6.2.3 向量的数乘运算及其几何意义
导学案
【学习目标】
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量
问题
【自主学习】
知识点 1 向量数乘运算
实数λ与向量 a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa，
其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
当λ>0时，与 a方向相同，
(2)λa(a≠0)的方向
当λ<0时，与 a方向相反；
特别地，当λ＝0或 a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
知识点 2 向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
知识点 3 共线向量定理
向量 a (a≠0)与 b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa.
知识点 4 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b，
以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【合作探究】
探究一 向量的数乘运算
【例 1】计算：
(1)(－3)×4a； (2)3(a＋b)－2(a－b)－a； (3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
归纳总结：
【练习 1】计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
探究二 用已知向量表示未知向量
→ →
【例 2】如图所示，已知 ABCD的边 BC，CD的中点分别为 K，L，且AK＝e1，AL＝e2，
→ →
试用 e1，e2表示BC，CD.
归纳总结：
→
【练习 2】如图，设△ABC的重心为 M，O为平面上任一点，OA＝a，O→B＝b，O→C＝c，试
用 a、b、c →表示向量OM.
探究三 向量共线定理的应用
【例 3-1】已知 e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则 a与 b是否共线？
→ → →
【例 3-2】已知两个非零向量 e1和 e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1
－8e2，求证：A、B、D三点共线．
归纳总结：
【练习 3-1】已知非零向量 e1，e2不共线．
(1) →如果AB e e B→C 2e 8e C→D 3(e e ) A→ →＝ 1＋ 2， ＝ 1＋ 2， ＝ 1－ 2 ，求证：B，BD共线；
(2)欲使 ke1＋e2和 e1＋ke2共线，试确定实数 k的值．
→
【练习 3-2】已知 O，A，B是不共线的三点，且OP＝mO→A →＋nOB(m，n∈R)．
(1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若 A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．设 e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝e2－2e1共线，则
( )
A．k＝0 B 1．k＝1 C．k＝2 D．k＝
2
2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知△ABC的三个顶点 A，B，C →及平面内一点 P，且PA＋P→B＋P→C →＝AB，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在 AB边上或其延长线上
D．P在 AC边上
4．设 D，E，F分别为△ABC的三边 BC，CA，AB → →的中点，则EB＋FC等于( )
A.B→C B.1A→D
2
C.A→D D.1B→C
2
5 a b A→B a 2b B→C 5a 6b C→．已知向量 ， ，设 ＝ ＋ ， ＝－ ＋ ， D＝7a－2b，那么下列各组中三点一
定共线的是( )
A．A，B，C B．A，C，D
C．A，B，D D．B，C，D
6．已知 m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若 ma＝mb，则 a＝b；④若 ma＝na，则 m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
7 ABC M M→A M→B M→C 0. m A→．已知△ 和点 满足 ＋ ＋ ＝ 若存在实数 使得 B＋A→C →＝m AM成立，则
m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．已知 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O O→，且 A＝a，O→B b D→＝ ，则 C＝________ B→， C
＝________.(用 a，b表示)
9 → → → →．在平行四边形 ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形 ABCD的形状为________．
10.如图所示，设 M，N ABC → 1→ 1→ → 2→ 1→为△ 内的两点，且AM＝ AB＋ AC，AN＝ AB＋ AC，则△ABM
4 3 5 2
的面积与△ABN的面积之比为________．
三、解答题
11.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为 BD、AB、AC和 CD的中点，求证：
四边形 EFGH为平行四边形．
12.已知 e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a与 b 是共线向量，
求实数 k的值．
13 → → →．设 e1，e2是两个不共线的向量，AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若 A，B，
D三点共线，求 k的值．
14.如图所示，在平行四边形 ABCD 1中，点 M是 AB的中点，点 N在 BD上，且 BN＝ BD.
3
求证：M、N、C三点共线.
