第3课时 列分式方程解应用题
知识点 分式方程的应用
1.甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,设乙每小时做x个零件,以下所列方程正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
2.随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件.设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为( )
A.= B.+80= C.=-80 D.=
3.(2021东营)绿水青山就是金山银山,某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程为 .
4.(2021无锡)某单位工会组织消防知识竞赛活动,拟设一、二等奖若干名,并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品,且经费全部用完,已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件.求一、二等奖奖品的单价.
5.下面是小淇、小尧对南京某年一道中考题目的部分解答.
题目:刘阿姨到超市购买大米,第一次按原价购买,用了105元.几天后,遇上这种大米8折出售,她用140元又买了一些,两次一共购买了40千克.这种大米的原价是多少
小淇:+=40.
小尧:×0.8=.
根据以上信息,解答下列问题.
(1)小淇同学所列方程中的x表示 ,小尧同学所列方程中的y表示 ;
(2)在上述两个方程中任选一个求解,并回答题目中的问题.
6.甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发,相向而行,甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h.若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则求两船在静水中的速度可列方程为( )
A.= B.= C.= D.=
7.某校学生去距学校20 km的白水寺参观,一部分学生骑自行车先走,过了40 min后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,则骑车学生的速度是 km/h.
8.某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染(如下表).
进货单
商品 进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)
甲 7200
乙 3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件.
请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.
9.为厉行节能减排,倡导绿色出行,2018年3月“共享单车”登陆某市中心城区.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”,这批“共享单车”包括A,B两种不同款型,请回答下列问题:问题1:单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放,共投放A,B两种款型“共享单车”各50辆,投放成本共计7500元,其中B型车的成本单价比A型车高10元/辆,A,B两种款型“共享单车”的成本单价各是多少
问题2:投放方式
该公司决定采取如下投放方式:甲街区每1000人投放a辆“共享单车”,乙街区每1000人投放辆“共享单车”,按照这种投放方式,甲街区共投放1500辆,乙街区共投放1200辆,如果两个街区共有15万人,试求a的值.
答案
第3课时 列分式方程解应用题
1.C 解： 乙每小时做x个零件,则甲每小时做(x+6)个零件,
依题意,得=.
故选C.
2.D
3.-=30 解： 原计划每天绿化的面积为x万平方米,则实际每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米,依题意,得-=30.
故答案为-=30.
4.解:设一等奖奖品的单价为4x元/件,则二等奖奖品的单价为3x元/件.
依题意,得+=25,
解得x=15.
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意.
∴4x=60,3x=45.
故一等奖奖品的单价为60元/件,二等奖奖品的单价为45元/件.
5.解:(1)这种大米的原价 第一次购买这种大米的质量
(2)答案不唯一,如选择+=40,
整理,得84+140=32x.
解得x=7.
经检验,x=7是原方程的根,且符合题意.
故这种大米的原价是7元/千克.
6.A
7.15 解： 设骑车学生的速度为x km/h,则汽车的速度为2x km/h.
根据题意,得-=,解得x=15.
经检验,x=15是原方程的根,且符合题意.
故答案为15.
8.解:设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件.
依题意,得-=40,
解得x=40.
经检验,x=40是原方程的根,且符合题意,
∴(1+50%)x=60,=80,=120.
故甲商品的进价为60元/件,乙商品的进价为40元/件,购进甲商品120件,购进乙商品80件.
补全进货单略.
9.解:问题1:
设A种款型“共享单车”的成本单价为x元/辆,则B种款型“共享单车”的成本单价为(x+10)元/辆.依题意,得50x+50(x+10)=7500,
解得x=70,所以x+10=80.
故A,B两种款型“共享单车”的成本单价分别是70元/辆和80元/辆.
问题2:
由题意,得×1000+×1000=150000,
解得a=15.
经检验,a=15是所列方程的根,且符合题意.
故a的值为15.4 第1课时 分式方程的概念
知识点 1 分式方程的概念
1.下列关于x的方程中,是分式方程的是( )
A.3x= B.= C.=2 D.3x-2y=1
2.请你利用代数式x-2,x+5,3组成一个分式方程: .
