6 第1课时 直线和圆的位置关系
知识点1 直线与圆的位置关系的判定
1.已知☉O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则反映直线l与☉O的位置关系的如图形是( )
2.已知☉O的直径为16cm,圆心O到直线l的距离为9cm,则直线l与☉O的公共点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
3.已知☉O的半径为2,点P在直线l上,若OP=2,则直线l与☉O的位置关系为 ( )
A.相切 B.相离
C.相离或相切 D.相切或相交
4.如Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 .
5.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,以点C为圆心作☉C.
(1)若☉C与AB相切,求☉C的半径r;
(2)若☉C与直线AB相交,求☉C的半径r的取值范围;
(3)若☉C与直线AB没有公共点,求☉C的半径r的取值范围.
知识点2 圆的切线的概念与性质
6.[2021·长春]如AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
7.如直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.如在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为( )
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
9.如AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D.若∠C=20°,则∠CDA= °.
10.如△ABC是☉O的内接三角形,∠A=119°,过点C的切线交直线BO于点P,则∠P= °.
11.[2020·哈尔滨]如AB为☉O的切线,A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为 ( )
A.25° B.20° C.30° D.35°
12.如AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数为 ( )
A.75° B.70° C.65° D.60°
13.如所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,r为半径的圆与边AB有公共点,则r的取值范围为 ( )
A.r≥ B.r=3或r=4
C.≤r≤3 D.≤r≤4
14.如,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为 .
15.如,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:
(1)当d=3时,m= ;
(2)当m=2时,d的取值范围是 .
16.如,BC是☉O的直径,CE是☉O的弦,过点E作☉O的切线,交CB的延长线于点G,过点B作BF⊥GE于点F,交CE的延长线于点A.
(1)求证:∠ABG=2∠C;
(2)若GF=3,GB=6,求☉O的半径.
17.如,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.
(1)求证:CE=EF.
(2)连接AF并延长,交☉O于点G,连接EG,OG,填空:
①当∠D的度数为 时,四边形ECFG为菱形;
②当∠D的度数为 时,四边形ECOG为正方形.
答案
1.B 解：因为圆心O到直线l的距离小于圆的半径,所以直线l和☉O相交,但圆心O到直线l的距离大于0,所以直线l不过圆心O.
2.A 3.D
4.相切 解：∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,
∴BC==3.
故当r=3时,☉B与AC的位置关系是相切.
5.解:如如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
(1)∵∠ACB=90°,AC=5,AB=13,
∴BC=12.
∵CD·AB=AC·BC,
∴CD==,
故若☉C与AB相切,则☉C的半径r为.
(2)由(1)得若☉C与直线AB相交,则☉C的半径r的取值范围是r>.
(3)由(1)得若☉C与直线AB没有公共点,则☉C的半径r的取值范围是06.C 解：∵BC是☉O的切线,AB是☉O的直径,
∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,
∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.
故选C.
7.D
8.B 解：在△ABC中,
∵AB=5,BC=3,AC=4,
∴BC2+AC2=32+42=52=AB2,
∴∠ACB=90°.
如如图,设切点为D,连接CD.
∵AB是☉C的切线,
∴CD⊥AB.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴CD==2.4,
∴☉C的半径为2.4.
故选B.
9.125
10.32 解：如如图所示,设BP交圆于点D,连接OC,CD.
∵PC是☉O的切线,∴PC⊥OC,
∴∠OCP=90°.
∵∠A=119°,∴∠ODC=180°-∠A=61°.
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC=61°,
∴∠DOC=180°-2×61°=58°,
∴∠P=90°-∠DOC=32°.
11.B 解：∵AB与☉O相切于点A,
∴OA⊥BA,∴∠OAB=90°.
∵∠AOC=2∠ADC,∠ADC=35°,
∴∠AOC=70°,∴∠ABO=90°-70°=20°.
故选B.
12.B 解：∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°.
∵∠APO=∠BPC=70°,
∴∠A=90°-70°=20°.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠A=20°.
∵BC为☉O的切线,
∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°-20°=70°.
故选B.
13.D
14.3cm或5cm 解：∵直线a⊥b,垂足为H,O为直线b上一动点,
∴☉O与直线a相切时,切点为H,
∴OH=1cm.
当点O在点H的左侧,☉O与直线a相切时,如如图①所示:
OP=PH-OH=4-1=3(cm);
当点O在点H的右侧,☉O与直线a相切时,如如图②所示:
OP=PH+OH=4+1=5(cm).
综上,若以1cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为3cm或5cm.
故答案为3cm或5cm.
15.(1)1 (2)116.解:(1)证明:如如图,连接OE.
∵EG是☉O的切线,∴OE⊥EG.
∵BF⊥GE,∴OE∥AB,
∴∠A=∠OEC.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠C,∴∠A=∠C.
∵∠ABG=∠A+∠C,
∴∠ABG=2∠C.
(2)∵BF⊥GE,∴∠BFG=90°.
∵GF=3,GB=6,
∴BF==3.
∵∠GFB=∠GEO=90°,∠G=∠G,
∴△BGF∽△OGE,
∴=,∴=.
∵OB=OE,∴=,
∴OE=6,∴☉O的半径为6.
17.解:(1)证明:连接OC,如如图.
∵CE为☉O的切线,
∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,
即∠1+∠4=90°.
∵DO⊥AB,
∴∠3+∠B=90°.
又∵∠2=∠3,
∴∠2+∠B=90°.
∵OB=OC,
∴∠4=∠B,
∴∠1=∠2,
∴CE=EF.
(2)如如图,①当∠D=30°时,∠DAO=60°.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,
∴∠3=∠2=60°.