B 组 能力提升
一、选择题
―→
1.在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为 AD的中点，则 EB ＝( )
3―→ 1―→A. AB AC B.1
―→ ―→
－ AB 3－ AC
4 4 4 4
3―→C. AB 1
―→ ―→ ―→
＋ AC D 1． AB 3＋ AC
4 4 4 4
2.在四边形 ABCD中，B→C →＝AD，AC与 BD交于点 O，E是线段 OD的中点，AE的延长线
与 CD交于点 F，则( )
A.A→F 1＝ A→C 2→ →＋ BD B．AF 2A→C 1B→＝ ＋ D
3 3 3 3
C.A→F 1A→C 2B→D D A→F 2A→C 1→＝ ＋ ． ＝ ＋ BD
4 3 3 4
3. → 1→ → → → → →如图，在直角梯形 ABCD中，DC＝ AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则 2r＋3s＝( )
4
A．1 B．2
C．3 D．4
4. A→P 4A→B O→A O→B → →如图，已知 ＝ ，用 ， 表示OP，则OP等于( )
3
A.1O→A 4－ O→B B.1O→A 4→＋ OB
3 3 3 3
C 1O→A 4O→B D 1→ 4→．－ ＋ ．－ OA－ OB
3 3 3 3
5.在△ABC中，AB＝2，BC＝3 →，∠ABC＝60°，AD为 BC边上的高，O为 AD的中点，若AO
＝λA→B＋μB→C，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B 1．
2
C.1 D 2．
3 3
6.已知 A，B → → →，C三点不共线，且点 O满足 16OA－12OB－3OC＝0，则( )
A.O→A＝12A→B → → → →＋3AC B．OA＝12AB－3AC
C.O→A＝－12A→B →＋3AC D．O→A →＝－12AB－3A→C
7. △ABC A→D 2A→C B→P 1B→D A→P → → λ如图，在 中， ＝ ， ＝ ，若 ＝λAB＋μAC，则 的值为( )
3 3 μ
A．－3 B．3
C．2 D．－2
8.已知向量 a，b不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c与 d反向共线，则实数λ的值
为( )
A．1 B 1．－
2
C 1 1．1或－ D．－1或－
2 2
二、填空题
9．已知 O为△ABC → → → → →内一点，且 2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若 B，O，D三点共线，则 t的
值为________．
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交 BC D AB 4 A→ 1于点 ，若 ＝ ，且 D＝ A→C＋λA→B(λ
4
∈R)，则 AD的长为________．
11．在△ABC中，点 D是边 BC上任意一点，M是线段 AD的中点，若存在实数λ和μ，使得
B→M λA→＝ B＋μA→C，则λ＋μ＝________．
12．已知 P为△ABC → → → → → →所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，则△ABC的
面积为________．
三、解答题
13．在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若 c
x
与 xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求 的值．
y
14 → → → →．经过△OAB重心 G的直线与 OA，OB分别交于点 P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，
n∈R 1 1，求 ＋ 的值．
n m
C 组 挑战压轴题
一、选择题
1. 1如图，在△ABC中，点 D在线段 BC上，且满足 BD＝ DC，过点 D的直线分别交直线 AB，
2
AC → → → →于不同的两点 M，N若AM＝mAB，AN＝nAC，则( )
A．m＋n是定值，定值为 2
B．2m＋n是定值，定值为 3
C.1 1＋ 是定值，定值为 2
m n
D.2 1＋ 是定值，定值为 3
m n
2．已知 O → →是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP＝OA＋λ
A→B A→C
（ ＋ ）(λ∈[0，＋∞))，则点 P的轨迹一定通过△ABC的( )
|A→B| |A→C|
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
3．A，B，C是圆 O上不同的三点，线段 CO与线段 AB交于点 D(点 O与点 D不重合)，若
O→C＝λO→A →＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1， 2] D．(－1,0)
4.在 ABC中， E为 AC上一点， AC 3AE， P为 BE 上任一点，若
3 1
AP mAB nAC(m 0,n 0)，则 的最小值是（ ）
m n
A．9 B．10
C．11 D．12
二、填空题
5. → →在△ABC中，点 D在线段 BC的延长线上，且BC＝3CD，点 O在线段 CD上(与点 C，D
→
不重合)，若AO＝xA→B＋(1－x)A→C，则 x的取值范围是________．
6.已知 A,B,C为直线 l上的不同三点，O为 l外一点，存在实数m,n m 0,n 0 ，使得
1 4
OC 4mOA nOB成立，则 的最小值为__________．m n6.2.3 向量的数乘运算及其几何意义
导学案
【学习目标】
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量
问题
【自主学习】
知识点 1 向量数乘运算
实数λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，
其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
当λ>0时，与 a方向相同，
(2)λa(a≠0)的方向
当λ<0时，与 a方向相反；
特别地，当λ＝0或 a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
知识点 2 向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
知识点 3 共线向量定理
向量 a (a≠0)与 b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa.
