6.1 平面向量的概念
导学案
【学习目标】
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形
中这些相关的概念．
【自主学习】
知识点 1 向量
既有大小，又有方向的量叫做向量．
知识点 2 向量的几何表示
以 A →为起点、B为终点的有向线段记作AB.
知识点 3 向量的有关概念
(1)零向量：长度为 0的向量叫做零向量，记作 0.
(2)单位向量：长度等于 1个单位的向量，叫做单位向量．
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量 a 平行于向量 b，记作 a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
【合作探究】
探究一 向量的概念
【例 1】判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b；
(2)若|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于 0方向不确定，故 0不能与任意向量平行；
(4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
[分析] 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断
真假．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．
(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(4)不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定．
(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
归纳总结：1 判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
2 注意两个特殊向量：零向量和单位向量.
3 注意平行向量与共线向量的含义.
【练习 1-1】下列物理量中不是向量的有( )
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧电流强度．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特
别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，②③④既有大小也有方向，是向量，
①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向，不是向量．
【练习 1-2】在下列命题中，真命题为( )
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B →．向量AB →与向量BA的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
解析：(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故 A错误；任何
向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故 D错误；有向线段是向量的形
象表示，但并非说向量就是有向线段，故 C错误，故选 B.
探究二 向量的几何表示
【例 2】一辆汽车从 A点出发向西行驶了 100 km 到达 B点，然后又改变方向向西偏北 50°
走了 200 km到达 C点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D点．
(1) → → →作出向量AB、BC、CD；
(2)求|A→D|.
解
(1) →向量AB B→C →、 、CD如图所示．
(2)由题意，易知A→B →与CD → →方向相反，故AB与CD共线，
又|A→B|＝|C→D|，
∴在四边形 ABCD中，AB綊 CD.
∴四边形 ABCD为平行四边形．
∴A→D＝B→C → →，∴|AD|＝|BC|＝200 km.
归纳总结：1 用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
2 作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方
向，然后根据向量的长度找出终点.
【练习 2】在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.
(1)试以 B为终点画一个向量 b，使 b＝a；
(2)在图中画一个以 A为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A为圆心，半径为 5的圆(作图
略)．
探究三 相等向量和共线向量
【例 3】如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是 AC、AB、BC的中点．
(1) →写出与EF共线的向量；
(2) →写出与EF的模大小相等的向量；
(3) →写出与EF相等的向量．
解 (1)因为 E、F分别是 AC、AB的中点，
EF 1所以 綊 BC.又因为 D是 BC的中点，
2
→
所以与EF共线的向量有：
F→E B→，D，D→B，D→C C→，D，B→C →，CB.
(2)与E→F → →模相等的向量有：FE，BD D→B D→C C→， ， ， D.
(3) E→F → →与 相等的向量有：DB与CD.
归纳总结：
1.共线向量和相等向量有何关系？
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
2.如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度 模 相等.
②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
→ → →
【练习 3】如图，设 O是正六边形 ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与OA、OB、OC
相等的向量．
O→A C→B D→解 ＝ ＝ O；
O→B D→C E→＝ ＝ O；
O→C＝A→B E→＝ D＝F→O.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有
( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 C
解析 ②③④⑤是向量．
2．下列说法中正确的个数是( )
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为 0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模
都相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
3．给出下列三个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则 a＝b；
A→B D→③若 ＝ C，则四边形 ABCD是正方形．
其中不正确的命题的个数为( )
A．2个 B．3个 C．0个 D．1个
答案 B
4．下列说法正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
答案 D
解析 A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以 A不正确；由 A的过程分析
可知方向相同的向量也不能比较大小，所以 B不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的
是有向线段的长度，与方向无关，所以 C 不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大
小，所以 D正确．
5．如图，在四边形 ABCD →中，若AB＝D→C，则图中相等的向量是( )
A.A→D与C→B B.O→B →与OD
C.A→C B→D D.A→与 O与O→C
答案 D
→
解析 ∵AB D→＝ C，∴四边形 ABCD → →是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO＝OC.
6．设 O → →是正方形 ABCD的中心，则向量AO，BO，O→C，O→D是( )
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
答案 D
解析 这四个向量的模相等．
7．若 a 为任一非零向量，b 为模为 1的向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是( )
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
答案 B
解析 a 为任一非零向量，故|a|＞0.
8.如图，等腰梯形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 P，点 E，F分别在两腰 AD，BC上，
EF过点 P，且 EF∥AB，则( )
A.A→D＝B→C B.A→C＝B→D
C.P→E＝P→F D.E→P P→＝ F
答案 D
→ →
解析 由平面几何知识知，AD与BC方向不同，故A→D →≠BC → →；AC与BD → →方向不同，故AC≠BD；
P→E → →与PF模相等而方向相反，故PE P→F →≠ ；EP与P→F模相等且方向相同，
∴E→P →＝PF.
