6.2.4 平面向量的数量积
导学案
【学习目标】
1.了解数量积的运算律
2.会用向量数量积的公式解决相关问题．
【自主学习】
知识点 1 向量数量积的性质
设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量．
(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b a·b＝ 且 a·b＝ a⊥b；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝ a2；
(4)cos a b a·b〈 ， 〉＝ ；
|a||b|
(5)|a·b| |a||b|.
知识点 2 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【合作探究】
探究一 向量的数量积的运算律
【例 1】已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，试求：
(1)a·b； (2)(a＋b)·(a－b)； (3)(2a－b)·(a＋3b)．
归纳总结：
3π
【练习 1】已知向量 a 与 b 的夹角为 ，且|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(2a＋b)等于 .
4
探究二 向量的模
【例 2】已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
归纳总结：
【练习 2】已知单位向量 e1，e2的夹角为α，且 cosα
1
＝ ，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝ .
3
探究三 向量的夹角
【例 3】已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π B.π
3 2
C.2π D.5π
3 6
归纳总结：
【练习 3】设两个向量 e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2与
e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t的取值范围．
探究四 向量垂直的判定
【例 4】已知|a|＝5，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当 k为何值时，向量 ka－b 与 a＋2b
垂直？
归纳总结：
【练习 4】P是△ABC → → → → → →所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则 P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
探究五 向量数量积的综合应用
【例 5】在△ABC →中，AB＝c，B→C →＝a，CA＝b，且 a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
归纳总结：
【练习 4】若 O是△ABC → →所在平面内一点，且满足|OB－OC| |O→B O→＝ ＋ C－2O→A|，则△ABC
的形状为( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b 等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a＋b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且 c⊥a，则向量 a 与 b 的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．已知向量 a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于( )
A．7 B．6
C．5 D．4
6．在边长为 1的等边△ABC →中，设BC＝a →，CA＝b，A→B＝c，则 a·b＋b·c＋c·a 等于( )
A 3．－ B．0
2
C.3 D．3
2
7 ABCD A→B D→C A→．在四边形 中， ＝ ，且 C·B→D＝0，则四边形 ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
8．设θ为两个非零向量 a，b 的夹角，已知对任意实数 t，|b＋ta|的最小值为 1.( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
二、填空题
9．已知 a，b，c 为单位向量，且满足 3a＋λb＋7c＝0 π，a 与 b 的夹角为 ，则实数λ＝________.
3
10．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．
11．在平行四边形 ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为 CD →的中点．若AC·B→E＝1，则 AB
的长为________．
三、解答题
12．已知非零向量 a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b) 1＝ ，且 a·b 1＝ .
2 2
(1)求向量 a，b 的夹角；
(2)求|a－b|.
13 π．设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 ，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角．
3
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求 a 与 b 的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
15．已知非零向量 a，b，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，求 a 与 b 的夹角．
B 组 能力提升
一、选择题
5
1.已知向量 a (1,1)， b 6，且 a与b的夹角为 ，则 a b （ ）6
A． 2 B．2 C． 14 D．14
2.设 R，若单位向量 e1 ，e2 满足：e1 e2 且向量 3e1 e2 与 e1- e2 的夹角为 ，则 3
（ ）
A 3． B 3． C． 3 D．1
3 3
π
3.在边长为 3的菱形 ABCD中， DAB ， AM 2MB，则DM DB =（ ）3
17
A．- B．-1
2
15 9
C． D．
2 2
uuur
4．已知平面上三点 A , B ,C满足 AB 6, AC 8 , BC 10 ,则
AB BC BC CA CA AB ( )
A． 48 B． 48 C．100 D． 100
5.（多选）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．0 a 0
B．若 a b，则 | a b | | a b |
C．若 AB//CD，则 A B C D四点共线；
D．在四边形 ABCD中，若 AB CD 0， AC BD 0，则四边形 ABCD为菱形.
6．（多选）若 ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA 4OB 5OC 0，则下
列结论正确的是( )
A． BOC 90° B． AOB 90
OB CA 4 OC AB 1C． D．
5 5
二、填空题
7 A→B → → → → → → → →．已知向量 与AC的夹角为 120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若 A P＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则
实数λ的值为________．
a
| a
| 1 a a
8.已知向量 ，b 满足 ， | b | 2，且向量 ，b 的夹角为 ，若 b 与b 垂直，4
则实数 的值为 .
9.已知 a,b 是非零向量,满足 a 2b a, b 2a b ,则 a与b 的夹角是 .