知识点 4 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b，
以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【合作探究】
探究一 向量的数乘运算
【例 1】计算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，
但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【练习 1】跟踪训练 1 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
探究二 用已知向量表示未知向量
→ →
【例 2】如图所示，已知 ABCD的边 BC，CD的中点分别为 K，L，且AK＝e1，AL＝e2，
→ →
试用 e1，e2表示BC，CD.
[分析] 利用向量的加法和数乘运算进行化简．
[ ] B→C x B→K 1x A→B e 1解 设 ＝ ，则 ＝ ， ＝ 1－ x，
2 2
D→L 1D→C 1→ 1 1＝ ＝ AB＝ e1－ x.
2 2 2 4
由A→D →＋DL → 1 1＝AL，得 x＋ e1－ x＝e2，
2 4
4 2 → 4 2
解方程得 x＝ e2－ e1，即BC＝ e2－ e1.
3 3 3 3
C→D A→B A→B e 1由 ＝－ ， ＝ 1－ x，
2
4e 2－ e
C→D 1 2x e 1 1 4 2得 ＝ － 1＝ 3 3 －e1＝－ e1＋ e2.
2 2 3 3
归纳总结：由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、
数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相
似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
→ →
【练习 2】如图，设△ABC的重心为 M，O为平面上任一点，OA＝a，OB＝b，O→C＝c，试
用 a、b、c →表示向量OM.
解：连接 AM并延长交 BC于 D点．
∵M是△ABC的重心，
∴D是 BC的中点，且 AM 2＝ AD.
3
A→ 2∴ M＝ A→D 2 → →＝ (AB＋BD)
3 3
2→ 2→
＝ AB＋ BD
3 3
1→
2→ 2 BC
＝ AB＋ 2
3 3
2A→B 1B→＝ ＋ C
3 3
2(O→B O→A) 1(O→＝ － ＋ C－O→B)
3 3
2
＝ (b－a) 1＋ (c－b)
3 3
2 1 1
＝－ a＋ b＋ c.
3 3 3
2a 1 1
O→M O→A A→
－ ＋ b＋ c
∴ ＝ ＋ M＝a＋ 3 3 3
1
＝ (a＋b＋c)．
3
探究三 向量共线定理的应用
【例 3-1】已知 e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则 a与 b是否共线？
解 若 a与 b共线，则存在λ∈R，使 a＝λb，
即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，
3－6λ＝0，
因为 e1与 e2不共线，所以 所以λ不存在，
4＋8λ＝0，
所以 a与 b不共线．
→ → →
【例 3-2】已知两个非零向量 e1和 e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1
－8e2，求证：A、B、D三点共线．
证明 ∵B→C＝6e1＋23e C
→
2， D＝4e1－8e2，
∴B→D → →＝BC＋CD＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)
＝10e1＋15e2.
→ →
又∵AB＝2e1＋3e2，∴BD＝5A
→B，
∴A→B →、BD共线，且有公共点 B.∴A、B、D三点共线．
归纳总结： (1)本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线 b＝λa，因此用它
既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断
共线．
【练习 3-1】已知非零向量 e1，e2不共线．
(1)如果A→B → →＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e
→ →
1－e2)，求证：AB，BD共线；
(2)欲使 ke1＋e2和 e1＋ke2共线，试确定实数 k的值．
→ → → →
解 (1)∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A
→B.
∴A→B →，BD共线．
(2)∵ke1＋e2与 e1＋ke2共线，
∴存在λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1与 e2不共线，
k－λ＝0，
只能有 ∴k＝±1.
