第2课时 根据三个条件求二次函数的表达式
知识点1 根据抛物线上三个点的坐标求二次函数的表达式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c中的x和y的部分对应值如下表:
x … -2 -1 2 4 …
y … 7 2 -1 7 …
则这个二次函数的表达式为 .
2.二次函数的如图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)求此二次函数如图象的顶点坐标.
知识点2 根据抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的表达式
3.如示的抛物线的函数表达式是 ( )
A.y=x2-x+2
B.y=x2+x+2
C.y=-x2-x+2
D.y=-x2+x+2
4.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的函数表达式是 .
5.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x之间的函数表达式是 ( )
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
6.已知二次函数y有最大值4,且如图象与x轴两交点间的距离是8,对称轴为直线x=-3,则此二次函数的表达式为 .
7.如已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上,斜边上的高OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2,求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式.
8.如已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),连接BC.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)点D与点C关于抛物线的对称轴对称,连接DB,DC,直线PD交直线BC于点P,且直线PD把△BCD分成面积相等的两部分,请写出直线PD的函数表达式.
答案
1.y=x2-2x-1
2.解:(1)设此二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
把点(0,-3),(2,-3),(-1,0)的坐标代入,得解得
∴此二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故此二次函数如图象的顶点坐标为(1,-4).
3.D 解：根据题意,设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-2).
把点(0,2)的坐标代入,得-2a=2,
解得a=-1,
所以抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.故选D.
4.y=-x2+x+3 解：根据题意,设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4).
把点C(0,3)的坐标代入,得-8a=3,解得a=-,
则抛物线的函数表达式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+3.
故答案为y=-x2+x+3.
5.A 解：当x=1时,ax2=1,得a=1.
将点(-1,8),(0,3)的坐标分别代入y=x2+bx+c,
得解得
所以y与x之间的函数表达式是y=x2-4x+3.故选A.
6.y=-x2-x+
7.解:∵∠AOC=∠ACB=90°,
∴∠CAO+∠ACO=90°,∠CAO+∠ABC=90°,
∴∠ACO=∠ABC.
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△ACO∽△CBO,
∴=,即OC2=OB·OA.
∵OA=1,OC=2,∴OB=4,
∴A(-1,0),C(0,2),B(4,0).
设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-4).
将点C(0,2)的坐标代入,得2=-4a,解得a=-,则经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-4)=-x2+x+2.
8.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-3).把点C(0,3)的坐标代入,得-3a=3,解得a=-1,
故此抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,点D与点C关于抛物线的对称轴对称,C(0,3),
∴CD∥x轴,D(2,3).
∵直线PD把△BCD分成面积相等的两部分,
∴点P到CD的距离等于点B到CD距离的一半,
∴P是线段BC的中点.
∵B(3,0),C(0,3),∴P,.
设直线PD的函数表达式为y=kx+m,
∴解得
∴直线PD的函数表达式为y=3x-3.3 第1课时 根据两个条件求二次函数的表达式
知识点1 已知一个点或两个点的坐标求二次函数的表达式
1.已知二次函数y=x2+bx-2的如图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),则该二次函数的表达式为( )
A.y=x2-2x B.y=x2+x-1
C.y=x2+x-2 D.y=x2-x-2
2.二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则m的值为 .
x … 1 2 3 …
y … -2 m 2 …
3.已知某二次函数的如图象如示,则这个二次函数的表达式是 .
知识点2 已知顶点坐标求二次函数的表达式
4.若二次函数的如图象如则它的表达式是( )
A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x
5.若二次函数的如图象经过点(4,-3),且当x=3时,函数有最大值-1,则该二次函数的表达式为 .
6.如已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0,-1),与x轴交于A,B两点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)判断△MAB的形状,并说明理由.
7.抛物线y=-ax2+bx+2的对称轴为直线x=1,且过点(-1,0),则该抛物线的函数表达式为 .
8.一抛物线与抛物线y=3x2的形状相同,且顶点坐标为(-1,3),则该抛物线的函数表达式为 .
9.如示,一拱桥的截面呈抛物线形状,拱桥两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,拱桥与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数表达式;
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
10.如抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设该抛物线上有一个动点P,当点P在什么位置时,满足S△PAB=8 求出此时点P的坐标.
答案
1.C 2.-1
3.y=2x2-4x-6 解：由题意可设y=a(x-1)2-8(a≠0),如图象经过点(3,0),则a=2,则y=2(x-1)2-8,则y=2x2-4x-6.
4.D 解：根据如图象,得抛物线的顶点坐标为(1,2),设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(2,0)的坐标代入表达式,得0=a+2,解得a=-2,则二次函数的表达式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.
5.y=-2(x-3)2-1
6.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为M(0,-1),
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2-1.
(2)△MAB是等腰直角三角形.理由如下:
当y=0时,x2-1=0,∴x=±1,
∴A(-1,0),B(1,0).
又∵点M的坐标为(0,-1),
∴OA=OB=OM,
∴∠OAM=∠OMA=∠OBM=∠OMB=45°,
∴∠AMB=90°,MA=MB,
故△MAB是等腰直角三角形.
7.y=-x2+x+2
8.y=3(x+1)2+3或y=-3(x+1)2+3
9.解:(1)答案不唯一,建立如如图所示的平面直角坐标系.
由题意,得抛物线的顶点坐标是(5,5),与y轴的交点坐标是(0,1).
设抛物线对应的函数表达式是y=a(x-5)2+5,
把点(0,1)的坐标代入y=a(x-5)2+5,
得a=-,∴y=-(x-5)2+5(0≤x≤10).
(2)由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4,
令4=-(x-5)2+5,
∴(x-5)2=1,∴x1=,x2=,
∴两盏景观灯之间的水平距离为-=5(m).
10.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴解得
∴该抛物线的函数表达式是y=x2-2x-3.
(2)设点P的纵坐标为yP.
∵S△PAB=8,∴AB·|yP|=8.
∵AB=3+1=4,∴|yP|=4,
∴yP=±4.
把yP=4代入抛物线的函数表达式,
得4=x2-2x-3,解得x=1±2;
把yP=-4代入抛物线的函数表达式,
得-4=x2-2x-3,解得x1=x2=1.
∴当点P的坐标为(1+2,4)或(1-2,4)或(1,-4)时,满足S△PAB=8.
