第2课时 圆周角定理的推论
知识点1 圆周角定理的推论2
1.如,AB是☉O的直径,点C在☉O上.若∠A=40°,则∠B的度数为 ( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
2.[教材习题3.5第2题变式题]如,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20° B.70° C.30° D.90°
3.如,把三角尺的直角顶点O放在破损圆玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是 ( )
A.cm B.5cm C.6cm D.10cm
4.如,☉O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD,BD.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求弦BD的长.
知识点2 圆的内接四边形
5.如,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是 ( )
A.70° B.110° C.130° D.140°
6.如,在☉O中,点A在上,∠BOC=100°,则∠BAC= °.
7.已知四边形ABCD内接于☉O,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D= °.
8.如,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为 .
9.如,四边形ABED是圆的内接四边形,延长AD,BE相交于点C,已知∠C=∠EDC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB是四边形ABED外接圆的直径,求证:=.
10.如,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为( )
A.100° B.110° C.115° D.120°
11.如,半径为3的☉A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧☉A优弧上一点,则tan∠OBC为 ( )
A. B.2 C. D.
12.如,点A,B,C,D都在☉O上,且四边形OABC是平行四边形,则∠D的度数为( )
A.45° B.60° C.75° D.不能确定
13.如,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.
14.如,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,交斜边AC于点D,E为OB的中点,连接CE并延长交☉O于点F,点F恰好落在的中点处,连接AF并延长交CB的延长线于点G,连接OF.
(1)求证:OF=BG;
(2)若AB=4,求DC的长.
15.如,BC为☉O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上一动点,连接PB与AD,AC分别交于点E,F.
(1)当=时,求证:AE=BE;
(2)当点P在什么位置时,AF=EF 证明你的结论.
答案
1.C 解：因为AB是☉O的直径,所以∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,所以∠B=90°-∠A=90°
-40°=50°.
2.A
3.B 解：连接MN.∵∠MON=90°,
∴MN为圆的直径.
∵OM=8cm,ON=6cm,
∴MN==10(cm),
∴圆玻璃镜的半径为5cm.故选B.
4.解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=5,
∴sin∠ABC==,∴∠ABC=30°,
∴∠ADC=∠ABC=30°.
(2)∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD.
又∵∠ADB=90°,AB=10,
∴BD=AB·sin∠BAD=5.
5.B 解：∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.
故选B.
6.130 解：如如图,取优弧BMC上的一点D,连接BD,CD.
∵∠BOC=100°,∴∠D=50°,
∴∠BAC=180°-∠D=180°-50°=130°.
故答案为130.
7.90 解：设∠A=2x,则∠B=3x,∠C=4x.
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,
∴2x+4x=180°,解得x=30°,
∴∠D=180°-3x=180°-90°=90°.
故答案为90.
8.52°
9.证明:(1)∵四边形ABED是圆的内接四边形,
∴∠B+∠ADE=180°.
又∵∠EDC+∠ADE=180°,∴∠EDC=∠B.
又∵∠EDC=∠C,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)如如图,连接AE.
∵AB是四边形ABED外接圆的直径,
∴∠AEB=90°.
又∵AB=AC,∴AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠EAD,∴=.
10.B 解：连接EB.∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵∠AED=20°,∴∠DEB=90°-
20°=70°.∵四边形DEBC是☉O的内接四边形,∴∠BCD=180°-∠DEB=110°.
11.D 12.B
13.解:(1)证明:∵E是AD的中点,OC是☉O的半径,
∴=,∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵E是AD的中点,
∴OC⊥AD,∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB.
又∵∠CAE=∠CBA,
∴△AEC∽△BCA,
∴=,即=,∴CE=3.6.
∵OC=AB=5,
∴OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
14.解：(1)证明OF是△ABG的中位线即可;(2)连接BD.先证明△FOE≌△CBE,得BC=OF=AB=2,利用勾股定理得出AC的长,再证明△BDC∽△ABC,得出DC=.
