2 第1课时 利用边判定平行四边形
知识点 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如在四边形ABCD中,AB=5,BC=8,当CD= ,AD= 时,四边形ABCD是平行四边形.
2.如D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是 ,理由是 .
3.如在四边形ABCD中,AD=BC,∠BAC=∠ACD=90°.求证:四边形ABCD是平行四边形.
知识点 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.下列条件中,不能使四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,BC∥AD
C.AB∥CD,BC=AD D.AB=CD,BC=AD
5.小李拿出两段长度相等的木棒平行摆放,然后顺次连接四个端点得到的如图形一定是 ,
理由是 .
6.如在四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11-x,BC=x-5,则当x=
时,四边形ABCD是平行四边形.
7.在学行四边形的相关内容后,老师提出这样一个问题:“在四边形ABCD中,AD∥BC,请添加一个条件,使得四边形ABCD是平行四边形.”经过思考,小明说“添加AD=BC”,小红说“添加AB=DC”.你同意 的观点,理由是 .
8.如在平行四边形纸片ABCD中,将纸片沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,
∠BAC=90°,连接B'D.求证:四边形ACDB'为平行四边形.
9.如在 ABCD中,E,F分别为边BC,AD的中点,则如图中平行四边形的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上条件中选择两个条件,使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
11.如在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件: ,使四边形ABCD是平行四边形.
12.已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1).若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= .
13.如BD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点E,EF∥AC交BC于点F,猜想BE与CF之间的数量关系,并加以证明.
14.如在 ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:EG与FH互相平分.
15.如,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=24 cm,DC=10 cm,点P,Q同时从点D,B出发,点P由点D向点C运动,速度为1 cm/s,点Q由点B向点A运动,速度为3 cm/s.
(1)假设运动时间为t s,用含t的代数式表示下列线段的长:
DP= ,CP= ,BQ= ,AQ= ;
(2)求运动几秒时,四边形PQAD是平行四边形;
(3)当运动几秒时,P,Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形
答案
2 第1课时 利用边判定平行四边形
1.5 8 解： 根据平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可得CD=5,AD=8.
2.平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.证明:∵∠BAC=∠ACD=90°,
∴△ABC与△CDA均为直角三角形.
在Rt△ABC与Rt△CDA中,
∵BC=DA,AC=CA,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴AB=CD.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.C
5.平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6.8 解： ∵BD⊥AD,BD⊥BC,
∴AD∥BC.只要AD=BC,四边形ABCD就是平行四边形,
∴11-x=x-5,解得x=8.
7.小明 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8.证明:由折叠可知∠B'AC=∠BAC=90°,AB=AB',
∴B,A,B'三点在同一条直线上.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴AB'∥CD,AB'=CD,
∴四边形ACDB'为平行四边形.
9.B 解： ∵E,F分别为边BC,AD的中点,
∴AF=FD,BE=EC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴AF=FD=BE=EC,
∴AF BE,DF EC,AF EC,
∴四边形ABEF是平行四边形,四边形AECF是平行四边形,四边形FECD是平行四边形,则如图中平行四边形的个数是4.
10.B
11.CD∥AF(答案不唯一)
12.4或-2 解： 根据题意画如图如下:
若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则C(4,1)或(-2,1),则x=4或-2.
13.解:BE=CF.
证明:∵DE∥BC,∴∠DBC=∠BDE.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠DBC=∠ABD,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE=BE.
∵DE∥BC,EF∥AC,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴DE=CF,∴BE=CF.
14.证明:连接EF,FG,GH,HE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,AB=CD,AD=BC.
∵AE=CG,BF=DH,∴AH=CF,BE=DG.
在△AEH和△CGF中,
∵AE=CG,∠A=∠C,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF,∴EH=GF.
同理可证GH=EF,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∴EG与FH互相平分.
15.解:(1)t cm (10-t) cm 3t cm
(24-3t) cm
(2)若四边形PQAD为平行四边形,则DP=AQ.
设运动x s时四边形PQAD为平行四边形.