λk－1＝0，
→ → →
【练习 3-2】已知 O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．
(1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若 A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明 (1)若 m＋n＝1，
则O→P＝mO→A →＋(1－m)OB＝O→B＋m(O→A－O→B)，
O→P O→B m(O→∴ － ＝ A →－OB)，
即B→P →＝mBA B→P →，∴ 与BA共线．
→ →
又∵BP与BA有公共点 B，则 A，P，B三点共线．
(2) → →若 A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA，
→
∴OP－O→B＝λ(O→A →－OB)．
O→又 P＝mO→A＋nO→B.
→
故有 mOA (n → → →＋ －1)OB＝λOA－λOB，
即(m－λ)O→A＋(n λ 1)O→＋ － B＝0.
∵O，A B → →， 不共线，∴OA，OB不共线，
m－λ＝0，
∴ ∴m＋n＝1.
n＋λ－1＝0，
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．设 e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝e2－2e1共线，则
( )
A 1．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
2
答案 D
1 1
解析 当 k＝ 时，m＝－e1＋ e2，n＝－2e1＋e2.
2 2
∴n＝2m，此时，m，n共线．
2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
3．已知△ABC → → → →的三个顶点 A，B，C及平面内一点 P，且PA＋PB＋PC＝AB，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在 AB边上或其延长线上
D．P在 AC边上
答案 D
P→A P→B P→解析 ＋ ＋ C＝P→B →－PA，
P→C 2P→∴ ＝－ A，∴P在 AC边上．
4．设 D，E，F分别为△ABC的三边 BC，CA → →，AB的中点，则EB＋FC等于( )
A.B→C B.1A→D
2
C.A→D D.1B→C
2
答案 C
解析
→ →
如图，EB＋FC
E→C C→＝ ＋ B＋F→B →＋BC
→
＝EC＋F→B 1＝ (A→C →＋AB)
2
1
＝ ·2A→D →＝AD.
2
5．已知向量 a b → → →， ，设AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，那么下列各组中三点一
定共线的是( )
A．A，B，C B．A，C，D
C．A，B，D D．B，C，D
答案 C
→ → → →
解析 由向量的加法法则知BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2AB，又两线段
均过点 B，故 A，B，D三点一定共线
6．已知 m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若 ma＝mb，则 a＝b；④若 ma＝na，则 m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
答案 B
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若 m＝0，则不能推出 a＝b，
错误；④中，若 a＝0，则 m，n没有关系，
7．已知△ABC → → → → → →和点 M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数 m使得AB＋AC＝m AM成立，则
m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
→ → →
解析 ∵MA＋MB＋MC＝0，
∴点 M是△ABC的重心．
A→B A→C →∴ ＋ ＝3AM，∴m＝3.
二、填空题
8 → → →．已知 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，B→C
＝________.(用 a，b表示)
答案 b－a －a－b
→ → → →
解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，
B→C → → → →＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
9 → → → →．在平行四边形 ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形 ABCD的形状为________．
答案 矩形
A→B A→D A→解析 如图，因为 ＋ ＝ C，
A→B－A→D＝D→B，
所以|A→C|＝|D→B|.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD是矩形．
10.如图所示，设 M，N为△ABC → 1内的两点，且AM＝ A→B 1→＋ AC，A→N 2→＝ AB 1＋ A→C，则△ABM
4 3 5 2
的面积与△ABN的面积之比为________．
答案 2∶3
解析
A→P 1A→B A→Q 1如图所示，设 ＝ ， ＝ A→C，
4 3
→
则AM＝A→P A→＋ Q.
由平行四边形法则知，MQ∥AB，
→
S△ABM |AQ| 1
∴ ＝ ＝ .
S△ABC |A→C| 3
S△ABN 1. S△ABM 2同理 ＝ ∴ ＝
S△ABC 2 S△ABN 3
三、解答题
11.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为 BD、AB、AC和 CD的中点，求证：
四边形 EFGH为平行四边形．
证明 ∵F、G分别是 AB、AC 的中点．
F→G 1B→∴ ＝ C.
2
→ 1→
同理，EH＝ BC.
2
→
∴FG＝E→H.
∴四边形 EFGH为平行四边形．
12.已知 e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a与 b 是共线向量，
求实数 k的值．
解 ∵a与 b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
λk＝2， k＝－2，
∴ ∴ ∴k＝－2.
