6.2.4 向量的数量积
导学案
【学习目标】
1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；
2.知道向量的投影向量；
3.记住数量积的几个重要性质．
【自主学习】
知识点 1 向量的夹角
(1) → →已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记
作〈a，b〉，并规定它的范围是 0≤〈a，b〉≤π.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b π〉＝ 时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 a⊥b.
2
知识点 2 向量数量积的定义
(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记
作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是 a 与 b 的夹角。
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
知识点 3 投影向量
如图(1) → → →，设 a，b 是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过AB的起点 A
→ →
和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为
→
向量 a 向向量 b 投影，A1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量；
如图(2) →，我们可以在平面内任取一点 O，作OM＝a O→， N＝b，过点 M作直线 ON的垂线，
→
垂足为 M1，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量．
知识点 4 数量积的几个性质
设 a、b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ a·a.
(4)|a·b|≤|a||b|.
【合作探究】
探究一 向量的夹角问题
【例 1】在△ABC中，AB＝ 3，BC＝1，AC＝2，D是 AC的中点．求：
(1)A→D B→与 D的夹角大小；
(2)D→C →与BD的夹角大小．
[分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和
向量夹角知识解答本题．
[解] (1)如图所示，在△ABC中，AB＝ 3，BC＝1，AC＝2，
∴AB2＋BC2＝( 3)2＋12＝22＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
∴tanA BC 1 3＝ ＝ ＝ ，∴∠A＝30°.
AB 3 3
∵D为 AC的中点，
∴∠ABD＝∠A＝30°，A→D D→＝ C.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.
A→D →∴ 与BD的夹角为 120°.
(2)∵A→D＝D→C，
D→C →∴ 与BD的夹角也为 120°.
归纳总结：求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹
角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
【练习 1】已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为α，a－b 与 a 的夹
角是β.求α＋β.
O→解：如图，作 A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，以 OA、OB为邻边作 OACB，
→
则OC＝a＋b B→A O→， ＝ A－O→B＝a－b，
B→C＝O→A＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即 a－b 与 a 的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB为菱形，
所以 OC⊥AB.
所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即 a＋b 与 a 的夹角α＝30°，
∴α＋β＝90°.
探究二 向量数量积的运算
【例 2】已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b
的数量积．
解 (1)a∥b，若 a 与 b 同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；
若 a 与 b 反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当 a⊥b 时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
＝4×5 3× ＝10 3.
2
归纳总结：已知|a|，|b|求 a·b 时，需先确定两向量的夹角θ，再利用数量积的定义求解.本题
中注意 a∥b 时，要分θ＝0°和θ＝180°两种情况讨论.
【练习 2】已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，
分别求 a 与 b 的数量积．
解 (1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，
则 a 与 b 的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.
若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当 a⊥b 时，向量 a 与 b 的夹角为 90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4 1×3× ＝6.
2
探究三 向量的投影
【例 3】已知 a·b＝－9，a 在 b 3方向上的投影为－3，b 在 a 方向上的投影为－ ，求 a 与 b
2
的夹角θ.
a·b
|a|cos θ＝－3， ＝－3，|b|
解 ∵ |b|cos θ 3 ∴＝－ ， a·b 3
2 ＝－ ，|a| 2
－9
＝－3，
|b| |a|＝6，
即 －9 3 ，∴
＝－ ， |b|＝3.
|a| 2
∴cos θ a·b －9 1＝ ＝ ＝－ .
|a||b| 6×3 2
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
归纳总结：
【练习 3】已知|a|＝1，|b|＝1，a，b 的夹角为 120°，计算向量 2a－b 在向量 a＋b 方向上的
投影．
解 (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1 1×1×cos 120°－12＝ .
2
|a＋b|＝ a＋b 2＝ a2＋2a·b＋b2
＝ 1＋2×1×1×cos 120° 2a－b · a＋b 1＋1＝1.∴ ＝ .
|a＋b| 2
探究四 平面向量数量积的性质
π
【例 4】已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为 ，求|a＋b|，|a－b|.
3
解 a·b 1 25＝|a||b|cos θ＝5×5× ＝ .
2 2
|a＋b|＝ a＋b 2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2
＝ 25 2 25＋ × ＋25＝5 3.
2
|a－b|＝ a－b 2＝ |a|2－2a·b＋|b|2
＝ 25 2 25－ × ＋25＝5.
