3 第1课时 同分母分式的加减
知识点 1 同分母分式的加减法
1.计算-,结果正确的是( )
A.1 B.x C. D.
2.(2020天津)计算+的结果是( )
A. B. C.1 D.x+1
3.计算:+-= .
4.计算下列各题:
(1)+; (2)-;
(3)-; (4)+-.
5.化简:-.
知识点 2 分母互为相反数的分式的加减法
6.化简+的结果为( )
A. B.a+1 C.a D.1
7.计算:-= .
8.计算下列各题:
(1)-; (2)+-.
9.(教材习题5.4T3变式)先化简,再求值:+,其中x=-2022.
10.若= +,则 中的数是( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.任意实数
11.已知两个式子:A=,B=+,其中x≠±2,则A与B的关系是( )
A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.A大于B
12.计算:
(1)+-; (2)+-.
13.先化简,再求值:+÷,其中m=9.
14.已知x2-3x-1=0,x≠0,求x2+的值.
15.对于正数x,规定:f(x)=.
例如:f(1)==,f(2)==,
f==.
(1)计算:f(3)+f= ,f(4)+f= ;
(2)猜想:f(x)+f= ,并证明你的结论.
答案
3 第1课时 同分母分式的加减
1.A 解： 原式==1.
2.A 解： +==.
3.a-b 解： 原式===a-b.
4.解:(1)+===1.
(2)-===1.
(3)-===x-3.
(4)+-
=
=
=.
5.解:原式=-=-===1.
6.B 解： 原式=-===a+1.
7.
8.解:(1)原式=+===x-y.
(2)+-
=--
=
=1.
[点评] 同分母分式的加减法:(1)分母不变,分子相加减;(2)分子相加减后,分子、分母能因式分解的一般要因式分解,以便约分化简.当分母互为相反数时,应根据分式的符号法则将其化为同分母.
9.解:+==x+1.
当x=-2022时,x+1=-2022+1=-2021.
10.B
11.B 解： B=+=-,
因为A=,所以A+B=0,
所以A与B的关系是互为相反数.
12.解:(1)原式=+-===.
(2)原式=--
=
=
=-.
13.解:原式=·=.
当m=9时,原式==.
14.解:∵x2-3x-1=0,x≠0,
∴x-3-=0,即x-=3,
∴x-2=9,
即x2-2+=9,
∴x2+=11.
15.解:(1)1 1
(2)猜想:f(x)+f=1.
证明:f(x)=,f==,
则f(x)+f=+==1.第2课时 异分母分式的加减(1)
知识点 1 分式的通分
1.分式,,的最简公分母是( )
A.48a3b2 B.24a3b2 C.48a2b2 D.24a2b2
2.分式的分母经过通分后变为a2-b2,那么分子应变为( )
A.3(a-b) B.3(a-b)2 C.3(a+b) D.3(a2-b2)
3.分式,的最简公分母是 .
知识点 2 异分母分式的加减法
4.计算+的结果是( )
A. B. C. D.a+b
5.计算-的结果是( )
A. B.- C. D.
6.(1)计算:+.
解:原式=+(通分,依据是① )
=(同分母分式相加,分母② ,分子③ )
=(分子去括号)=⑤ .(合并同类项,并化为最简分式)
(2)计算:-.
解:原式=-(因式分解)
=-(通分)
=(同分母分式相减,分母④ ,分子⑤ )
=(分子去括号)
=⑦ .(合并同类项,并化为最简分式)
7.计算:(1)-; (2)+.
8.下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误( )
A.① B.② C.③ D.④
9.计算+的结果是( )
A. B. C. D.
10.已知a,b为实数,且ab=1,a≠1,设M=+,N=+,则M,N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N C.M11.如若x为正整数,则表示-的值的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
12.化简:(1)+;(2)-.
13.现有大小两艘轮船,小船每天运x(x>40)吨货物,大船比小船每天多运10吨货物.现在让大船完成运送100吨货物的任务,小船完成运送80吨货物的任务.
(1)分别写出大船、小船完成任务所用的时间;
(2)试说明哪艘轮船完成任务所用的时间少.
14.阅读材料:小学时,我们学习过假分数和带分数的互化.我们可以将一个带分数化为假分数,如:1=1+=+=;我们也可以将一个假分数化为带分数,如:==+=2+=2.
八年级(1)班的小杨同学根据学习分数的方法,在学习分式这一章时,对分式进行了探究:
1+=+==;
==+=2+.
根据探究过程,请你帮小杨同学解答下列问题:
(1)当x为整数时,若也为整数,求满足条件的所有x的值;
(2)当x为整数时,若也为整数,求满足条件的所有x的绝对值之和.