2
10.若两个向量 a,b的夹角是 ，a是单位向量， b 2，c 2a b，则向量 与3 c b 的夹
角为 .
11.
已知向量 a,b 满足 | b | 5,| a b | 4,| a b | 6，则向量 a在向量b 上的投影为________.
C 组 挑战压轴题
一、填空题
1.已知 |OA | 1， OB 3，OA OB 0，点C在 AOB内，且 AOC 30 ，设
OC mOA nOB m， (m,n R)，则 __________．
n
2.如图，O 为△ABC 的外心， AB 5， AC 3，∠BAC 为钝角，M 是边 BC 的中点，则
AM AO等于___________.
3.如图，等腰三角形 ABC， AB AC 2， BAC 120 ．E，F 分别为边 AB， AC
上的动点，且满足 AE mAB， AF nAC，其中m，n (0,1)，m n 1，M ，N 分
别是 EF ， BC的中点，则 |MN |的最小值为_____.
ABCD DAB
4.在面积为 1 的平行四边形 中， ，则
6 AB BC
___________；点 P 是直
2 2
线 AD上的动点，则 PB PC PB PC的最小值为___________.
b c
5. 2设非零向量 a，b， c，满足 a b a ， c 2a b，则 的最小值是________．b c6.2.4 平面向量的数量积
导学案
【学习目标】
1.了解数量积的运算律
2.会用向量数量积的公式解决相关问题．
【自主学习】
知识点 1 向量数量积的性质
设 a、b为两个非零向量，e是与 b同向的单位向量．
(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b a·b＝0且 a·b＝0 a⊥b；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝ a2；
(4)cos〈a b a·b， 〉＝ ；
|a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点 2 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【合作探究】
探究一 向量的数量积的运算律
【例 1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与 b的夹角为 120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[分析] 根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．
[解] (1)a·b＝|a|·|b|cos120° 2 3 ( 1＝ × × － )＝－3.
2
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.
归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两
个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进
行化简.
3π
【练习 1】已知向量 a与 b的夹角为 ，且|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(2a＋b)等于 .
4
答案：2
解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.
探究二 向量的模
【例 2】已知向量 a，b满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
[答案] 10
[分析] 利用模的公式和数量积的运算律进行求解．
[解析] 因为 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝ a－3b 2＝ a2－6a·b＋9b2＝ 12＋9×12＝ 10.
归纳总结：
1 要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.
2 已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求
解.
1
【练习 2】已知单位向量 e1，e2的夹角为α，且 cosα＝ ，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝ .
3
答案：3
解析：因为 a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.
探究三 向量的夹角
【例 3】已知非零向量 a，b满足|b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a与 b的夹角为( )
A.π B.π
3 2
C.2π D.5π
3 6
[答案] C
[分析] 利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．
[解析] 设 a，b 夹角为θ，由题意，得 a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即 a·b＝－2a2，所以 cosθ
a·b －2a2 1 2π
＝ ＝ ＝－ ，所以θ＝ .
|a||b| 4|a|2 2 3
归纳总结：求两向量 a，b的夹角，通常借助于公式cos ab 计算
| a ||b |
【练习 3】设两个向量 e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2与
e1＋te2的夹角为钝角，求实数 t的取值范围．
14 14 1
答案：(－7，－ )∪(－ ，－ )
2 2 2
解：由向量 2te1＋7e2与 e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ 2te1＋7e2 · e1＋te2 ＝ <0，
|2te1＋7e2||e1＋te2|
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
2t2 15t 7<0 72
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
2t＝λ，
设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则 7＝λt，
λ<0，
λ＝－ 14
∴ t 14 .＝－
2
∴所求实数 t的取值范围是( 7 14) ( 14 1－ ，－ ∪ － ，－ )．
2 2 2
探究四 向量垂直的判定
【例 4】已知|a|＝5，|b|＝4，且 a与 b的夹角为 60°，则当 k为何值时，向量 ka－b与 a＋2b
垂直？
14
答案：k＝
15
[分析] 利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．
[解] ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，
ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
k 14 k 14∴ ＝ ，即 为 时，向量 ka－b与向量 a＋2b垂直．
15 15
归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质 a⊥b ,a·b＝0.这是一个重要性质，对
于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.
P ABC P→A·P→B P→B·P→C P→【练习 4】 是△ 所在平面上一点，若 ＝ ＝ C·P→A，则 P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案：D
→
解析：由PA·P→B＝P→B·P→C → →得PB·(PA－P→C)＝0，
即P→B·C→A＝0，∴PB⊥CA.