λ＝－1， λ＝－1，
13．设 e1，e
→ → →
2是两个不共线的向量，AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若 A，B，
D三点共线，求 k的值．
解 若 A，B，D →三点共线，则AB B→与 D共线，
→ →
所以可设AB＝λBD.
B→D C→D C→又因为 ＝ － B
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
所以 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
即(4λ＋k)e2＝(λ－2)e1，
因为 e1，e2是两个不共线的向量，
若 4λ＋k 0 λ－2≠ ，则 e2＝ e1，
4λ＋k
于是 e1与 e2是共线向量，与已知条件矛盾；
若λ－2 0 4λ＋k≠ ，则 e1＝ e2，
λ－2
于是 e1与 e2是共线向量，与已知条件矛盾，
4λ＋k＝0，
所以 故λ＝2，k＝－8.
λ－2＝0，
14.如图所示，在平行四边形 ABCD中，点 M是 AB的中点，点 N在 BD 1上，且 BN＝ BD.
3
求证：M、N、C三点共线.
B→A a B→证明 设 ＝ ， C＝b →，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝B→M B→C 1B→A B→ 1－ ＝ － C＝ a
2 2
－b.
又∵N在 BD上且 BD＝3BN，
∴B→N 1＝ B→D 1(B→C → 1＝ ＋CD)＝ (a＋b)，
3 3 3
C→∴ N＝B→N－B→C 1＝ (a＋b)－b
3
1
1 2 2 a－b
＝ a－ b＝ 2 ，
3 3 3
C→N 2C→∴ ＝ M，
3
又∵C→N与C→M的公共点为 C，
∴C、M、N三点共线．
B 组 能力提升
一、选择题
―→
1.在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为 AD的中点，则 EB ＝( )
3―→ 1―→ ―→ ―→A. AB － AC B.1 AB 3－ AC
4 4 4 4
3―→ 1―→ ―→ ―→C. AB ＋ AC D 1 3． AB ＋ AC
4 4 4 4
【答案】A
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
【解析】作出示意图如图所示． EB ＝ ED＋ DB 1 1 1 1＝ AD＋ CB ＝ × ( AB ＋ AC )＋
2 2 2 2
1 ―→ ―→ ―→ ―→( AB － AC ) 3 1＝ AB － AC .
2 4 4
2. → →在四边形 ABCD中，BC＝AD，AC与 BD交于点 O，E是线段 OD的中点，AE的延长线
与 CD交于点 F，则( )
A.A→F 1A→C 2B→D B A→F 2→＝ ＋ ． ＝ AC 1＋ B→D
3 3 3 3
C.A→F 1A→C 2B→＝ ＋ D D．A→F 2→＝ AC 1→＋ BD
4 3 3 4
【解析】
→ →
在四边形 ABCD中，如图所示，因为BC＝AD，所以四边形 ABCD为平行四边形．由已
D→E 1E→知得 ＝ B，由题意知△DEF∽△BEA → 1→ → 2→，则DF＝ AB，所以CF＝ CD 2 →＝ (OD－O→C)＝
3 3 3 3
2 B→D A→ →× － C BD－A
→C A→F A→C C→F A→
→ →
＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ C BD－AC 2→ 1＋ ＝ AC＋ B→D，故选 B.
3 2 3 3 3 3
【答案】B
3. ABCD D→C 1→如图，在直角梯形 中， ＝ AB，B→E＝2E→C → → →，且AE＝rAB＋sAD，则 2r＋3s＝( )
4
A．1 B．2
C．3 D．4
→ →
【解析】 法一：由题图可得AE＝AB B→E A→B 2→ → 2 → →＋ ＝ ＋ BC＝AB＋ (BA＋AD＋D→C) 1＝ A→B＋
3 3 3
2(A→D → 1＋DC)＝ A→B 2(A→D 1A→B) 1A→B 2A→＋ ＋ ＝ ＋ D.
3 3 3 4 2 3
因为A→E＝rA→B sA→ 1 2＋ D，所以 r＝ ，s＝ ，则 2r＋3s＝1＋2＝3.