解:(1)证明:∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,点F恰好落在的中点处,
∴=,∴∠AOF=∠BOF.
∵∠AOF+∠BOF=180°,
∴∠AOF=∠BOF=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠BOF=∠ABC,
∴OF∥CG.
∵AO=BO,∴AF=FG,
∴OF是△ABG的中位线,∴OF=BG.
(2)在△FOE和△CBE中,
∵∠FOE=∠CBE=90°,EO=EB,∠OEF=∠BEC,∴△FOE≌△CBE(ASA),
∴BC=OF=AB=2,
∴AC==2.
连接BD.∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,∴∠BDC=∠ABC=90°.
又∵∠BCD=∠ACB,∴△BDC∽△ABC,
∴=,即=,解得DC=.
15.解:(1)证明:延长AD交☉O于点M,连接AB,BM.
∵BC为☉O的直径,AD⊥BC于点D,
∴=,∴∠BMD=∠BAD.
∵=,∴∠BMD=∠ABP,
∴∠BAD=∠ABP,∴AE=BE.
(2)当=时,AF=EF.
证明:∵=,∴∠PBC=∠ACB.
又∵∠AEF=∠BED=90°-∠PBC,∠EAF=90°-∠ACB,
∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.4 第1课时 圆周角定理
知识点1 圆周角的认识
1.如示,如图中的角是圆周角的为( )
知识点2 圆周角定理
2.如点A,B,C在☉O上,∠ACB=36°,则∠AOB等于 ( )
A.28° B.54° C.36° D.72°
3.[2021·常州]如BC是☉O的直径,AB是☉O的弦,若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.如点A,B,C,D在☉O上,∠AOC=120°,B是的中点,则∠D的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.如点A,B,C在☉O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( )
A.25° B.50° C.60° D.80°
6.如点A,B,C均在☉O上,且☉O的半径为2cm,若BC=2cm,则∠A的度数为( )
A.30° B.25° C.15° D.10°
7.[教材习题3.4第1题变式题]如OA,OB,OC都是☉O的半径,∠AOB=2∠BOC.
(1)求证:∠ACB=2∠BAC;
(2)若AC平分∠OAB,求∠AOC的度数.
知识点3 圆周角定理的推论1
8.[教材随堂练习第2题变式题]如A,B,C,D是☉O上的点,则如图中与∠A相等的角是( )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
9.如在☉O中,=,∠DCB=28°,则∠ABC= °.
10.如,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠D= °.
11.如,由边长均为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sin∠ADC的值为 ( )
A. B. C. D.
12.如,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
13.[2020·眉山]如,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为 ( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
14.如,AB是☉O的直径,EF,EB是☉O的弦,且EF=EB,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是 ( )
A.20° B.35° C.40° D.55°
15.点A,B,C(不重合)在半径为2cm的☉O上,若BC=2cm,则∠BAC的度数为 .
16.如,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点M,若所对的圆心角为72°,所对的圆心角为18°,求∠M+∠AEC的大小.
17.如,点A,B,C,D都在☉O上,OC⊥AB,∠ADC=30°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求证:四边形AOBC是菱形.
18.如,在☉O中,B是☉O上一点,∠ABC=120°,弦AC=2,弦BM平分∠ABC交AC于点D,连接MA,MC.
(1)求☉O的半径;
(2)求证:AB+BC=BM.
答案
1.C 解：只有C项满足圆周角定义的两个要素:顶点在圆上,角的两边与圆有交点.
2.D
3.C 解：∵∠AOC=60°,
∴∠B=∠AOC=30°.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=30°.故选C.
4.A 解：连接OB,如如图.
∵B是的中点,
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=×120°=60°,
∴∠D=∠AOB=30°.故选A.
5.B 解：∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°.∵AC∥OB,∴∠B=∠CAB=25°,
∴∠BOC=2∠CAB=50°.
6.A 解：如如图,连接OB,OC.
∵☉O的半径为2,BC=2,
∴OB=OC=BC,
∴△OBC为等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠A=∠BOC=30°.
