北师大版数学九年级下册同步课时练习：1.6 利用三角函数测高(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册同步课时练习：1.6 利用三角函数测高(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 173.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-19 08:53:28 | ||
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文档简介
6 利用三角函数测高
知识点1 测量底部可以到达的物体的高度
1.如小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约为 .(结果精确到1m,参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈
1.28)
2.如在某街道的路边有相距10m、高度相同的两盏路灯(灯杆垂直地面),小明为了测量路灯的高度,在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°,向前行走25m到达B处,此时测得路灯MN顶端的仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线上,请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin24.3°≈
0.41,cos24.3°≈0.91,tan24.3°≈0.45)
知识点2 测量底部不能到达的物体的高度
3.如要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和点D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD=10m,则AB的长约为(参考数据:sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7)( )
A.15m B.30m C.35m D.40m
4.如大楼AB底部右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端点A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上).已知AB=40m,DE=10m,则障碍物B,C两点间的距离为 m.(结果保留根号)
5.[2020·潍坊]某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如桥AB是水平并且笔直的,测量过程中,小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停,此时测得桥两端A,B两点的俯角分别为60°和45°,求桥AB的长度.
6.如某小区1号楼与11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在1号楼的底部点B处测得11号楼的顶部点C的仰角为60°,然后到42m高的楼顶A处,测得点C的仰角为30°,请你帮助李明计算11号楼的高度CD.
7.如学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,斜坡的高DE为10m,则树AB的高度为 ( )
A.20m B.30m
C.30m D.40m
8.[2020·娄底]由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工,2020年2月28日竣工,彰显了国企的担当精神,展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成,如示,引桥一侧的桥墩顶端点E距地面5m(AE长),从点E处测得点D的俯角为30°,斜面ED长为4m,水平面DC长为2m,斜面BC的坡度为1∶4,求处于同一水平面上引桥底部AB的长.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,≈1.73).
9.某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).
课题 测量旗杆的高度
成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××
测量 工具 测量角度的仪器,皮尺等
测量 示意 如图 说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,点A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上
测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A,B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一:两次测量点A,B之间的距离的平均值是 m;
任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度;
(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么 (写出一条即可)
答案
1.11m 解：如如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
由题意得,BC=DE=8m,∠ADE=52°,BE=CD=1m.
在Rt△ADE中,AE=DE·tan∠ADE=8×tan52°≈10.24(m),
∴AB=AE+BE≈10.24+1≈11(m).
故答案为11m.
2.解:设PQ=MN=xm.
在Rt△APQ中,tanA=,
则AQ=≈=4x(m).
在Rt△MBN中,tan∠MBN=,
则BN=≈=x(m).
∵AQ+QN=AB+BN,
∴4x+10=25+x,解得x≈8.4.
故路灯的高度约为8.4m.
3.B
4.(30-10)
5.解:如如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
由题意,得∠MCA=∠A=60°,∠NCB=∠B=45°,CD=120米.
在Rt△ACD中,AD===40(米).
在Rt△BCD中,
∵∠CBD=45°,
∴BD=CD=120米,
∴AB=AD+BD=(40+120)米.
故桥AB的长度为(40+120)米.
6.解:如如图,过点A作AE⊥CD于点E,则四边形ABDE为矩形,∴AE=BD,AB=DE.
∵CD=BD·tan60°=BD,CE=AE·tan30°=BD·tan30°=BD,
∴AB=DE=CD-CE=BD=42m,
∴BD=21m,∴CD=BD=63m.
故11号楼的高度CD为63m.
7.B 解：过点D作DF⊥AB于点F,交BC于点G.
在Rt△CDE中,∵CD=20m,DE=10m,
∴sin∠DCE==,
∴∠DCE=30°.
又∵∠ACB=60°,
∴∠DCB=90°.
∵DF∥AE,∴∠BGF=∠BCA=60°.
∵∠BDF=30°,∴∠DBC=30°,
∴BC===20(m),
∴AB=BC·sin60°=20=30(m).
8.解:过点D作DF⊥AE于点F,DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥AB于点H,如如图.
则DF=AG,DC=GH=2,AF=DG=CH.
由题意,得∠EDF=30°,
∴EF=DE=×4=2,DF=AG=EF=2.
∵AE=5,
∴CH=AF=AE-EF=5-2=3.
∵斜面BC的坡度为1∶4,即=,
∴BH=4CH=12,
∴AB=AG+GH+BH=2+2+12=2+14≈17.5(m).
故处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m.
9.解:任务一:×(5.4+5.6)=5.5(m).
故答案为5.5.
任务二:设EG=xm.
在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,
∵tan31°=,∴DE=.
在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,
∵tan25.7°=,∴CE=.
∵CD=CE-DE,
∴-=5.5,
解得x=13.2,
∴GH=EG+EH≈13.2+1.5=14.7(m).