2
归纳总结：此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用
a2＝|a|2，勿忘记开方．
【练习 4】已知单位向量 e1，e2的夹角为 60°，求向量 a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
解 ∵e1，e2为单位向量且夹角为 60°，
∴e 11·e2＝1×1×cos 60°＝ .
2
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2 e 1 3－ 1·e2＋1＝－2－ ＋1＝－ ，
2 2
|a|＝ a2＝ e1＋e2 2＝ 1＋2 1× ＋1＝ 3，
2
|b|＝ b2＝ e 2e 2 1 4 4 12－ 1 ＝ ＋ － × ＝ 3，
2
a·b 3 1 1
∴cos θ＝ ＝－ × ＝－ .
|a||b| 2 3× 3 2
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a 与 b 的夹角为 120°.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在 a 方向上的投影为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案 D
解析 b 在 a 方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
2．已知 a、b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b 等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 因为 a、b 为单位向量，且其夹角为 60°，
所以 a·b＝1×1×cos 60° 1＝ ，
2
(2a－b)·b＝2a·b－b2
＝2 1× －1＝0.
2
3．已知|a|＝9，|b|＝6 2，a·b＝－54，则 a 与 b 的夹角θ为( )
A．45° B．135° C．120° D．150°
答案 B
cos θ a·b
－54 2
解析 ∵ ＝ ＝ ＝－ ，
|a||b| 9×6 2 2
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4．|a|＝2，|b|＝4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
答案 D
解析 a 在 b 方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
5．已知 a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与λa－b 垂直，则λ等于( )
A.3 B 3 3．－ C．± D．1
2 2 2
答案 A
解析 ∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ 3＝ .
2
6．已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 2 C．4 D．8
答案 B
解析 |2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2 2.
二、填空题
7．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影是____，向量 a
在向量 b 方向上的投影是____．
答案 －5 －1
解析 b 在 a 方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝10×cos 120°＝－5，a 在 b 方向上的投影为|a|cos
〈a，b〉＝2×cos 120°＝－1.
8．若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为 120°，则 a·a＋a·b＝________.
1
答案
2
解析 a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120° 1＝ .
2
9．在△ABC中，|A→B|＝13，|B→C|＝5 → → →，|CA|＝12，则AB·BC的值是________．
答案 －25
|A→B|2 |B→解析 易知 ＝ C|2＋|C→A|2，
C＝90°.
cos B 5＝ ，
13
∴cos A→B →〈 ，BC〉＝cos(180°－B)
5
＝－cos B＝－ .
13
A→∴ B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos(180°－B)
5
－
＝13×5× 13 ＝－25.
10 1．已知单位向量 e1，e2的夹角为α，且 cos α＝ ，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
3
答案 3
解析 |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e 11－2e2)＝9|e|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1× ＋4＝9.
3
∴|a|＝3.
三、解答题
11．已知△ABC中，A→B →＝a，AC＝b，当 a·b 满足下列条件时，能确定△ABC的形状吗？
(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.
解 ∵a·b A→B·A→C |A→B|·|A→＝ ＝ C|·cos A.
(1)当 a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)当 a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)当 a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．
12．已知正三角形 ABC的边长为 1，求：
(1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C；(3)B→C·A→C.
解 (1)∵A→B A→与 C的夹角为 60°.
A→B·A→∴ C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1 1 1× ＝ .
2 2
(2) A→B →∵ 与BC的夹角为 120°.
A→B·B→∴ C＝|A→B||B→C|cos 120°
1
－
＝1×1× 2 1＝－ .
2
(3)∵B→C →与AC的夹角为 60°，
→ → → →
∴BC·AC＝|BC||AC|cos 60°＝1 1 1 1× × ＝ .
2 2
13．已知向量 a，b 满足|a|＝12，|b|＝15，|a＋b|＝25，求|a－b|.
解 ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝122＋152＋2a·b＝252，∴2a·b＝256.
∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝122＋152－256＝113.
∴|a－b|＝ 113.
→ → →
14．在△ABC中，已知|AB|＝5，|BC|＝4，|AC|＝3，求：
(1)A→B·B→C；(2)A→C在A→B方向上的投影；(3)A→B在B→C方向上的投影．
|A→解 ∵ B|＝5，|B→C|＝4，|A→C|＝3.
∴△ABC AC 3 BC 4为直角三角形，且 C＝90°.∴cos A＝ ＝ ，cos B＝ ＝ .