根据题意,得x=24-3x,
解得x=6,
∴运动6 s时四边形PQAD为平行四边形.
(3)由(2)知当运动6 s时,四边形PQAD为平行四边形.
此外,四边形PQBC,四边形PAQC,四边形PDQB也可能为平行四边形.
①设运动y s时四边形PQBC为平行四边形,则CP=BQ,
∴10-y=3y,解得y=2.5;
②四边形PDQB显然不是平行四边形,故不成立;
③设运动z s时,四边形PAQC为平行四边形,则PC=AQ,
∴10-z=24-3z,
解得z=7.
综上,当运动6 s,2.5 s或7 s时,P,Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形为平行四边形.第2课时 利用对角线判定平行四边形
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.下列条件能判定四边形是平行四边形的是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分
2.如,AO=CO,BD=16 cm,则当OB= cm时,四边形ABCD是平行四边形.
3.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如所示,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是 ,依据是 .
4.如,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.求证:四边形BFCE是平行四边形.
5.如,在 ABCD中,E,F分别是对角线BD所在直线上的两点,且AE∥CF,判断四边形AECF的形状,并说明理由.
6.下列说法错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
7.已知△ABC(如①),按如图②、如图③所示的尺规作如图痕迹(OB=OD),不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8.如,四边形ABCD的对角线相交于点O,从下列条件:①AD∥BC,②AB=CD,③AO=CO,④∠ABC=∠ADC中选出两个使四边形ABCD是平行四边形,则你选择的两个条件是 .(写出一种即可,填序号)
9.如,在△ABC中,D是BC上的点,O是AD的中点,过点A作BC的平行线交BO的延长线于点E,则四边形ABDE是平行四边形吗 请说明理由.
10.如①,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O,分别与AD,BC交于点E,F,GH过点O,分别与AB,CD交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出如图②中所有与四边形AGHD面积相等的平行四边形.
11.如,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F为BD上的两点,连接AE,AF,CE,CF.
【问题探究】
(1)若E,F分别为OB,OD的中点,求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若满足BE=DF,直接判断四边形AECF的形状;
【拓展提升】
(3)如果点E,F分别在DB和BD的延长线上,且满足BE=DF,上述结论还成立吗 请说明理由;
【变式应用】
(4)如果AE∥CF,求证:四边形AECF是平行四边形;
(5)如果AE=CF,那么还可以证明四边形AECF是平行四边形吗
答案
第2课时 利用对角线判定平行四边形
1.D
2.8 解： ∵BD=16 cm,OB=8 cm,∴BO=DO.又∵AO=CO,∴四边形ABCD是平行四边形.
3.平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.证明:∵在△ABC中,D是BC边的中点,∴BD=CD.∵CF∥BE,∴∠CFD=∠BED.在△CFD和△BED中,∵∠CFD=∠BED,∠FDC=∠EDB,CD=BD,∴△CFD≌△BED,∴DF=DE.又∵BD=CD,∴四边形BFCE是平行四边形.
5.解:四边形AECF为平行四边形.理由:
连接AC交EF于点O.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO.∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO,∴EO=FO.
又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.
6.D
7.B
8.答案不唯一,如①③
9.解:四边形ABDE是平行四边形.
理由:∵AE∥BC,
∴∠OAE=∠ODB,∠AEO=∠DBO.
∵O是AD的中点,
∴OA=OD,
∴△AOE≌△DOB,
∴OE=OB.
又∵OA=OD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF.
同理可证OG=OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2) GBCH, ABFE, EFCD, EGFH.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分别为OB,OD的中点,
∴OE=OB,OF=OD,
∴OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)四边形AECF是平行四边形.
(3)结论还成立.