故学校旗杆GH的高度约为14.7m.
任务三:没有太阳光,或旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(答案不唯一,合理即可)
知识点1 测量底部可以到达的物体的高度
1.如小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约为 .(结果精确到1m,参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈
1.28)
2.如在某街道的路边有相距10m、高度相同的两盏路灯(灯杆垂直地面),小明为了测量路灯的高度,在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°,向前行走25m到达B处,此时测得路灯MN顶端的仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线上,请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin24.3°≈
0.41,cos24.3°≈0.91,tan24.3°≈0.45)
知识点2 测量底部不能到达的物体的高度
3.如要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和点D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD=10m,则AB的长约为(参考数据:sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7)( )
A.15m B.30m C.35m D.40m
4.如大楼AB底部右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端点A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上).已知AB=40m,DE=10m,则障碍物B,C两点间的距离为 m.(结果保留根号)
5.[2020·潍坊]某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如桥AB是水平并且笔直的,测量过程中,小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停,此时测得桥两端A,B两点的俯角分别为60°和45°,求桥AB的长度.
6.如某小区1号楼与11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在1号楼的底部点B处测得11号楼的顶部点C的仰角为60°,然后到42m高的楼顶A处,测得点C的仰角为30°,请你帮助李明计算11号楼的高度CD.
7.如学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,斜坡的高DE为10m,则树AB的高度为 ( )
A.20m B.30m
C.30m D.40m
8.[2020·娄底]由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工,2020年2月28日竣工,彰显了国企的担当精神,展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成,如示,引桥一侧的桥墩顶端点E距地面5m(AE长),从点E处测得点D的俯角为30°,斜面ED长为4m,水平面DC长为2m,斜面BC的坡度为1∶4,求处于同一水平面上引桥底部AB的长.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,≈1.73).
9.某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).
课题 测量旗杆的高度
成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××
测量 工具 测量角度的仪器,皮尺等
测量 示意 如图 说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,点A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上
测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A,B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一:两次测量点A,B之间的距离的平均值是 m;
任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度;
(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么 (写出一条即可)
答案
1.11m 解：如如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
由题意得,BC=DE=8m,∠ADE=52°,BE=CD=1m.
在Rt△ADE中,AE=DE·tan∠ADE=8×tan52°≈10.24(m),
∴AB=AE+BE≈10.24+1≈11(m).
故答案为11m.
2.解:设PQ=MN=xm.
在Rt△APQ中,tanA=,
则AQ=≈=4x(m).
在Rt△MBN中,tan∠MBN=,
则BN=≈=x(m).
∵AQ+QN=AB+BN,
∴4x+10=25+x,解得x≈8.4.
故路灯的高度约为8.4m.
3.B
4.(30-10)
5.解:如如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
由题意,得∠MCA=∠A=60°,∠NCB=∠B=45°,CD=120米.
在Rt△ACD中,AD===40(米).
在Rt△BCD中,
∵∠CBD=45°,
∴BD=CD=120米,
∴AB=AD+BD=(40+120)米.
故桥AB的长度为(40+120)米.
6.解:如如图,过点A作AE⊥CD于点E,则四边形ABDE为矩形,∴AE=BD,AB=DE.
∵CD=BD·tan60°=BD,CE=AE·tan30°=BD·tan30°=BD,
∴AB=DE=CD-CE=BD=42m,
∴BD=21m,∴CD=BD=63m.
故11号楼的高度CD为63m.
7.B 解：过点D作DF⊥AB于点F,交BC于点G.
在Rt△CDE中,∵CD=20m,DE=10m,
∴sin∠DCE==,
∴∠DCE=30°.
又∵∠ACB=60°,
∴∠DCB=90°.
∵DF∥AE,∴∠BGF=∠BCA=60°.
∵∠BDF=30°,∴∠DBC=30°,
∴BC===20(m),
∴AB=BC·sin60°=20=30(m).
8.解:过点D作DF⊥AE于点F,DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥AB于点H,如如图.
则DF=AG,DC=GH=2,AF=DG=CH.
由题意,得∠EDF=30°,
∴EF=DE=×4=2,DF=AG=EF=2.
∵AE=5,
∴CH=AF=AE-EF=5-2=3.
∵斜面BC的坡度为1∶4,即=,
∴BH=4CH=12,
∴AB=AG+GH+BH=2+2+12=2+14≈17.5(m).
故处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m.
9.解:任务一:×(5.4+5.6)=5.5(m).
故答案为5.5.
任务二:设EG=xm.
在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,
∵tan31°=,∴DE=.
在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,
∵tan25.7°=,∴CE=.
∵CD=CE-DE,
∴-=5.5,
解得x=13.2,
∴GH=EG+EH≈13.2+1.5=14.7(m).
故学校旗杆GH的高度约为14.7m.
任务三:没有太阳光,或旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(答案不唯一,合理即可)