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若 DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有____________________．
E→D → → → → →答案 与CB，AD与BD，AE与CE
解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．
10．在四边形 ABCD A→中， B∥C→D且|A→B|≠|C→D|，则四边形 ABCD的形状是________．
答案 梯形
→ →
解析 ∵AB∥CD且|A→B|≠|C→D|，
∴AB∥DC，但 AB≠DC，∴四边形 ABCD是梯形．
三、解答题
11. →如图，在四边形 ABCD中，AB＝D→C，N、M分别是 AD、BC →上的点，且CN M→＝ A.
→
求证：DN＝M→B.
证明 ∵A→B →＝DC，
|A→B| |C→∴ ＝ D|且 AB∥CD，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∴|D→A|＝|C→B|，且 DA∥CB.
→ →
又∵DA与CB的方向相同，
→ →
∴CB＝DA.同理可证，四边形 CNAM是平行四边形，
∴C→M＝N→A.∵|C→B|＝|D→A|，|C→M| →＝|NA|，
∴|D→N|＝|M→B|.
∵DN MB D→N M→∥ 且 与 B →的方向相同，∴DN＝M→B.
12．某人从 A点出发向东走了 5米到达 B点，然后改变方向按东北方向走了 10 2米到达 C
点，到达 C点后又改变方向向西走了 10米到达 D点．
(1) → → →作出向量AB，BC，CD.
(2) →求AD的模．
解 (1) → → →作出向量AB，BC，CD如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 2米，CD＝10米，所以
BD＝10米．
△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5 米，BD＝10米，所以 AD＝ 52＋ 10 2＝
5 5(米)．
所以|A→D|＝5 5米．
13.一辆消防车从 A地去 B地执行任务，先从 A地向北偏东 30°方向行驶 2千米到 D地，然
后从 D地沿北偏东 60°方向行驶 6千米到达 C地，从 C地又向南偏西 30°方向行驶 2千米才
到达 B地．
(1) → → → →在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB；
(2)求 B地相对于 A地的位置向量．
解
(1) → → → →向量AD，DC，CB，AB如图所示．
(2) → →由题意知AD＝BC，
∴AD綊 BC，则四边形 ABCD为平行四边形，
A→∴ B＝D→C，则 B地相对于 A地的位置向量为“北偏东 60°，6千米”．
B 组 能力提升
一、选择题
1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，
但它们的模能比较大小；③若 a 0（λ为实数），则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若 a b，
a
则 与b 共线，其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量， ①错误；
对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，
但它们的模能比较大小， ②正确；
对于③， a 0时 ( 为实数）， 0或 a 0， ③错误；
对于④，若 0时， a b 0，此时 a与b 不一定共线， ④错误；
综上，其中错误命题为①③④，共 3 个．故选：C．
2. 有下列命题：①若向量 a与b 同向，且 | a | | b |，则a b；②若四边形 ABCD是平行四
边形，则 AB CD；③若m n， n k，则m k ；④零向量都相等.其中假命题的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；
对于②，在平行四边形 ABCD中，AB,CD是大小相等，方向相反的向量，即 AB CD，
故②是假命题；
对于③，显然若m n， n k，则m k ，故③是真命题；
对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.
故选：C.
3.下列命题中正确的是( )
A | a ．若 |=|b |，则 a b B．若 a b，则 a b
a b C．若 | a|=|b |，则 a与b可能共线 D．若 ，则 a一定不与b共线
【答案】C
【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同 大小(长度)相等的两个向量才相
等，因此 A 错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故 B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向
量都可能共线，故 C 正确，D错误.故选：C
4.给出下列四个命题：
a b ①若 ，则 a b；
②若 A，B，C，D是不共线的四点，则“ AB DC”是“四边形 ABCD为平行四边形”
的充要条件；
③若 a b，b c，则 a c；
④ a b的充要条件是 a b 且 a / /b .
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵ AB DC，∴ AB DC 且 AB / /DC，又 A， B，C，D是不共线的四点，
∴四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平行四边形，则 AB DC ，
AB / /DC且 AB,DC方向相同，因此 AB DC .
③正确.∵ a b ，∴ a,b的长度相等且方向相同，又b c，∴b,c的长度相等且方向相同，
∴ a,c的长度相等且方向相同，故 a c .
r r r r
④不正确.当a / /b且方向相反时，即使 a b
，也不能得到 a b ，故 a b 且a / /b不
是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
故选：A.
二、填空题
5 →．已知在边长为 2的菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________.
答案 2 3
解析 易知 AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设 AC与 BD 1交于点 O，则 AO＝ AB＝1.在 Rt△ABO
2
中，易得|B→O|＝ 3，∴|B→D| →＝2|BO|＝2 3.
三、解答题
6.如图，在平行四边形 ABCD中，O是两对角线 AC，BD的交点，设点集 S＝{A，B，C，D，
O} →，向量集合 T＝{MN|M，N∈S，且 M，N不重合}，试求集合 T中元素的个数．
解 由题意知，集合 T →中的元素实质上是 S中任意两点连成的有向线段，共有 20个，即AB，
A→C A→D →， ，AO；B→A，B→C B→D B→O →， ， ；CA → → → →，CB，CD，CO；DA D→B →， ，DC，D→O；O→A →，OB → →，OC，OD.由平行四
→ →
边形的性质可知，共有 8对向量相等，即AB＝DC A→D →， ＝BC，D→A＝C→B →，BA → →＝CD，AO＝O→C，
O→A C→O D→O O→B O→D B→＝ ， ＝ ， ＝ O.