知识点 2 列分式方程
3.某果品分拣车间有甲、乙两组工人负责将猕猴桃装箱,已知每小时甲组比乙组少装16箱,甲组装260箱与乙组装340箱所用的时间相等,设甲组每小时装x箱,所列方程正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
4.甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度为v km/h,提速后动车的速度是提速前的1.2倍,提速后从甲地到乙地的行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为( )
A.-= B.=-
C.-20= D.=-20
5.某市举行“一日捐”活动,甲、乙两单位均捐款30000元,已知“……”,设乙单位有x人,则可得方程-=20.根据此情景,题中用“……”表示的缺失的条件为( )
A.甲单位比乙单位人均多捐20元,且乙单位的人数比甲单位的人数多20%
B.甲单位比乙单位人均多捐20元,且甲单位的人数比乙单位的人数多20%
C.乙单位比甲单位人均多捐20元,且甲单位的人数比乙单位的人数多20%
D.乙单位比甲单位人均多捐20元,且乙单位的人数比甲单位的人数多20%
6.若关于x的分式方程=1的根为x=2,则m的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.某工地调来144人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走.怎样调配劳动力才能使挖出来的土及时运走且不窝工(即不停工等待) 为解决此问题,可设派x人挖土,其他人运土.列方程为:①=;②144-x=;③x+3x=144;④=3.上述所列方程中,正确的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案:
Ⅰ.甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天;
Ⅲ.若甲、乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
(1)设甲队单独完成这项工程需要x天,填写下表:
工程总量 所用时间(天) 工程效率
甲队 1
乙队 1
(2)根据题意及表中所得到的信息列出方程 .
答案
4 第1课时 分式方程的概念
1.C
2.答案不唯一,如=3,=x-2等
解： 本题答案不唯一,只需使x-2,x+5中的一个在分母上即可.
3.B 解： 甲组每小时装x箱,则乙组每小时装(x+16)箱,
依题意,得=.
故选B.
4.A
5.C 解： 在方程-=20中,表示乙单位人均捐款额,(1+20%)x表示甲单位的人数比乙单位的人数多20%,则表示甲单位人均捐款额,所以方程-=20表示的等量关系为:乙单位比甲单位人均多捐20元,由此得出题中用“……”表示的缺失的条件.
6.B 解： 因为关于x的分式方程=1的根为x=2,所以=1,解得m=4.
7.C 解： x人挖土,则(144-x)人运土,3人挖出的土1人恰好能全部运走,若挖出来的土能及时运走且不窝工,则说明挖土的人的数量与运土的人的数量之比=3∶1.①②④都是这个等量关系的变形.③运土的人数应是,方程应为x+=144.故选C.
8.(1)表中从左到右,从上到下依次填:x x+6
(2)+=1第2课时 分式方程的解法
知识点 1 分式方程的解法
1.(2020海南)分式方程=1的根是( )
A.x=-1 B.x=1 C.x=5 D.x=2
2.分式方程=的解是( )
A.x=3 B.x=1 C.x= D.x=-
3.解分式方程-3=时,去分母可得( )
A.1-3(x-2)=4 B.1-3(x-2)=-4
C.-1-3(2-x)=-4 D.1-3(2-x)=4
4.对于分式方程=2+,有以下说法:①最简公分母为(x-3)2;②去分母的依据是等式的基本性质;③去分母的结果是将分式方程转化为整式方程x=2+3,解得x=5;④原分式方程的解为x=3;⑤原分式方程无解.其中说法正确的为 .(填序号)
5.分式方程-=1的解是 .
6.解分式方程:
(1)-=0; (2)+1=; (3)+=1; (4)=-.
知识点 2 分式方程的增根
7.对于分式方程,下列说法中,一定正确的是( )
A.只要是分式方程,一定有增根
B.使最简公分母的值为零的根是增根
C.使分子为零的值都是此方程的增根
D.分式方程化成整式方程,整式方程的解都是分式方程的解
8.若分式方程=会产生增根,则m的值是( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
9.解分式方程+2=的结果是( )
A.x=2 B.x=3 C.x=4 D.无解
10.已知方程-=有增根x=1,求k的值.
11.对于实数a,b,定义一种新运算“ ”:a b=,这里等式右边是实数运算.例如:1 3=,则方程x (-2)=-1的解是( )
A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7
12.(2020广元)按照如示的流程,若输出的M=-6,则输入的m为( )
A.3 B.1 C.0 D.-1
13.已知关于x的分式方程=1的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.m≥-4 B.m≥-4且m≠-3
C.m>-4 D.m>-4且m≠-3
14.若关于x的分式方程-=无解,则实数m的值为 .
15.设A=,B=+1,当x为何值时,A与B的值相等
16.已知关于x的分式方程+=.
(1)若方程有增根且增根为x=1,求m的值;
(2)若方程有增根,求m的值;
(3)若方程无解,求m的值.