同理 PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
探究五 向量数量积的综合应用
→ → →
【例 5】在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，且 a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
答案：等边三角形
[分析] 易知 a＋b＋c＝0，分别将 a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取
两个等式相减，即可得到 a、b、c中两个向量的长度之间的关系．
[解] 在△ABC中，易知A→B＋B→C＋C→A＝0，
即 a＋b＋c＝0，
因此 a＋c＝－b，a＋b＝－c，
a＋b 2＝ －c 2，
从而
a＋c 2＝ －b 2，
两式相减可得 b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，
则 2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，
因为 a·b＝c·a＝a·c，
所以 2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
同理可得|a|＝|b| →，故|AB|＝|B→C| →＝|CA|，
即△ABC是等边三角形．
归纳总结：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、
向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及
向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.
【练习 4】若 O ABC → → → → →是△ 所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC
的形状为( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案：B
O→B O→C 2O→A O→B O→A O→C O→A A→B A→C O→B O→C C→解析： ＋ － ＝ － ＋ － ＝ ＋ ， － ＝ B＝A→B－A→C →，于是|AB＋
A→C| |A→＝ B－A→C|，所以|A→B A→＋ C|2 →＝|AB－A→C|2，即A→B·A→C＝0，从而 AB⊥AC，故△ABC为直角
三角形.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选 C.
2．设向量 a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
答案 A
解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得 4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3．已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a＋b与 a垂直，则 a与 b的夹角是( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
答案 C
解析 ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴cos〈a b a·b －1 2， 〉＝ ＝ ＝－ .
|a||b| 1× 2 2
∴〈a，b〉＝135°.
4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且 c⊥a，则向量 a与 b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 设向量 a与 b的夹角为θ，∵c⊥a，∴c·a＝0.
又∵c＝a＋b，∴(a＋b)·a＝0，
即 a2＋b·a＝0 |a|2＋|a||b|cos θ＝0.
又∵|a|＝1，|b|＝2 1，∴cos θ＝－ .故θ＝120°.
2
5．已知向量 a，b的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案 A
解析 |3a－b|＝ 3a－b 2＝ 9|a|2＋|b|2－6a·b
1
－
＝ 9＋25－6×5× 2 ＝ 49＝7.故选 A.
6 → → →．在边长为 1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则 a·b＋b·c＋c·a等于( )
A 3．－ B．0
2
C.3 D．3
2
答案 A
解析 a·b＝B→C·C→A C→＝－ B·C→A
＝－|C→B||C→A|cos 60° 1＝－ .
2
同理 b·c 1 c·a 1＝－ ， ＝－ ，
2 2
∴a·b＋b·c＋c·a 3＝－ .
2
7．在四边形 ABCD A→中， B＝D→C → →，且AC·BD＝0，则四边形 ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
答案 B
A→解析 ∵ B＝D→C → →即一组对边平行且相等，AC·BD＝0即对角线互相垂直，∴四边形 ABCD
为菱形．
8．设θ为两个非零向量 a，b的夹角，已知对任意实数 t，|b＋ta|的最小值为 1.( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
答案 B
解析 |b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2
＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ
所以
4|a|2
＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以|b|2sin2θ＝1，
所以|b|sin θ＝1，即|b| 1＝ .
sin θ
即θ确定，|b|唯一确定．
二、填空题
9．已知 a，b，c π为单位向量，且满足 3a＋λb＋7c＝0，a与 b的夹角为 ，则实数λ＝________.
3
答案 －8或 5
解析 由 3a＋λb＋7c＝0，可得 7c＝－(3a＋λb)，即 49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而 a，b，c为
π
单位向量，则 a2＝b2＝c2＝1，则 49＝9＋λ2＋6λcos ，
3
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5
10．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．
答案 [1,7]
解析 方法一 ∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]．
方法二 设θ为两向量 a，b的夹角，则θ∈[0，π]．
∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ，
∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]．
11 → →．在平行四边形 ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为 CD的中点．若AC·BE＝1，则 AB
的长为________．
1
答案
2
解析 在平行四边形 ABCD中，取 AB的中点 F，
则B→E＝F→D，
B→E F→D A→D 1A→B A→C A→D A→∴ ＝ ＝ － ，又 ＝ ＋ B，
2
A→C·B→E (A→∴ ＝ D＋A→B)·(A→D 1→－ AB)
2
＝A→D2 1－ A→D·A→B →＋AD·A→B 1→－ AB2
2 2
|A→＝ D|2 1 →＋ |AD||A→B|cos 60° 1－ |A→B|2
2 2
1 1 1|A→＝ ＋ × B| 1|A→－ B|2＝1.
