第2课时 平行四边形的对角线的性质
知识点 平行四边形的对角线的性质
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A.相等 B.互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直且相等
2.如,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是( )
A.BO=DO B.OB=BD C.O是AC的中点 D.AC=BD
3.如, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.13 B.17 C.20 D.26
4.如,在 ABCD中,已知∠ODA=90°,AD=4 cm,BD=6 cm,则AC的长为( )
A.2 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm
5.如, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能是( )
A.10 B.8 C.7 D.6
6.如, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.已知AB=5 cm,△OAB的周长比△BOC的周长小3 cm,则AD的长为 .
7.如, ABCD的对角线交于点O,且AB=6,△OCD的周长为27,则 ABCD的两条对角线的长度之和是 .
8.如, ABCD和 EBFD的顶点A,C,E,F在同一条直线上,求证:AE=CF.
9.(教材例2变式)如, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且分别与AB,CD相交于点E,F.求证:AE=CF.
10.如, ABCD的周长为22 cm,对角线AC,BD交于点O,过点O且与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE的周长为( )
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
11.如, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为( )
A. B. C. D.
12.如,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=74°,∠EAD=3∠CAE,直接写出∠BCA的度数.
13.如, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO的周长为23 cm,AD比CD长
2 cm,AC+BD=34 cm.求 ABCD的周长.
14.如①, AECF的对角线AC,EF相交于点O,过 AECF的对角线的交点O任意作一条直线MN,与平行四边形的一组对边分别相交于点M,N.
(1)求证:S四边形AEMN=S四边形FNMC;
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有几条 它们必经过哪一点
(3)如如图②是某中学门前的一块草坪,它是由两个平行四边形拼接成的如图案.现校委会计划将其分成面积相等的两部分,栽上不同颜色的花,试利用第(2)小题中的规律探索划分方案.
答案
第2课时 平行四边形的对角线的性质
1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.8 cm
7.42 解： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=6.
∵△OCD的周长为27,
∴OD+OC=27-6=21.
∵BD=2OD,AC=2OC,
∴ ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(OD+OC)=42.
8.证明:如如图,连接BD,交EF于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC.
∵四边形EBFD为平行四边形,
∴OE=OF,
∴OE-OA=OF-OC,
即AE=CF.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.
10.D 解： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AO=CO.
又∵EO⊥AC,∴AE=CE.
∵ ABCD的周长为22 cm,
∴2(AD+CD)=22 cm,
∴AD+CD=11 cm,
∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11 cm.
故选D.
11.D 解： ∵AC=2,BD=4,四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=AC=1,BO=BD=2.
∵AB=,
∴AB2+AO2=BO2,∴∠BAC=90°.
∵在Rt△BAC中,BC==,S△BAC=AB·AC=BC·AE,
∴×2=AE,∴AE=.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴AE=CF.
(2)∵∠AEO=90°,∠AOE=74°,
∴∠EAO=90°-∠AOE=16°.
∵∠EAD=3∠CAE,
∴∠EAD=3×16°=48°,
∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=48°-16°=32°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠BCA=∠DAC=32°.
13.解： 欲求 ABCD的周长,根据 ABCD的对边相等可知,只要求出相邻两边的长即可.又由于AD比CD长2 cm,只要求出AD或CD的长,问题即可解决.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,AO=CO,BO=DO.
∵AC+BD=34 cm,
∴2(AO+BO)=34 cm,即AO+BO=17 cm.
∵△ABO的周长为23 cm,
∴AB=23-17=6(cm),∴CD=6 cm.
∵AD比CD长2 cm,
∴AD=8 cm,
∴ ABCD的周长为2×(6+8)=28(cm).
14.解:(1)证明:∵ AECF的对角线AC,EF相交于点O,∴AF∥CE,OE=OF,
∴∠MEO=∠NFO.
在△MOE和△NOF中,
∵∠MEO=∠NFO,OE=OF,∠EOM=∠FON,
∴△MOE≌△NOF.
同理可证△MOC≌△NOA.
又易得△AOE≌△COF,
∴S△MOE+S△AOE+S△NOA=S△NOF+S△COF+S△MOC,即S四边形AEMN=S四边形FNMC.
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有无数条,它们必经过平行四边形对角线的交点.
(3)如如图,分别作出两个平行四边形的对角线的交点O1和O2,经过O1,O2两点作出一条直线即可将草坪分成面积相等的两部分(答案不唯一).1 第1课时 平行四边形的边和角的性质
知识点 1 平行四边形的定义
1.如小明借助直尺和三角尺,作∠B=∠A,然后再作∠D=∠A,进而得到 ABCD,四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
A.AB∥CD,BC=AD B.AB=CD,BC∥AD
C.AB∥CD,BC∥AD D.AB=CD,BC=AD
2.如示,点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,AC上,且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB,则如图中有 个平行四边形.
