6.3 向心加速度 导学案—2021-2022学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

向心加速度
【学习目标】
1．会作矢量图表示速度的变化量与速度之间的关系。
2．加深理解加速度与速度、速度变化量的区别。
3．体会匀速圆周运动向心加速度方向的分析方法。
4．知道向心加速度的公式也适用于变速圆周运动；知道变速圆周运动的向心加速度的方向。
5．知道向心加速度的概念；知道向心加速度的大小与哪些因素有关。
6．知道公式ɑ=υ2/r=ω2r 的意义。
7．会应用向心加速度定量分析有关现象。
【学习重难点】
理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。
向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用
【学习过程】
1．本节主要学习向心加速度概念。显然，向心加速度的大小、方向的讨论即为本节重点，而关于速度变化量的讨论及向心加速度大小的推证是本节的难点。
2．速度变化量Δv指末速度v2与初速度v1的差值，即Δv＝v2－v1．注意，这里的差值并非速度大小相减的结果，而是两个速度矢量相减。某一过程的速度变化量可按照以下方法求解：从同一点做出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度v1的末端作一个矢量Δv至末速度v2的末端，所作矢量Δv就是速度的变化量。
3．做匀速圆周运动的物体，加速度方向始终指向，这个加速度叫做。
4．向心加速度的大小表达式有an＝、an＝等。
例1．一小球被一细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，则（）
A．小球的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
解析：小球做圆周运动的线速度为v、角速度为ω，则有a＝＝Rω2，由此可得
v＝，ω＝
周期T＝＝2π
所以小球在时间t内通过的路程为s＝v t＝t，小球在时间t内可能发生的最大位移应该等于直径。综上所述，正确选项为ABD。
拓展：角速度、线速度和周期等用来描述物体做圆周运动的快慢，向心加速度描述物体做圆周运动过程中速度方向变化快慢，它们之间有密切的联系。
例2．关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是（　　）
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处，向心加速度一样大
D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小
(
图
6.
7
－
1
θ
r
R
O
O
′
A
)解析：地球上的物体随地球一起转动，在任何位置处转动的角速度都与地球自转的角速度相等，由公式a＝rω2可以知道，在角速度一定的情况下，向心加速度大小与转动半径成正比关系。所以，在赤道处，物体转动半径即地球半径，其值最大，故其向心加速度最大；在两极，其转动半径为零，所以其向心加速度也为零；随着纬度的升高，其转动半径减小，故其向心加速度也减小。本题正确选项为AD
拓展：地球上各个物体随地球一起转动，它们都是绕
地轴转动，而不是绕地球球心转动，所以它们转动的平面与地
轴垂直，转动半径与纬度大小有关。如图6．7－1所示，设地
球半径为R，纬度为θ的A处物体转动的半径为r，则有
r＝Rcosθ。
例3．如图6．7－2所示，A．B两轮同绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动，A．B．C三轮的半径之比为2∶3∶3，A．B．c为三轮边缘上的点。求⑴三点的线速度之比；⑵三点转动的周期之比；⑶三点的向心加速度之比。
(
图
6.
7
－
2
B
b
c
C
A
a
O
)
解析：因A．B两轮同绕轴O转动，所以有ωa＝ωb；A和C两轮用皮带传动，所以有va＝vC．由公式v＝ωr、 T＝、a＝结合题中已知条件即可求解。
⑴因A．B两轮同绕轴O转动，所以有ωa＝ωb，由公式v＝ωr可知
va∶vb＝（ωara）∶（ωbrb）＝ra∶rb＝2∶3
又因为A和C两轮用皮带传动，所以有va＝vc
综上所述可知三轮上A．B．c三点的线速度之比va∶vb∶vc＝2∶3∶2；
⑵因为ωa＝ωb，所以有Ta＝Tb
因为va＝vc，根据T＝可得
Ta∶Tc＝ra∶rc＝2∶3
所以三点转动的周期之比Ta∶Tb∶Tc＝2∶2∶3；
⑶根据向心加速度公式a＝可得三点的向心加速度之比
aa∶ab∶ac＝∶∶＝∶∶＝6∶9∶4．
拓展：向心加速度的公式有多种形式，如a＝，a＝rω2，a＝ωv，a＝4π2r/T2，a＝4π2rn2等，计算时应根据题中给出的条件灵活选用。本题求解时采用的公式是a＝，其实采用其它公式同样可解，大家不妨一试。
【能力训练】
1．甲、乙两个质点，分别做不同的圆周运动，下面说法中正确的是（　　）
A．线速度较大的质点，速度方向变化较快
B．角速度较大的质点，速度方向变化较快
C．向心加速度较大的质点，速度方向变化较快
D．以上说法都不对
2．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（　　）
A．它描述的是线速度变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．描述的是线速度大小变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
3．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期与向心加速度的关系，下列说法中正确的是（　　）
A．角速度大的向心加速度一定大
B．线速度大的向心加速度一定大
C．线速度与角速度乘积大的向心加速度一定大
D．周期小的向心加速度一定大
4．如图6．7－3所示，是A．B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图像，A是以坐标轴为渐近线的双曲线，B是一条过原点的倾斜直线，则从图像可以看出（）
(
r
a
O
图
6.
7
－
3
A
B
)A．A物体运动时线速度的大小保持不变
B．A物体运动时角速度的大小保持不变
C．B物体运动时角速度随半径而变化
D．B物体运动时线速度的大小保持不变
5．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6．7－4所示，其半径分别为r1．r2．r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（　　）
(
图
6.
7
－
4
r
1
r
2
r
3
甲
乙
丙
)A．　　B．
C．　　D．
6．地球自转角速度是，上海在北纬31°，上海绕地轴做圆周运动的线速度是，向心加速度是（地球半径为6400km）。
7．如图6．7－5所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4．8m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。
(
图
6.
7
－
5
)
答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．A
6．7．3×10－5rad/s；400 m/s ；2．9×10－2 m/s2．
7．3．14rad/s；1．53m；15．1m/s2．