故选A.
7.解:(1)证明:在☉O中,∠AOB=2∠ACB,
∠BOC=2∠BAC.
又∵∠AOB=2∠BOC,
∴∠ACB=2∠BAC.
(2)设∠BAC=x°.
∵AC平分∠OAB,
∴∠OAB=2∠BAC=2x°,
∴∠OBA=∠OAB=2x°.
∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=2∠BAC,
∠BOC=2∠BAC,
∴∠AOB=4∠BAC=4x°,∠BOC=2x°.
在△OAB中,∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,∴4x+2x+2x=180,解得x=22.5,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x°+2x°=6x°=135°.
8.D
9.28
10.65 解：∵∠C=25°,
∴∠A=∠C=25°.
∵☉O的直径AB过弦CD的中点E,
∴AB⊥CD,
∴∠AED=90°,
∴∠D=90°-25°=65°.
故答案为65.
11.A 解：连接BC.
∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是,
∴∠ADC=∠ABC.
∵AC=2,BC=3,
∴AB==,
∴sin∠ABC==,
∴sin∠ADC=.
故选A.
12.证明:如如图,连接AC.
∵AB=CD,∴=,
∴+=+,即=,
∴∠C=∠A,
∴PA=PC.
13.C 解：∵BC=CD,
∴=,
∴∠BAC=∠DAC=35°,
∴∠BAD=70°.
∵∠ABD=∠ACD=45°,
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-70°-45°=65°.
故选C.
14.B 解：如如图,连接FB.
∵∠AOF=40°,∴∠FOB=180°-40°=140°,
∴∠FEB=∠FOB=70°.
∵EF=EB,∴∠EFB=∠EBF=55°.
∵FO=BO,∴∠OFB=∠OBF=20°,
∴∠EFO=∠EFB-∠OFB=35°.
故选B.
15.60°或120° 解：过点O作OD⊥BC于点D,如如图所示.
∵OD⊥BC,
∴BD=CD=BC=cm.
∵OB=2cm,
∴cos∠OBD=,
∴∠OBD=30°,∴∠BOD=60°,
∴∠BOC=120°,
∴∠BAC=60°或∠BA'C=120°.
故答案为60°或120°.
16.解：根据圆周角和圆心角的关系,可求得∠A=∠C=9°,∠ABC=36°,再利用三角形外角与内角的关系,求∠M+∠AEC的大小.
解:根据题意,得∠A=∠C=9°,∠ABC=36°.
∵∠AEC=∠A+∠ABC,
∴∠AEC=9°+36°=45°.
∵∠ABC=∠C+∠M,
∴∠M=∠ABC-∠C=36°-9°=27°,
∴∠M+∠AEC=27°+45°=72°.
17.解:(1)∵OC⊥AB,
∴=,∴∠AOC=∠BOC.
∵∠ADC=∠AOC=30°,∴∠AOC=60°,
∴∠BOC=60°.
(2)证明:∵OA=OC=OB,∠AOC=∠BOC=60°,
∴△AOC和△BOC都是等边三角形,
∴OA=AC=OC=OB=BC,
∴四边形AOBC是菱形.
18.解:(1)连接OA,OC,过点O作OH⊥AC于点H,如如图①.
∵∠ABC=120°,BM平分∠ABC,
∴∠ACM=∠ABM=60°,∠CAM=∠CBM=60°,
∴∠AMC=60°,∴△AMC是等边三角形,
∴∠AOC=2∠AMC=120°,
∴∠AOH=∠AOC=60°.
∵AH=AC=,∴OA==2.
故☉O的半径为2.
(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE,如如图②.
∵∠MBC=60°,BE=BC,
∴△EBC是等边三角形,
∴CE=BC=BE,∠BCE=60°.
∵∠ACM=60°,∴∠ECM=∠BCD.
∵△AMC是等边三角形,∴AC=CM,
∴△ACB≌△MCE,∴AB=ME.
∵ME+EB=BM,∴AB+BC=BM.