又∵CE=EF,
∴△CEF为等边三角形,
∴CE=CF=EF.
易得∠GFE=60°.
利用对称得FG=CF,
∴FG=EF,
∴△FEG为等边三角形,
∴EG=FG,∴CF=FG=EG=CE,
∴四边形ECFG为菱形.
故答案为30°.
②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°,
∴∠COE=45°.
利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°.
易得△OEC≌△OEG,
∴∠OGE=∠OCE=90°,
∴四边形ECOG为矩形.
又OC=OG,
∴四边形ECOG为正方形.
故答案为22.5°.第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
知识点1 切线的判定
1.下列说法正确的是 ( )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.如果圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.如,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为 .(填一个即可)
3.在△ABO中,OA=OB=2cm,☉O的半径为1cm,当∠AOB= °时,直线AB与☉O相切.
4.如,AB是☉O的直径,下列条件中能判定直线AT是☉O的切线的有 .(填序号)
①AB=4,AT=3,BT=5;②∠B=45°,AB=AT;③∠B=55°,∠TAC=55°;④∠ATC=∠B.
5.如,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB,C是AB的中点,以OC为半径作☉O.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若OC=2,求OA的长.
知识点2 三角形的内切圆
6.三角形内切圆的圆心为 ( )
A.三条边上的高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条边上的中线的交点
7.如,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 .
8.如,☉O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则☉O的半径等于 .
9.如,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠ABC=60°,∠ACB=70°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠EDF的度数.
10.如,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 ( )
A.56° B.62° C.68° D.78°
11.如,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E.要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是 ( )
A.DE=DO B.AB=AC C.CD=DB D.AC∥OD
12.如,已知AB是半圆O的直径,AD,BD是半圆的弦,∠PDA=∠PBD,∠BDE=60°,若PD=,则PA的长为 .
13.如所示,AB是☉O的直径,AD和BC分别切☉O于A,B两点,CD与☉O有公共点E,且AD=DE.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=12,BC=4,求AD的长.
14.联想三角形内心的概念,我们可引入如下概念:
定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.
举例:如①所示,若PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PD=PE,则点P为△ABC的准内心.
应用:如如图②所示,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,且PF=BP,求证:点P是△ABC的内心.
探究:如如图③所示,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,准内心P在AC上,PD⊥AB.若PC=AP,求∠A的度数.
答案
1.B
2.答案不唯一,如∠ABC=90°
3.120
4.①②③ 解：①∵AB=4,AT=3,BT=5,∴AB2+AT2=BT2,∴∠BAT=90°,
∴直线AT是☉O的切线,故此项符合题意.
②∵∠B=45°,AB=AT,
∴∠T=45°,∴∠BAT=90°,
∴直线AT是☉O的切线,故此项符合题意.
③∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°.
∵∠B=55°,∴∠BAC=35°.
∵∠TAC=55°,∴∠BAT=90°,
∴直线AT是☉O的切线,故此项符合题意.
④由∠ATC=∠B无法得出直线AT是☉O的切线,故此项不符合题意.
故答案为①②③.
5.解:(1)证明:∵OA=OB,C是AB的中点,
∴OC⊥AB.
∵OC为☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)∵∠AOB=90°,OA=OB,
∴△AOB是等腰直角三角形.
∵C是AB的中点,∴AB=2OC=4.
∵OA·OB=AB·OC,
∴OA==2.
6.B 7.70°
8. 解：设☉O与AC的切点为M,☉O的半径为r.
如如图,连接OM.
易得CM=OM=r.
∵OM⊥AC,∠C=90°,∠OAM=∠DAC,
∴△AOM∽△ADC,
∴OM∶CD=AM∶AC,
即r∶1=(4-r)∶4,
解得r=.
9.解:(1)∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC=30°,∠OCB=∠ACB=35°,
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°.
(2)如如图,连接OE,OF.
∵∠ABC=60°,∠ACB=70°,
∴∠A=180°-60°-70°=50°.
∵AB,AC是☉O的切线,
∴∠OFA=90°,∠OEA=90°,
∴∠A+∠EOF=180°,
∴∠EOF=180°-∠A=130°,
∴∠EDF=∠EOF=65°.
10.C 11.A 12.1
13.解:(1)证明:如如图,连接OD,OE.
∵AD切☉O于点A,
∴∠DAB=90°.
在△ADO和△EDO中,
∵AD=ED,OA=OE,OD=OD,
∴△ADO≌△EDO(SSS),
∴∠OED=∠OAD=90°,即OE⊥CD.
又∵OE是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)如如图,过点C作CH⊥AD于点H,连接OC,则∠CHA=∠CHD=90°.
∵AD和BC分别切☉O于A,B两点,
∴∠DAB=∠ABC=90°,
∴四边形ABCH是矩形,
∴CH=AB=12,AH=BC=4,
∴DH=AD-AH=AD-4.
在Rt△OEC和Rt△OBC中,
∵OB=OE,OC=OC,
∴Rt△OEC≌Rt△OBC(HL),
∴CB=CE=4,
∴CD=DE+CE=AD+4.
在Rt△CDH中,
∵CH2+DH2=CD2,
∴122+(AD-4)2=(AD+4)2,
∴AD=9.
14.解:应用:
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵BF为△ABC的角平分线,∴∠PBE=30°.
∵PE⊥BC,∴PE=BP.
∵PF=BP,∴PE=PF.
∵BF是等边三角形ABC的角平分线,
∴BF⊥AC.
∵点P在BF上,PD⊥AB,PE⊥BC,
∴PD=PE,∴PE=PD=PF,
∴点P是△ABC的内心.
探究:根据题意,得PD=PC=AP.
∵sinA===,∠A是锐角,
∴∠A=30°.