答案
第2课时 异分母分式的加减(1)
1.D
2.C 解： 分式的分母由a-b变为a2-b2,分母乘(a+b),由分式的基本性质可知分子也应乘(a+b),故分子应变为3(a+b).
3.2x(x+1)(x-1)
4.C
5.B
6.(1)①分式的基本性质 ②不变 ③相加 ④x+1+x-1 ⑤
(2)①4a ②2(a-1) ③4a-2(a-1) ④不变 ⑤相减 ⑥4a-2a+2 ⑦
7.解:(1)原式=-==.
(2)原式=-
=
=
=.
8.B
9.B 解： +
=+
=.
故选B.
10.B 解： 由题意可知:M-N=+--=+
=
=.
因为ab=1,所以M-N=0,所以M=N.
11.B 解： -=-=1-=.又因为x为正整数,所以≤<1,
故表示-的值的点落在段②.故选B.
12.解:(1)+=+==.
(2)-=-=-=.
13.解:(1)大船完成任务所用的时间为天;小船完成任务所用的时间为天.
(2)-=.因为x>40,所以->0,即>,所以小船完成任务所用的时间少.
14.解:(1)==2+.
∵当x为整数时,分式也是整数,
∴1能被x-2整除,
∴x-2=1或x-2=-1,
∴x=3或x=1.
(2)==2(x-1)+7+.
∵当x为整数时,分式也是整数,
∴8能被x-1整除,
则x-1=1,-1,2,-2,4,-4,8,-8,
∴x=2,0,3,-1,5,-3,9,-7,
∴满足条件的所有x的绝对值之和为30.第3课时 异分母分式的加减(2)
知识点 1 较复杂异分母的分式加减运算
1.计算1-的结果是( )
A. B.1 C.x+1 D.
2.计算++的结果是( )
A. B. C. D.
3.计算++的结果是( )
A. B. C. D.
4.计算:
(1)-a+1; (2)++2; (3)m++.
知识点 2 分式的混合运算
5.计算a-÷b-的结果是( )
A.1 B. C. D.-
6.计算1+÷的结果是( )
A.x+1 B. C. D.
7.计算÷1-的结果是 .
8.先化简,再求值:-÷,其中x=1+.
9.已知=,则+-等于( )
A. B. C. D.-
10.若+=,则+等于( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
11.若x2+3x=-1,则x-= .
12.先化简,再求值:÷-x+1+,其中x为方程x2+2x-1=0的解.
13.甲、乙两地相距s km,新修的高速公路开通后,两地距离不变,在甲、乙两地间行驶的长途客运车的平均速度提高了50%,已知原来的平均车速为x km/h.请回答以下问题:
(1)长途客运车原来从甲地到乙地所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的多少倍
(2)新修的高速公路开通后,长途客运车从甲地到乙地所用时间比原来缩短了多少小时
14.观察下面的变形规律:
=1-,=-,=-.
将以上三个等式的两边分别相加,得
++=1-+-+-=1-=.
解答下面的问题:
(1)若n为正整数,猜想= ;
(2)直接写出++++= ;
(3)计算+++…+(n为正整数);
(4)计算+++…+(n为正整数).
答案
第3课时 异分母分式的加减(2)
1.D
2.D 解： ++=++=.
3.A
4.解:(1)原式=-
=
=.
(2)原式=++2
=++2
=++
=
=.
(3)m++
=+
=+
=
=.
5.C 6.B
7. 解： ÷1-=÷-=÷=·=.
8.解:-÷
=·
=-·
=·
=.
当x=1+时,原式==+1.
9.C 解： +-==.
因为=,设m=5k,n=3k(k≠0),
所以原式==.
10.D 解： 因为+=,所以=,所以(a+b)2=ab,所以a2+2ab+b2=ab,
所以a2+b2=-ab,
所以+==-1.
11.-2 解： x-=====-2.
12.解:原式=÷+
=÷+
=·+
=·+
=+
==.
又因为x2+2x-1=0,
所以可得x2+2x=1,
所以原式=2.
13.解:(1)长途客运车原来所用的时间是 h,新修的高速公路开通后所用的时间是= h,÷=1.5.
故长途客运车原来从甲地到乙地所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的1.5倍.
(2)-==(h).
故新修的高速公路开通后,长途客运车从甲地到乙地所用时间比原来缩短了 h.
14.解:(1)-
(2)
(3)+++…+=1-+-+-+…+-=1-==.
(4)+++…+=
1-+-+-+…+-=1-=×=.
