：此时每月的总利润最多是1200元. （2）当50≤x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).【版权所有：21教育】解得∴y =－2x +160（50≤x≤70）..∴Q=(x－30)y =(x－30 ( http: / / www.21cnjy.com ))(－2x + 160)=－2x2 + 220x－ 4800=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ，∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （3）Q与x的函数关系式为：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200 ( http: / / www.21cnjy.com )＜1218，∴此情况不存在. ②当50≤x≤70时，Q最大= 1250>1218，令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218解得：x1=51，x2=59.由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59. （4） 解：由题意得： 解得：51≤x≤53.又∵a =－2＜0，∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大∴当x= 53时，Q最大= 1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
课堂小结 小最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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课题 22.3.2二次函数与最大利润问题 单元 第22单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
重点 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
难点 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
教学过程
导入新课 【引入思考】日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？探究：利用二次函数解决商品利润最大问题问题 某商品现在的售价为每件60元， ( http: / / www.21cnjy.com )每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.2·1·c·n·j·y探究 某商品现在的售价为每件60元，每 ( http: / / www.21cnjy.com )星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？21·世纪*教育网◆涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润 (元)销售量 (件)每星期利润 (元)正常销售涨价销售②自变量x的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？◆降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润 (元)销售量 (件)每星期利润 (元)正常销售降价销售②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
新知讲解 提炼概念 小结：二次函数解决销售利润最值问题的步骤：1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；2.结合实际意义，确定自变量的取值范围.；3.在自变量的取值范围内确定最大利润.可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.典例精讲 例 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
课堂练习 巩固训练 1. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. 2.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外.现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,那么每天可售出50箱；如果每箱产品每涨价1元,那么日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天要盈利600元,同时又要使顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元 (2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高 解：(1)设每箱产品应涨价x元,则每天可售出__________箱,每箱盈利__________元.依题意得方程______________＝600.整理,得____________＝0.解这个方程,得x1＝________,x2＝________.因为要使顾客得到实惠,所以舍去x＝________,取x＝________.答：每箱产品应涨价________元.(2)设利润为y元,则y＝______________.整理成一般形式,得y＝______________.配方,得y＝_________________.所以每箱产品应涨价________元,才能获利最高.3. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1) 当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 【来源：21cnj*y.co*m】 ( http: / / www.21cnjy.com )（3） 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；（4）在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？21*cnjy*c答案引入思考18000，6000探究： 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析 调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先分析涨价的情况.利润=（售价-进价）×销售量解：设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化. 当涨价 x 元时，售价变为(60+x)元，每星期少10x卖件，实际卖出(300-10x)件，因此，所得利润为y=(60+x-40)(300-10x)= -10x2+100x+6000自变量的取值范围是多少？自变量x要满足以下条件：解得0≤x≤30∵a=-10<0，开口向下∴当 时，y最大.所以，涨价5元时，即定价60+5=65元时，利润最大，最大利润为 6250 元.如何求降价时的利润呢？解：设每件降价 x 元，则售价变为(60-x)元，每星期多卖20x件，实际卖出(300+20x)件，因此，所得利润为y=(60-x-40)(300+20x)= -20x2+100x+6000，其中0≤x≤20.∵a=-20<0，开口向下∴当时，y最大.所以，降价2.5元时，即定价60-2.5=57.5元时，利润最大，最大利润为 6125 元.∵6250>6125∴定价 65 元时，利润最大.提炼概念 典例精讲 例：21c例n解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为 y元，则 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440. ∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x< 20.当x=2时，y最大= 19 440.这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人最高，最高收入为 19 440 元.j*y. 巩固训练1.y=2000-5(x-100)，w=[2000-5(x-100)](x-80)2.（1）(50－2x)，(10＋x)，(50－2x)(10＋x)，x2－15x＋50，5,10. 10,5，5.（2）(50－2x)(10＋x)，－2x2＋30x＋500，－2(x－7.5)2＋612.5，7.53.解：（1）由题意得：当40≤x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )50时，Q = 60(x－30)= 60x－1800，∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大，∴当x最大= 50时，Q最大= 1200.【来源：21·世纪·教育·网】答：此时每月的总利润最多是1200元. （2）当50≤x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).【版权所有：21教育】解得∴y =－2x +160（50≤x≤70）..∴Q=(x－30)y =(x－30 ( http: / / www.21cnjy.com ))(－2x + 160)=－2x2 + 220x－ 4800=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ，∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （3）Q与x的函数关系式为：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200 ( http: / / www.21cnjy.com )＜1218，∴此情况不存在. ②当50≤x≤70时，Q最大= 1250>1218，令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218解得：x1=51，x2=59.由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59. （4） 解：由题意得： 解得：51≤x≤53.又∵a =－2＜0，∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大∴当x= 53时，Q最大= 1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
课堂小结 小最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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