17.先阅读下列一段文字,然后回答问题:
已知:方程x-=1的根是x=2或x=-;
方程x-=2的根是x=3或x=-;
方程x-=3的根是x=4或x=-;
方程x-=4的根是x=5或x=-;
……
问题:观察上述方程及其根,猜想出方程x-=10的根,并写出检验过程.
答案
第2课时 分式方程的解法
1.C 2.C
3.B
4.②⑤ 解： 最简公分母为(x-3),故①错误;依据是等式的基本性质,故②正确;
方程的两边同乘(x-3),得x=2(x-3)+3,
即x=2x-6+3,
∴x-2x=-3,
即-x=-3,
解得x=3.
检验:把x=3代入x-3=0,即x=3不是原分式方程的解.
则原分式方程无解.
故③④错误,⑤正确.
5.x=6 解： (x+2)(x-3)-x=x(x-3),
x2-x-6-x=x2-3x,
x=6.经检验,x=6是原分式方程的解.
6.解:(1)方程两边都乘x(x-1),得3x-2(x-1)=0,解得x=-2.
检验:当x=-2时,x(x-1)≠0,
所以x=-2是原方程的根.
(2)方程两边都乘(x-2),得x-3+x-2=-3,解得x=1.
检验:当x=1时,x-2≠0,
所以x=1是原方程的根.
(3)方程两边都乘(x+2)(x-2),得
2+x(x+2)=x2-4,解得x=-3.
检验:当x=-3时,(x+2)(x-2)≠0,
所以x=-3是原方程的根.
(4)方程两边都乘2(2x-1),
得2=2x-1-3,
解得x=3.
检验:当x=3时,2(2x-1)≠0,
所以x=3是原方程的根.
7.B
8.C 解： 方程两边都乘(x+3),得x+2=m,
∴x=m-2.
∵方程会产生增根,∴x+3=0,
则x=-3,
∴m-2=-3,
∴m=-1.
故选C.
9.D 解： 去分母,得1-x+2x-4=-1,
解得x=2.
经检验,x=2是增根,所以原分式方程无解.
10.解:方程两边都乘(x+1)(x-1),
得2(x-1)+k(x+1)=6.
因为原方程有增根x=1,
所以当x=1时,2k=6,所以k=3.
故k的值是3.
11.B 解： 根据题意,得
=-1,
去分母,得1=2-(x-4),
解得x=5.
经检验,x=5是分式方程的解.
故选B.
12.C 解： 当m2-2m≥0时,=-6,解得m=0,经检验,m=0是原方程的解,并且满足m2-2m≥0;当m2-2m<0时,m-3=-6,解得m=-3,不满足m2-2m<0,舍去.故输入的m为0.
13.B 解： 根据题意,解分式方程=1,得x=.
∵2x-1≠0,∴x≠,
即≠,解得m≠-3.
∵x≥0,∴≥0,
解得m≥-4.
综上,m的取值范围是m≥-4且m≠-3.
故选B.
14.-2或-或 解： 方程两边同时乘x(x+1),
得2mx-(m+1)=x+1,
解得x=.
∵方程无解,
∴x(x+1)=0,
∴x=0或x=-1.
当x=0时,=0,解得m=-2;
当x=-1时,=-1,解得m=-;
当2m-1=0时,方程也无解,解得m=.
综上,m的值为-2或-或.
15.解:由题意,得=+1,
方程两边都乘(x+1)(x-1),得x(x+1)=3+(x+1)(x-1),
解得x=2.
经检验,x=2是所列分式方程的根.
所以当x=2时,A与B的值相等.
16.解:方程两边都乘(x+2)(x-1),得2(x+2)+mx=x-1.
整理,得(m+1)x=-5.
(1)因为x=1是分式方程的增根,
所以m+1=-5,解得m=-6.
(2)因为原分式方程有增根,
所以(x+2)(x-1)=0,
解得x=-2或x=1.
当x=-2时,m=1.5;
当x=1时,m=-6.
综上,m的值为1.5或-6.
(3)若m+1=0,则该方程无解,此时m=-1;
若m+1≠0,要使原方程无解,由(2)得m=-6或m=1.5.
综上,m的值为-1或-6或1.5.
17.解:由题中四个方程的根,可以猜想方程x-=10的根为x=11或x=-.
检验:当x=11时,x-=11-=10;当x=-时,x-=--=-+11=10.
所以原方程的根为x=11或x=-.