2 3
B→E 2E→C A→E A→B 2(A→C A→E) A→E 1A→B 2A→C 1A→B 2法二：因为 ＝ ，所以 － ＝ － ，整理，得 ＝ ＋ ＝ ＋ (A→D
3 3 3 3
→ 1
＋DC)＝ A→B 2→＋ AD，以下同法一．
2 3
法三：如图，延长 AD BC → 1→， 交于点 P，则由DC＝ AB得 DC∥AB，且 AB＝4DC.
4
B→E → → 4→又 ＝2EC，所以 E为 PB的中点，且AP＝ AD.
3
→ 4→
A→E 1(A→B A→P) 1
AB＋ AD
3 1A→ 2→于是， ＝ ＋ ＝ ＝ B＋ AD.以下同法一．
2 2 2 3
法四：如图，建立平面直角坐标系 xAy，依题意可设点 B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，
2h)，其中 m＞0，h＞0.
A→由 E＝rA→B →＋sAD，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
r 1＝ ，
4m＝4mr＋3ms， 2
所以 解得
2h 2＝3hs， s＝ ，
3
所以 2r＋3s＝1＋2＝3.
【答案】C
4. →如图，已知AP 4A→B O→A O→B O→ →＝ ，用 ， 表示 P，则OP等于( )
3
A.1O→A 4O→－ B
3 3
B.1O→A 4→＋ OB
3 3
C 1O→．－ A 4＋ O→B
3 3
D 1→ 4→．－ OA－ OB
3 3
【答案】C
→ → → → 4→ → 4 →
【解析】OP＝OA＋AP＝OA＋ AB＝OA＋ (OB O→A) 1O→A 4O→－ ＝－ ＋ B.故选 C.
3 3 3 3
5.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为 BC边上的高，O为 AD →的中点，若AO
＝λA→B＋μB→C，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B 1．
2
C.1 D 2．
3 3
【答案】D
→ → → → 1→ → → 1→ → 1→ 1→
【解析】由题意易得AD＝AB＋BD＝AB＋ BC，所以 2AO＝AB＋ BC，即AO＝ AB＋ BC.
3 3 2 6
故λ＋μ 1 1 2＝ ＋ ＝ .
2 6 3
6. → → →已知 A，B，C三点不共线，且点 O满足 16OA－12OB－3OC＝0，则( )
A.O→A 12A→B 3A→C B O→A 12A→＝ ＋ ． ＝ B－3A→C
C.O→A＝－12A→B →＋3AC D．O→A＝－12A→B－3A→C
【答案】A
A O→A 12A→B 3A→C 12(O→B O→ → → → → →【解析】对于 ， ＝ ＋ ＝ － A)＋3(OC－OA)＝12OB＋3OC－15OA，
整理，可得 16O→A－12O→B－3O→C＝0，这与题干中条件相符合，故选 A.
7.如图，在△ABC中，A→D 2＝ A→C →，BP 1→ → → →＝ BD，若AP＝λAB＋μAC λ，则 的值为( )
3 3 μ
A．－3 B．3
C．2 D．－2
【答案】B
A→P A→B B→P B→P 1B→D 1(A→D A→B) 1A→D 1→【解析】因为 ＝ ＋ ， ＝ ＝ － ＝ － AB 1＝ ×2A→C 1A→ 2→－ B＝ AC－
3 3 3 3 3 3 3 9
1A→B，
3
2A→C 1A→→ → － B 2→
所以AP＝AB＋ 9 3 ＝ AB 2＋ A→C. → →又AP＝λAB＋μA→C λ 2 μ 2 λ，所以 ＝ ， ＝ ，所以 ＝
3 9 3 9 μ
2×9＝3.故选 B.
3 2
8.已知向量 a，b不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c与 d反向共线，则实数λ的值
为( )
A．1 B 1．－
2
C 1 1 1． 或－ D．－1或－
2 2
【答案】B
【解析】由于 c与 d反向共线，则存在实数 k使 c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－
λ＝k，
1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于 a，b不共线，所以有 整理得 2λ2－λ－1
2λk－k＝1，
0 λ 1 λ 1＝ ，解得 ＝ 或 ＝－ .又因为 k＜0，所以λ＜0 1，故λ＝－ .
2 2
二、填空题
9．已知 O为△ABC 2A→内一点，且 O＝O→B＋O→C，A→D＝tA→C，若 B，O，D三点共线，则
t的值为________．
BC M O→B O→C 2O→【解析】设线段 的中点为 ，则 ＋ ＝ M.