知识点 2 平行四边形的中心对称性
3.关于平行四边形的对称性的描述,错误的是( )
A.平行四边形一定是中心对称如图形
B.平行四边形一定是轴对称如图形
C.平行四边形的对称中心是两条对角线的交点
D.平行四边形的对称中心只有一个
4.以 ABCD对角线的交点O为原点,平行于BC边的直线为x轴,建立如示的平面直角坐标系.若点A的坐标为(-2,1),则点C的坐标为 .
知识点 3 平行四边形的边和角的性质
5.在 ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠A=30°,则CD= ,AD= ,∠B= °,∠C= °,∠D= °.
6.如示,在 ABCD中,AD=3 cm,AB=2 cm,则 ABCD的周长等于( )
A.10 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm
7.在 ABCD中,已知∠A-∠B=20°,则∠C的度数为( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
8.如在 ABCD中,AB=4,BC=7,∠ABC的平分线BE交AD于点E,则DE的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9. ABCD的四个内角度数的比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A.2∶3∶3∶2 B.2∶3∶2∶3 C.1∶2∶3∶4 D.2∶2∶1∶1
10.如在 ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=40°,则∠BCE的度数为 .
11.已知:如E是 ABCD的边BC延长线上的一点,且CE=BC.
求证:△ABC≌△DCE.
12.如在 ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F.
(1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数;
(2)求证:BE=DF.
13.如在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥DC交其延长线于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.48
14.已知点A(2,0),B(-1,0),C(0,1),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
15.如,将 ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,DE与BC交于点F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E的度数为( )
A.102° B.112° C.122° D.92°
16.如,在 ABCD中,E为DC上一点,DE=CE,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)若AB=2BC,∠F=36°,求∠B的度数.
17.如,在 ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线BE与CE相交于点E,且点E恰好落在AD上;
(1)求证:BE2+CE2=BC2;
(2)若AB=2,求 ABCD的周长.
答案
1 第1课时 平行四边形的边和角的性质
1.C
2.3
3.B 解： 由平行四边形的性质可以知道,平行四边形绕着它的两条对角线的交点旋转180°能与原来的如图形重合,那么它是中心对称如图形,它的对称中心是两条对角线的交点,特殊的平行四边形是轴对称如图形,一般的平行四边形不是轴对称如图形,所以B选项的说法错误.故选B.
4.(2,-1)
5.3 cm 5 cm 150 30 150
6.A 解： ∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD=3 cm,CD=AB=2 cm,∴ ABCD的周长=2×(3+2)=10(cm).故选A.
7.C 解： ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∠C=∠A,又∵∠A-∠B=20°,
∴∠A=100°,∴∠C=∠A=100°.故选C.
8.C
9.B
10.50° 解： ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠B=∠EAD=40°.∵CE⊥AB,∴∠BCE=90°-∠B=50°.
11.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠B=∠DCE.
在△ABC和△DCE中,
∵AB=DC,∠B=∠DCE,BC=CE,
∴△ABC≌△DCE(SAS).
12.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵CF平分∠DCB,
∴∠DCB=2∠BCF.
∵∠BCF=60°,
∴∠DCB=120°,
∴∠ABC=180°-120°=60°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠DCB,
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,
∴∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB,
∴∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=DF.
13.D 解： ∵ ABCD的周长=2(BC+CD)=40,∴BC+CD=20.①
∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=4,AF=6,∴S ABCD=4BC=6CD,整理,得BC=CD.②
联立①②,解得CD=8,
∴ ABCD的面积=AF·CD=6×8=48.
故选D.
14.C 解： 如如图所示,第四个顶点坐标为D1(-3,1)或D2(3,1)或D3(1,-1),故第四个顶点不可能在第三象限.故选C.
15.B
16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠D=∠ECF.
在△ADE和△FCE中,
∵∠D=∠ECF,DE=CE,∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE.
(2)∵△ADE≌△FCE,∴AD=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∴BC=FC.
又∵AB=2BC,∴AB=FB,
∴∠BAF=∠F=36°,
∴∠B=180°-2×36°=108°.
17.解:(1)证明:∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,则∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)=90°,∴∠BEC=90°,
则△BCE为直角三角形,
∴BE2+CE2=BC2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD=AB=2,
∴∠EBC=∠AEB,∠ECB=∠DEC,
∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠EBC=∠ABE,∠ECB=∠ECD,
∴∠AEB=∠ABE,∠DEC=∠ECD,
∴AB=AE,DE=DC.
∵AD=AE+DE,∴AD=4,
∴ ABCD的周长为2×(4+2)=12.