AB 5 AB 5
(1)A→B·B→C → →＝－BA·BC 5 4 4＝－ × × ＝－16；
5
A→→ → → C·A
→B 5×3 3×
(2)|AC|·cos AC AB 5 9〈 ， 〉＝ ＝ ＝ ；
|A→B| 5 5
→ → → →
→ BC·AB －BA·BC －5×4
4
×
(3)|AB|·cos A→B →〈 ，BC〉＝ ＝ ＝ 5＝－4.
|B→C| |B→C| 4
B 组 能力提升
一、选择题
1．设非零向量 a、b、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
答案 B
解析 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即 2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.
→ →
2．如图，圆心为 C的圆的半径为 r，弦 AB的长度为 2，则 AB·AC的值为( )
A．r B．2r
C．1 D．2
答案：D
→ → →
[如图，作 AB的中点H，连接CH，则向量AC在AB方向上的投影的数量为 AH＝|AC|cos∠CAB，
→ → → → → →
所以AB·AC＝|AB||AC|cos∠CAB＝|AB||AH|＝2.]
3．(多选题)对于非零向量 a，b，c，下列命题正确的是( )
A．若 a·b＝b·c，则 a＝b
B．若 a⊥b，则 a·b＝(a·b)2
C．若 a∥b，则 a 在 b 上的投影的数量为|a|
D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，则 a∥b
答案：BD
[对于选项 A，若 a·b＝b·c，则(a－c)·b＝0，故 A错误；对于选项 B，若 a⊥b，所以 a·b
＝0，则 a·b＝(a·b)2，故 B正确；对于选项 C，若 a∥b，则 a 在 b 上的投影的数量为±|a|，故
C错误；对于选项 D，若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ
λ
2≠0)，推出 a＝－ 2b，由平行向量基
λ1
本定理可知 a∥b，故 D正确．故选 BD．]
二、填空题
4．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
答案 [0,1]
解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为 a 与 b 的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
5．如图所示，一个大小为 5 N，与水平方向夹角 37°的拉力 F作用在小车上，小车沿水平方
向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为 3 N，方向水平向左．小车向右运动的距
离为 2 m 的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力 F对小车做
的功(取 cos 37°≈0.8)为________．小车克服阻力做的功为________．
答案：8 J 6 J
[拉力 F对小车做的功WF＝FScos θ＝5×2×0.8 J＝8 J，
小车克服阻力做的功为W 克 f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]
6 1．已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1·e2＝ .若平面向量 b 满足 b·(e1－e2)＝0，且 b·e1＝1，
2
则|b|＝________.
2 3
答案：
3
[因为 e1·e2＝|e1|·|e2|cos 1〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝ .
2
又 0°≤〈e1，e2〉≤180°，所以〈e1，e2〉＝60°.
因为 b·(e1－e2)＝0，所以 b 与 e1，e2的夹角均为 30°，
所以 b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，
从而|b| 1 2 3＝ ＝ .
cos 30° 3
三、解答题
→ → → → → →
7．已知△ABC的面积为 S满足 3≤2S≤3，且AB·BC＝3，AB与BC的夹角为θ.求AB与BC夹角
的取值范围．
→ → → → → → → → → →
[解] 因为△ABC中，AB·BC＝3，AB与BC夹角θ＝π－B，所以AB·BC＝|AB||BC|cos〈AB，BC〉
→ → → →
＝3，即|AB||BC|cos θ＝3，得|AB||BC| 3＝ .
cos θ
S 1
→ → → →
又 ＝ |AB||BC|sin B 1＝ |AB||BC|sin(π－θ)
2 2
1 → →
＝ |AB||BC|sin θ 3＝ tan θ，
2 2
由 3≤2S≤3得 3≤3tan θ≤3 3，所以 ≤tan θ≤1，由于θ∈[0, π] π π，所以 ≤θ≤ .
3 6 4
→ → π π，
所以AB与BC夹角的取值范围是 6 4 .6.2.4 向量的数量积
导学案
【学习目标】
1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；
2.知道向量的投影向量；
3.记住数量积的几个重要性质．
【自主学习】
知识点 1 向量的夹角
(1) →已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，O→B＝b，则 称作向量 a 和向量 b 的夹角，
记作〈a，b〉，并规定它的范围是 0≤〈a，b〉≤π.
(2) 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2) π当〈a，b〉＝ 时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 a⊥b.
2
知识点 2 向量数量积的定义
(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记
作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是 a 与 b 的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 .