2A→O O→B → → →因为 ＝ ＋OC，所以AO＝OM，
→ 1→
A→O 1A→M 1(A→B A→C) 1
AB＋ AD 1
则 ＝ ＝ ＋ ＝ t ＝ A→B 1A→＋ D.
2 4 4 4 4t
由 B，O D 1 1 1， 三点共线，得 ＋ ＝1，解得 t＝ .
4 4t 3
1
【答案】
3
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交 BC于点 D → 1，若 AB＝4，且AD＝ A→C →＋λAB(λ
4
∈R)，则 AD的长为________．
B D C 1 3【解析】因为 ， ， 三点共线，所以 ＋λ＝1，解得λ＝ ，如图，过点 D分别作 AC，
4 4
AB的平行线交 AB，AC于点 M，N，则A→N 1＝ A→C，A→M 3＝ A→B，因为△ABC中，∠A＝60°，
4 4
∠A的平分线交 BC于点 D，所以四边形 AMDN是菱形，因为 AB＝4，所以 AN＝AM＝3，
AD＝3 3.
【答案】3 3
11．在△ABC中，点 D是边 BC上任意一点，M是线段 AD的中点，若存在实数λ和μ，
→ → →
使得BM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________．
→ → → →
【解析】如图，因为点 D在边 BC上，所以存在 t∈R，使得BD＝tBC＝t(AC－AB)．因
M → 1 → → 1 → → → 1 → 1 →为 是线段 AD的中点，所以BM＝ (BA＋BD)＝ (－AB＋tAC－tAB)＝－ (t＋1)·AB＋ tAC.
2 2 2 2
又B→M＝λA→B＋μA→C λ 1(t 1) μ 1，所以 ＝－ ＋ ， ＝ t 1，所以λ＋μ＝－ .
2 2 2
1
【答案】－ .
2
12．已知 P为△ABC → → → → → →所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，则△ABC
的面积为________．
→
【解析】因为AB＋P→B →＋PC＝0 →，所以AB＝－(P→B P→＋ C)．由平行四边形法则可知，以P→B，
P→C → → → →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且长度相等．因为|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，
→ →
所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除 BC外的另一条对角线长为 2，所以 BC＝2 3，
1 1
∠ABC＝90°，所以 S△ABC＝ AB·BC＝ ×2×2 3＝2 3.
2 2
【答案】2 3
三、解答题
13．在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若 c
与 xa x＋yb(x，y为非零实数)共线，求 的值．
y
【解析】设 e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c＝e1
－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由 c与 xa＋yb共线，得 c＝λ(xa＋yb)，所以 e1－2e2＝
x 3＝ ，
2λ（x－y）＝1， λ
2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e x 62，所以 所以 5 所以 的值为 .λ（x－2y）＝－2， y＝ ， y 5
2λ
14．经过△OAB重心 G的直线与 OA，OB分别交于点 P，Q，设O→P＝mO→A，O→Q＝nO→B，m，
n∈R 1 1，求 ＋ 的值．
n m
O→ →【解析】设 A＝a，OB＝b，则O→G 1＝ (a＋b)，
3
P→Q →＝OQ－O→P＝nb－ma，
1
P→G O→G → 1
－m
＝ －OP＝ (a＋b)－ma 3 a 1＝ ＋ b.
3 3
由 P，G Q → →， 共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，
1
－m
即 nb－ma＝λ 3 a 1＋ λb，
3
1
－m
－m＝λ 3 ，
1 1
则
n 1
消去λ，得 ＋ ＝3.
＝ λ， n m
3
C 组 挑战压轴题
一、选择题
1. 1如图，在△ABC中，点 D在线段 BC上，且满足 BD＝ DC，过点 D的直线分别交直线 AB，
2
AC → → → →于不同的两点 M，N若AM＝mAB，AN＝nAC，则( )
A．m＋n是定值，定值为 2
B．2m＋n是定值，定值为 3
C.1 1＋ 是定值，定值为 2
m n
D.2 1＋ 是定值，定值为 3
m n
【答案】D
【解析】法一：如图，过点 C作 CE平行于 MN交 AB于点 E.由A→N＝n A→C AC 1可得 ＝ ，
AN n
AE AC 1 BD 1DC BM 1 AM
n 2n → →
所以 ＝ ＝ ，由 ＝ 可得 ＝ ，所以 ＝ ＝ ，因为AM＝mAB，
EM CN n－1 2 ME 2 AB n n－1＋ 3n－1
2
m 2n 2 1所以 ＝ ，整理可得 ＋ ＝3.