2 2 2
1
－|A→B|
∴ 2 |A→B|＝0，又|A→B|≠0，
→
∴|AB| 1＝ .
2
三、解答题
12．已知非零向量 a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b) 1＝ ，且 a·b 1＝ .
2 2
(1)求向量 a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解 (1)∵(a－b)·(a＋b) 1＝ ，
2
a2 b2 1 |a|2 |b|2 1∴ － ＝ ，即 － ＝ ；
2 2
又∵|a|＝1，∴|b| 2＝ .∵a·b 1 1 2＝ ，∴|a|·|b|cos θ＝ ，∴cos θ＝ ，∴向量 a，b的夹角为 45°.
2 2 2 2
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2 1＝ ，∴|a－b| 2＝ .
2 2
13 π．设 n和 m是两个单位向量，其夹角是 ，求向量 a＝2m＋n与 b＝2n－3m的夹角．
3
解 ∵|n|＝|m|＝1且 m与 n π的夹角是 ，
3
∴m·n＝|m||n|cos π＝1×1 1 1× ＝ .
3 2 2
|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n 2＝ 4×1＋1＋4m·n
1
＝ 4×1＋1＋4× ＝ 7，
2
|b|＝|2n－3m|＝ 2n－3m 2
＝ 4×1＋9×1－12m·n
＝ 4×1＋9×1－12 1× ＝ 7，
2
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
1
＝ －6×1＋2 1 7× ＝－ .
2 2
设 a与 b的夹角为θ，则
7
－
cos θ a·b 1＝ ＝ 2 ＝－ .
|a||b| 7× 7 2
又θ [0 π] θ 2π∈ ， ，∴ ＝ ，
3
2π
故 a与 b的夹角为 .
3
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求 a与 b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
解 (1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
解得 a·b＝－6.
∴cos θ a·b －6 1＝ ＝ ＝－ ，
|a||b| 4×3 2
又 0≤θ≤π，
θ 2π∴ ＝ .
3
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，
∴|a＋b|＝ 13.
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.
∴|a－b|＝ 37.
15．已知非零向量 a，b，且 a＋3b与 7a－5b垂直，a－4b与 7a－2b垂直，求 a与 b的夹角．
解 由向量垂直得
a＋3b · 7a－5b ＝0，
a－4b · 7a－2b ＝0，
7a2＋16a·b＝15b2，
即
7a2－30a·b＝－8b2，
a·b 1＝ |b|2，
化简得 2
|a|＝|b|，
1 2
cos a b a·b
|b| 1
∴ 〈 ， 〉＝ ＝2 ＝ ，
|a|·|b| |b|2 2
∴a与 b π的夹角为 .
3
B 组 能力提升
一、选择题
5
1.已知向量 a (1,1)， b 6，且 a与b的夹角为 ，则 a b （ ）6
A． 2 B．2 C． 14 D．14
【答案】A
2 2
【解析】 a (1,1)， a 1 1 2，
又 b 6 5 ，且 a与b的夹角为 ，6
所以 a b a b cos 2 6
3
3
2
2 2
a b a 2a b b 2 2 3 6 2 .
故选：A
R e e 3e e e - e 2.设 ，若单位向量 1 ， 2 满足：e1 e2 且向量 1 2 与 1 2 的夹角为 ，则 3
（ ）
A 3 B 3． ． C． 3 D．1
3 3
【答案】A
【解析】由题意得，
e1 1， e2 1，e1 e2 0，
又向量 3e1 e2 与 e1- e2 的夹角为 ，3
2 2
得 3e1 e2 e1 e2 3e1 3 e1 e2 e1 e2 e2 3 ，
又 3e1 e2 2， e1- e 1
2
2 ，
则 3e1 e2 e1 e2 3e1 e2 e1 e2 cos 1 2 3 ，3
3
所以 .故选：A.
3
π
3.在边长为 3的菱形 ABCD中， DAB ，
3 AM 2MB
，则DM DB =（ ）
17
A．- B．-1
2
15 9
C． D．
2 2
【答案】C
2
【解析】DM DB (AM AD) (AB AD) AB AD (AB AD)
3
2 2 2 5 AB AD AB AD 2 32 32 5 3 3cos π 15 .