知识点 3 投影向量
如图(1)，设 a，b 是两个非零向量，A→B a C→＝ ， D＝b →，我们考虑如下的变换：过AB的起点 A
→ →
和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为
向量 a →向向量 b ，A1B1叫做向量 a 在向量 b 上的 ；
如图(2) → →，我们可以在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M作直线 ON的垂线，
垂足为 M1，则 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量．
知识点 4 数量积的几个性质
设 a、b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ .
(2)a⊥b .
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝ ；当 a 与 b 反向时，a·b＝ .
特别地，a·a＝ 或|a|＝ a·a.
(4)|a·b|≤ |.
【合作探究】
探究一 向量的夹角问题
【例 1】在△ABC中，AB＝ 3，BC＝1，AC＝2，D是 AC的中点．求：
(1)A→D与B→D的夹角大小；
(2)D→C与B→D的夹角大小．
归纳总结：
【练习 1】已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为α，a－b 与 a 的夹
角是β.求α＋β.
探究二 向量数量积的运算
【例 2】已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b
的数量积．
归纳总结：
【练习 2】已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，
分别求 a 与 b 的数量积．
探究三 向量的投影
3
【例 3】已知 a·b＝－9，a 在 b 方向上的投影为－3，b 在 a 方向上的投影为－ ，求 a 与 b
2
的夹角θ.
归纳总结：
【练习 3】已知|a|＝1，|b|＝1，a，b 的夹角为 120°，计算向量 2a－b 在向量 a＋b 方向上的
投影．
探究四 平面向量数量积的性质
【例 4】已知|a|＝|b|＝5 π，向量 a 与 b 的夹角为 ，求|a＋b|，|a－b|.
3
归纳总结：
【练习 4】已知单位向量 e1，e2的夹角为 60°，求向量 a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在 a 方向上的投影为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
2．已知 a、b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b 等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知|a|＝9，|b|＝6 2，a·b＝－54，则 a 与 b 的夹角θ为( )
A．45° B．135° C．120° D．150°
4．|a|＝2，|b|＝4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
5．已知 a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与λa－b 垂直，则λ等于( )
A.3 B 3 C ±3．－ ． D．1
2 2 2
6．已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 2 C．4 D．8
二、填空题
7．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影是____，向量 a
在向量 b 方向上的投影是____．
8．若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为 120°，则 a·a＋a·b＝________.
9 → → → →．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·B→C的值是________．
10 1．已知单位向量 e1，e2的夹角为α，且 cos α＝ ，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
3
三、解答题
11．已知△ABC中，A→B a A→＝ ， C＝b，当 a·b 满足下列条件时，能确定△ABC的形状吗？
(1)a·b<0； (2)a·b＝0； (3)a·b>0.
12．已知正三角形 ABC的边长为 1，求：
(1)A→B·A→C； (2)A→B·B→C →； (3)BC·A→C.
13．已知向量 a，b 满足|a|＝12，|b|＝15，|a＋b|＝25，求|a－b|.
14．在△ABC中，已知|A→B| → →＝5，|BC|＝4，|AC|＝3，求：
(1)A→B·B→C；(2)A→C在A→B方向上的投影；(3)A→B →在BC方向上的投影．
B 组 能力提升
一、选择题
1．设非零向量 a、b、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
→ →
2．如图，圆心为 C的圆的半径为 r，弦 AB的长度为 2，则 AB·AC的值为( )
A．r B．2r
C．1 D．2
3．(多选题)对于非零向量 a，b，c，下列命题正确的是( )
A．若 a·b＝b·c，则 a＝b
B．若 a⊥b，则 a·b＝(a·b)2
C．若 a∥b，则 a 在 b 上的投影的数量为|a|
D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，则 a∥b
二、填空题
4．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
5．如图所示，一个大小为 5 N，与水平方向夹角 37°的拉力 F作用在小车上，小车沿水平方
向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为 3 N，方向水平向左．小车向右运动的距
离为 2 m 的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力 F对小车做
的功(取 cos 37°≈0.8)为________．小车克服阻力做的功为________．
6．已知 e1，e
1
2是平面单位向量，且 e1·e2＝ .若平面向量 b 满足 b·(e1－e2)＝0，且 b·e1＝1，
2
则|b|＝________.
三、解答题
→ → → → → →
7．已知△ABC的面积为 S满足 3≤2S≤3，且AB·BC＝3，AB与BC的夹角为θ.求AB与BC夹角
的取值范围．