3n－1 m n
法二：因为 M，D，N → → →三点共线，所以AD＝λAM＋(1－λ)·AN.又A→M＝mA→B → →，AN＝nAC，
A→所以 D＝λmA→B → → 1→ → →＋(1－λ)·nAC.又BD＝ DC，所以AD－AB 1＝ A→C 1A→－ D，所以A→D 1→ 2＝ AC＋ A→B.
2 2 2 3 3
λm 2 (1 1 2 1比较系数知 ＝ ， －λ)n＝ ，所以 ＋ ＝3，故选 D.
3 3 m n
A→B
2. O → →已知 是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP＝OA＋λ（
|A→B|
A→C
＋ ）(λ∈[0，＋∞))，则点 P的轨迹一定通过△ABC的( )
|A→C|
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 B
A→B A→→ C A
→B A→C
解析 为AB →上的单位向量， 为AC上的单位向量，则 ＋ 的方向为∠BAC的角
|A→B| |A→C| |A→B| |A→C|
→
平分线AD的方向．
A→B A→C A→B A→C A→→ → B A
→C
又λ∈[0，＋∞)，∴λ（ ＋ ）的方向与 ＋ 的方向相同．而OP＝OA＋λ（ ＋ ），
|A→B| |A→C| |A→B| |A→C| |A→B| |A→C|
∴点 P在A→D上移动．
∴点 P的轨迹一定通过△ABC的内心．
3．A，B，C是圆 O上不同的三点，线段 CO与线段 AB交于点 D(点 O与点 D不重合)，若
O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1， 2] D．(－1,0)
答案 B
O→解析 设 C＝mO→D，则 m>1，
因为O→C＝λO→A＋μO→B，
→ → →
所以 mOD＝λOA＋μOB，
O→D λO→A μO→即 ＝ ＋ B，
m m
又知 A，B，D三点共线，
λ μ
所以 ＋ ＝1，即λ＋μ＝m，
m m
所以λ＋μ>1，故选 B.
4.在 ABC中， E为 AC上一点， AC 3AE， P为 BE 上任一点，若
3 1
AP mAB nAC(m 0,n 0)，则 的最小值是（ ）
m n
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】D
【解析】由题意可知： AP mAB nAC mAB 3nAE，
A,B,E三点共线，则：m 3n 1，据此有：
3 1 3 1 m 3n 6 9n m 6 2 9n m 12 ，
m n m n m n m n
1 1
当且仅当m ,n 时等号成立.
2 6
3 1
综上可得： 的最小值是 12.
m n
本题选择 D 选项.
二、填空题
5.在△ABC → →中，点 D在线段 BC的延长线上，且BC＝3CD，点 O在线段 CD上(与点 C，D
→ → →
不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则 x的取值范围是________．
→
【解析】设CO＝yB→C → → → → → → → → →，因为AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋
y)A→C.
因为B→C →＝3CD，点 O在线段 CD上(与点 C，D不重合)．
0 1，
所以 y∈ 3 ，
→
因为AO＝xA→B＋(1－x)A→C，
1
－ ，0
所以 x＝－y，所以 x∈ 3 .
1
－ ，0
【答案】 3
6.已知 A,B,C为直线 l上的不同三点，O为 l外一点，存在实数m,n m 0,n 0 ，使得
1 4
OC 4mOA nOB成立，则 的最小值为__________．m n
【答案】16
【解析】∵ A,B,C为直线 l上的不同三点，且OC 4mOA nOB，
∴ 4m n 1，又m 0,n 0，
1 4
∴ 4m n 1 4 8 n 16m
8 2 16 16，
m n m n m n
n 16m 1 1 4
当且仅当 即 n 4m 时等号成立，∴ 的最小值为 16，故答案为：16
m n 2 m n