3 3 3 3 3 2
故选:C.
uuur
4．已知平面上三点 A , B ,C满足 AB 6, AC 8 , BC 10 ,则
AB BC BC CA CA AB ( )
A． 48 B． 48 C．100 D． 100
【答案】D
uuur
【解析】 AB 6, AC 8 , BC 10
| AB |2 | AC |2 | BC |2
故 ABC为直角三角形,且 BAC 90
AB AC 0
AB BC BC CA CA AB
AB BC BC CA
2 BC CA AB BC CB BC 100
故选:D.
5.（多选）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．0 a 0
B．若 a b，则 | a b | | a b |
C．若 AB//CD，则 A B C D四点共线；
D．在四边形 ABCD中，若 AB CD 0， AC BD 0，则四边形 ABCD为菱形.
【答案】BD
【解析】对于 A，0 a 0，故 A错误；
B a b a b 0 2 2
2 2
对于 ，若 ，则 ，所以 | a b | a b 2a b a b ，
2 2 2 2
| a b | a b 2a b a b ，故 | a b | | a b |，即 B正确；
对于 C， AB//CD，则 AB//CD或 AB与CD共线，故 C错误；
对于 D，在四边形 ABCD中，若 AB CD 0，即 AB DC，所以四边形 ABCD是平行四
uuur uuur
边形，又 AC BD 0，所以 AC BD，所以四边形 ABCD是菱形，故 D正确；
故选：BD
6．（多选）若 ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA 4OB 5OC 0，则下
列结论正确的是( )
A． BOC 90° B． AOB 90
OB CA 4
OC AB 1C． D．
5 5
【答案】BD
【解析】由于 ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA 4OB 5OC 0，
所以3OA 4OB 5OC ，两边平方并化简得 25 24OA OB 25 OA OB 0，
3OA 5OC 4OB，两边平方并化简得34 30OA OC 16 OA OC
3
，
5
4
4OB 5OC 3OA，两边平方并化简得 41 40OB OC 9 OB OC .5
所以 BOC 90°，A选项错误； AOB 90 ，B选项正确.
OB CA OB OA 4 OC OB OA OB OC ，C选项错误.5
OC AB OC OB OA OC OB OC 4 3 1 OA ，D选项正确.5 5 5
故选：BD
二、填空题
7 → → →．已知向量AB与AC的夹角为 120°，且|AB|＝3，|A→C|＝2.若 A→P＝λA→B＋A→C，且A→P⊥B→C，则
实数λ的值为________．
7
答案
12
A→ →解析 由 P⊥BC知A→P·B→C 0 → → → → → →＝ ，即AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝(λ－1)A→B·A→C λA→－ B 2＋
1
A→
－
C2＝(λ－1)×3×2× 2 －λ×9＋4＝0 7，解得λ＝ .
12
8.已知向量 a，b 满足 | a | 1， | b | 2，且向量 a，b 的夹角为 ，若 a4 b
与b 垂直，
则实数 的值为 .
2
【答案】
4
【解析】根据 a b 与b 垂直得到（ a b ）·b =0，
所以 a b b 2 2 0, 1 2 cos 4 0, .
4 4
9.已知 a ,b 是非零向量,满足 a 2b a, b 2a b ,则 a与b 的夹角是 .
π
【答案】
3
a 2b a
a 2 2a b 0
【解析】两个向量垂直，数量积为零，故 ，两式相减可得
b 2a
b b 2 2a b 0
r r
a b a 2
2a b a 2，故有 2 a 2 cos 0,cos 1 , π .
2 3
2
10.若两个向量 a,b的夹角是 ，a是单位向量， b 2，c 2a b，则向量 c与b 的夹3
角为 .
【答案】
3
2
【解析】因为两个向量 a,b的夹角是 ，a是单位向量， b 2，3
可得 a b a b cos 2 1 2 cos 2 1，
3 3
又由 c 2a b，所以 c (2a b)2
2 2
4a 4a b b 4 4 4 2，
2
所以 c b (2a b) b 2a b b 2 4 2 ，
设向量 c与b 的夹角为 ，其中 [0, ]，
cos c b 2 1则 2 2 2 ，可得 ,c b 3
即向量 c与b 的夹角为 .3
11.已知向量 a,b 满足 | b | 5,| a b | 4,| a b | 6，则向量 a在向量b 上的投影为________.