∵集合中元素具有互异性，∴集合 T中的元素共有 12个．6.1 平面向量的概念
导学案
【学习目标】
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形
中这些相关的概念．
【自主学习】
知识点 1 向量
既有 ，又有 的量叫做向量．
知识点 2 向量的几何表示
以 A为起点、B为终点的有向线段记作A→B.
知识点 3 向量的有关概念
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 0.
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量．
(3)相等向量： 且 的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量 a 平行于向量 b，记作 a∥b.
②规定：零向量与 平行．
【合作探究】
探究一 向量的概念
【例 1】判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b；
(2)若|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于 0方向不确定，故 0不能与任意向量平行；
(4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
归纳总结：
【练习 1-1】下列物理量中不是向量的有( )
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧电流强度．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【练习 1-2】在下列命题中，真命题为( )
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B → →．向量AB与向量BA的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
探究二 向量的几何表示
【例 2】一辆汽车从 A点出发向西行驶了 100 km 到达 B点，然后又改变方向向西偏北 50°
走了 200 km到达 C点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D点．
(1)作出向量A→B、B→C →、CD；
(2) →求|AD|.
归纳总结：
【练习 2】在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.
(1)试以 B为终点画一个向量 b，使 b＝a；
(2)在图中画一个以 A为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？
探究三 相等向量和共线向量
【例 3】如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是 AC、AB、BC的中点．
(1)写出与E→F共线的向量；
(2) →写出与EF的模大小相等的向量；
(3) E→写出与 F相等的向量．
归纳总结：
O ABCDEF O→A O→ →【练习 3】如图，设 是正六边形 的中心，分别写出图中所示向量与 、 B、OC
相等的向量．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有
( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列说法中正确的个数是( )
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为 0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模
都相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．给出下列三个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则 a＝b；
③若A→B D→＝ C，则四边形 ABCD是正方形．
其中不正确的命题的个数为( )
A．2个 B．3个 C．0个 D．1个
4．下列说法正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
5 → →．如图，在四边形 ABCD中，若AB＝DC，则图中相等的向量是( )
A.A→D C→与 B B.O→B与O→D
C.A→C与B→D D.A→O与O→C
6．设 O是正方形 ABCD的中心，则向量A→O →，BO，O→C，O→D是( )
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
7．若 a 为任一非零向量，b 为模为 1的向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是( )
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
8.如图，等腰梯形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 P，点 E，F分别在两腰 AD，BC上，
EF过点 P，且 EF∥AB，则( )
A.A→D＝B→C B.A→C＝B→D
C.P→E P→F D.E→＝ P＝P→F
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若 DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有____________________．
10 ABCD A→B C→D |A→B| |C→．在四边形 中， ∥ 且 ≠ D|，则四边形 ABCD的形状是________．
三、解答题
11.如图，在四边形 ABCD →中，AB＝D→C，N、M分别是 AD、BC → →上的点，且CN＝MA.
→ →
求证：DN＝MB.
12．某人从 A点出发向东走了 5米到达 B点，然后改变方向按东北方向走了 10 2米到达 C
点，到达 C点后又改变方向向西走了 10米到达 D点．
(1)作出向量A→B，B→C →，CD.
(2) A→求 D的模．
13.一辆消防车从 A地去 B地执行任务，先从 A地向北偏东 30°方向行驶 2千米到 D地，然
后从 D地沿北偏东 60°方向行驶 6千米到达 C地，从 C地又向南偏西 30°方向行驶 2千米才
到达 B地．
(1) →在如图所示的坐标系中画出AD，D→C，C→B，A→B；
(2)求 B地相对于 A地的位置向量．
B 组 能力提升
一、选择题
1.给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若 a 0（λ为实数），则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若 a b，则 a与b 共线，其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.
有下列命题：①若向量 a与b同向，且 | a | | b |，则a b；②若四边形 ABCD是平行四
边形，则 AB CD；③若m n， n k，则m k ；④零向量都相等.其中假命题的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.下列命题中正确的是( )
A | a b | a b B a
．若 |=| ，则 ．若 b，则 a
b
C．若 | a|=|b |，则 a与b可能共线 D．若 a b ，则 a一定不与b共线
4.给出下列四个命题：
a b ①若 ，则 a b；
②若 A，B，C，D是不共线的四点，则“ AB DC”是“四边形 ABCD为平行四边形”
的充要条件；
③若 a b，b c，则 a c；
a
④ b的充要条件是 a
b 且 a / /b .
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
二、填空题
5．已知在边长为 2的菱形 ABCD中，∠ABC＝60° →，则|BD|＝________.
三、解答题
6.如图，在平行四边形 ABCD中，O是两对角线 AC，BD的交点，设点集 S＝{A，B，C，D，
O} →，向量集合 T＝{MN|M，N∈S，且 M，N不重合}，试求集合 T中元素的个数．