理由:∵BE=DF,OB=OD,
∴BE+OB=DF+OD,即OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(4)证明:∵AE∥CF,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,
∵∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(5)不能证明四边形AECF是平行四边形.第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的综合应用
知识点 1 平行线之间的距离
1.平行线之间的距离是指两条平行线中( )
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2.如,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,垂足分别为E,G,则下列说法中错误的是( )
A.AB=CD B.CE=FG
C.A,B两点间的距离就是线段AB的长 D.直线a,b间的距离就是线段CD的长
3.如,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列哪条线段的长度可表示如图中两条平行线之间的距离( )
A.AB B.AD C.CE D.AC
4.如,a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,AC⊥b,如果AB=5 cm,BC=3 cm,那么平行线a,b之间的距离为( )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定
5.已知直线m∥n,点A在直线m上,点B,C,D在直线n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,则直线m与n之间的距离( )
A.等于5 cm B.等于6 cm
C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
知识点 2 平行四边形判定方法的综合运用
6.在四边形ABCD中,AB∥CD,再添加下列其中一个条件后,四边形ABCD不一定是平行四边形的是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AD∥BC D.∠A=∠C
7.如,点E,F分别在 ABCD的边BC,AD上,AC,EF相交于点O,请你添加一个条件: (只添加一个即可),使四边形AECF是平行四边形.
8.如,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,E是边BC上一点,且DE=DC.
求证:AD=BE.
9.如,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,延长AD至点E,连接EO并延长交CB的延长线于点F,∠DEF=∠EFB,AD=BC.
(1)求证:O是线段AC的中点;
(2)连接AF,EC,求证:四边形AFCE是平行四边形.
10.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD间的距离是12 cm,EF与CD间的距离是5 cm,则AB与EF间的距离是 cm.
11.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带来了两块碎玻璃,其编号应该是 .
12.如,EF和GH将 ABCD分成四个面积分别为S1,S2,S3,S4的平行四边形,如果S1=1,S2=3,S3=4,那么S4等于 .
13.如,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE.
求证:AD与BE互相平分.
14.如,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.
答案
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的综合应用
1.B
2.D 解： 根据“两点间的距离”“两平行线间的距离”等有关概念和定义,可以做出判断.
3.B
4.B 解： ∵AC⊥b,
∴△ABC是直角三角形.
∵AB=5 cm,BC=3 cm,
∴AC===4(cm),
∴平行线a,b之间的距离是4 cm.故选B.
5.D 解： ∵直线m∥n,点A在直线m上,点B,C,D在直线n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,∴AB
6.B
7.答案不唯一,如AF=CE 解： 答案不唯一,如添加AF=CE.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥CE.
又∵AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形.
8.证明:∵DE=DC,∴∠DEC=∠C.又∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE.
又∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE.
9.证明:(1)∵∠DEF=∠EFB,∴AD∥BC.又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,即O是线段AC的中点.
(2)在△OAE和△OCF中,∵∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△OAE≌△OCF(AAS),∴OE=OF.又∵OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
10.7或17 解： 分两种情况讨论:EF在AB,CD之间或EF在AB,CD同侧.①当EF在AB,CD之间时,∵AB与CD间的距离是12 cm,EF与CD间的距离是5 cm,∴EF与AB间的距离是12-5=7(cm);②当EF在AB,CD同侧时,∵AB与CD间的距离是12 cm,EF与CD间的距离是5 cm,∴EF与AB间的距离是12+5=17(cm).综上所述,EF与AB间的距离是7 cm或17 cm.
11.②③
12.12
13.证明:连接BD,AE.
∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.
∵BF=CE,∴BC=EF.
在△ACB和△DFE中,
∵∠ABC=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠DFE,
∴△ACB≌△DFE,∴AB=DE.
又∵AB∥DE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AD与BE互相平分.
14.解:(1)证明:∵AE⊥AC,BD垂直平分AC,
∴AE∥BD.
∵∠ADE=∠BAD,∴DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠ADB.
又∵∠ADE=∠BAD,
∴∠BAD=∠ADB,∴BD=AB=5.
设BF=x,则DF=5-x,
∴AF2=52-x2=62-(5-x)2,
解得x=,∴BF=,
∴AF===.
又∵BD垂直平分AC,
∴AC=2AF=.