【答案】 1
【解析】向量 a,b 满足 | b | 5,| a b | 4,| a b | 6，
可得 (a b)2 16， (a b)2 36，
即为 a2 b 2 2a b 16， a2 b 2 2a b 36，
两式相减可得 a b 5，
a b 5
则向量 a在向量b 上的投影为 1．| b | 5
故答案为： 1．
C 组 挑战压轴题
一、填空题
1.已知 |OA | 1， OB 3，OA OB 0，点C在 AOB内，且 AOC 30 ，设
OC mOA nOB (m,n R) m， ，则 __________．
n
【答案】3
OC OA 3
【解析】因为 AOC 30 ，所以 cos AOC cos30 2 ，从而有OC OA
m |OA |2 nOA OB 3
2 2 2 2 ．因为 OA 1, OB 3,OA OB 0，m OA | n OB | 2mn OA OB OA 2
m 3 2
所以 m 3，化简可得 ，整理可得 2 2．因为点 在
m2 3n2 2 m2 2
m 9n C AOB
3n 4
内，所以m 0,n 0 m，所以m 3n，则 3
n
2.如图，O 为△ABC 的外心， AB 5， AC 3，∠BAC 为钝角，M 是边 BC 的中点，则
AM AO等于___________.
【答案】2
【解析】如图，取 AB, AC的中点D,E，可知OD AB,OE AC，
1
因为 M 是边 BC 的中点，所以 AM (AB AC) ,
2
1 AM AO (AB AC) AO
2
1
AB AO 1 AC AO
2 2
AD AO AE AO ,
由数量积的定义可得 AD AO AD AO cos AD ,AO ,
因为 AO cos AD, AO AD ，
22
所以 AD AO AD 5 5 ，
2 4
22 3 3
同理可得 AE AO AE 2
，
4
所以 AD AO AE AO 5 3 2，
4 4
AM AO 2，
3.如图，等腰三角形 ABC， AB AC 2， BAC 120 ．E，F 分别为边 AB， AC
上的动点，且满足 AE mAB， AF nAC，其中m，n (0,1)，m n 1，M ，N 分
别是 EF ， BC的中点，则 |MN |的最小值为_____.
1
【答案】
2
1 1 1
【解析】MN AN AM (AB AC) (mAB nAC) (1 m)AB
1
(1 n)AC
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 MN (1 m)2 AB (1 n)2 AC (1 m)(1 n)AB AC
4 4 2
(1 m)2 (1 n)2 (1 m)(1 n)；
m n 1， n 1 m，代入上式得：
2
MN (1 m)2 m2 (1 m)m 3m2
1 1
3m 1 3(m )2 ；2 4
m (0,1) m 1 2 1 |MN | 1 1； 时，MN 取最小值 ； 的最小值为 ．故答案为： ．2 4 2 2
4.在面积为 1 的平行四边形 ABCD中， DAB ，则 AB BC ___________；6
点 P 是直线 AD 2 2上的动点，则 PB PC PB PC的最小值为___________.
【答案】 3 3
【解析】∵平行四边形 ABCD的面积为 1，即 AB ADsin DAB 1，
∴ AB AD 2，
故 AB BC AB BC cos 3 DAB 2 3 .
2
2 2 2 2
PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC，
取 BC 的中点 Q，连接 PQ，
1 2 2则 PB PC 2PQ， PB PC PB PC PB PC ，4
2 2
∴ BC PB PC BC 1
2 2 2 2PB PC PB PC 3 BC PQ4 4
3 2 2
2 BC PQ 3 BC PQ 3S ABCD 3，4 四边形
3
此时 PQ BC，PQ BC ，
2
故答案为： 3， 3 .
5. a b c 2
b c设非零向量 ， ， ，满足 a b a ， c 2a b，则 的最小值是________．b c
3
【答案】
2
【解析】设 a a， b b(a 0,b 0)，
2 2
b c b（ 2a b) 2a b 2a2 b2，
c 2a b 8a2 b2
b c
2
2a b
2 (2a2 b2 )2
所以，
b c b 8a2 2 2 2 b2 b（8a b）
4(a )4 4(a )2 1 a
= b b （令 t ）
8(a )2 1 b
b
= 4t
4 4t2 1 1
2 (8t
2 1) 9 3
8t 1 16 16(8t2 1) 8
1 2 9 3 3 3
a 1
（仅当 t 时取等号）
16 8 4 2 b 2
b c 3则 的最小值是 .
b c 2
3
故答案为：
2
