5 第1课时 二次函数的如图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系
知识点 二次函数的如图象与一元二次方程的根之间的关系
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.若关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若二次函数y=ax2-2ax+c的如图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的根为 ( )
A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3
C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1
4.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点坐标为(m,0),则代数式m2-m+5= .
5.若二次函数y=kx2-6x+3的如图象与x轴有交点,则k的取值范围是 .
6.二次函数y=ax2+bx+c的如图象如示,则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是 .
7.小明抛投一个沙包,沙包被抛出后距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)近似满足函数关系式h=-t2+2t+3(t>0),则方程-t2+2t+3=2.5的根的实际意义是 .
8.若二次函数y=2x2+mx+8的如图象如则m的值是 ( )
A.-8 B.8 C.±8 D.6
9.若关于x的函数y=mx2+(m-2)x+m的如图象与x轴有两个不同的交点,则m的值可能为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=x+k(k≠0)的如图象如示,根据如图象解答下列问题:
(1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c-x-k<0的解集;
(3)若方程ax2+bx+c+m=0有实数根,求m的最大值.
11.已知关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的如图象与x轴都没有交点;
(2)把该函数的如图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数如图象与x轴只有一个交点
12.若函数y=x2-2x+b的如图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是 ( )
A.b<1且b≠0 B.b>1
C.0答案
1.A
2.A
3.C 解：∵二次函数y=ax2-2ax+c的如图象经过点(-1,0),
∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个根为x=-1.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴二次函数y=ax2-2ax+c的如图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴方程ax2-2ax+c=0的根为x1=-1,x2=3.
故选C.
4.6
5.k≤3且k≠0 解：∵二次函数y=kx2-6x+3的如图象与x轴有交点,
∴b2-4ac=36-4×k×3=36-12k≥0且k≠0,
解得k≤3且k≠0,
则k的取值范围是k≤3且k≠0.
6.m≥-4 解：∵抛物线的顶点坐标为(6,-4),
即当x=6时,二次函数有最小值,为-4,
∴当m≥-4时,直线y=m与二次函数y=ax2+bx+c的如图象有交点,
∴方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥-4.
7.沙包抛出后距离地面的高度为2.5米时的飞行时间
8.B 解：∵二次函数的如图象与x轴有一个交点,∴b2-4ac=m2-4×2×8=0,
解得m1=8,m2=-8.
∵二次函数如图象的对称轴在y轴左侧,
∴a,b同号,∴m=8.
9.A 解：函数y=mx2+(m-2)x+m的如图象与x轴有两个不同的交点,
则b2-4ac=(m-2)2-4m×m=m2-4m+4-m2=-4m+4>0,
∴m<1.
又∵m≠0,∴m<1且m≠0.故选A.
10.解:(1)从如图象看,方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-3,x2=-1.
(2)从如图象看,当-3故不等式ax2+bx+c-x-k<0的解集为-3(3)由如图象可知当-m≥-2,即m≤2时,直线y=-m与二次函数y=ax2+bx+c的如图象有交点,
∴m的最大值为2.
11.解:(1)证明:因为b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
所以关于x的方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根,
即不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的如图象与x轴都没有交点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的如图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的如图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的如图象与x轴只有一个交点.
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的如图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数如图象与x轴只有一个交点.
12.A 解：∵函数y=x2-2x+b的如图象与坐标轴有三个交点,∴(-2)2-4b>0且b≠0,解得b<1且b≠0.第2课时 利用二次函数的如图象求一元二次方程的近似根
知识点 利用函数如图象求方程的近似根
1.探究课上,老师给出一个问题“利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的如图象,求一元二次方程2x2=x+2的近似根”.小华利用计算机绘制出如示的如图象,通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足-1A.公理化 B.分类讨论
C.数形结合 D.由特殊到一般
2.下表是几组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( )
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
3.小颖用计算器探索一元二次方程ax2+bx+c=0的根,作出函数y=ax2+bx+c的如图象如示,并求得方程的一个近似根为x≈-3.4,则另一个近似根(精确到0.1)为 ( )
A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4
4.根据下表中的对应值,判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数是 ( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c 0.02 -0.01 0.02 0.11
A.0 B.1 C.2 D.1或2
5.抛物线y=x2-2x+0.5如示,利用如图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似根为 .(结果精确到0.1)
6.[教材随堂练习变式题]利用二次函数的如图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根.(结果精确到0.1)
7.如已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在点(1,0)和(3,0)之间,你所确定的b的值是 .
8.在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3,两如图象交点的横坐标就是一元二次方程x2+x-3=0的解.
(1)填空:利用如图象解一元二次方程x2+x-3=0,也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y= 和直线y=-x,其交点的横坐标就是该方程的解.
(2)已知函数y=-的如图象(如示),利用如图象求方程-x+3=0的近似解.(结果精确到0.1)
答案
1.C
2.C
3.D 解：∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(-3.4,0),对称轴为直线x=-1,∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(1.4,0),则方程的另一个近似根为1.4.
4.C 解：∵当x=6.17时,y=0.02>0;当x=6.18时,y=-0.01<0;当x=6.19时,y=0.02>0,∴方程的一个根在6.17~6.18之间,另一个根在6.18~6.19之间.故选C.
5.x1≈0.3,x2≈1.7
6.解:方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的如图象与x轴交点的横坐标.
作出二次函数y=x2-2x-1的如图象,如如图所示.
由如图象可知方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.
先求-1和0之间的根,
当x=-0.4时,y=-0.04;
当x=-0.5时,y=0.25;
因此,x=-0.4是方程的一个近似根.
同理,x=2.4是方程的另一个近似根.
即方程x2-2x-1=0的近似根为x1≈-0.4,x2≈2.4.
7.答案不唯一,如-
8.解:(1)x2-3
(2)如图象如如图所示.
由如图象可得,方程-x+3=0的近似解为x1≈-1.4,x2≈4.4.
