北师大版数学八年级下册同步课时练习：第一章　三角形的证明　单元测试 (word版含答案)

第一章　三角形的证明　
一、选择题(每题5分,共30分)
1.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为(　　)
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2.有下列命题:①对顶角相等;②同位角相等,两直线平行;③若a=b,则|a|=|b|;④若x=0,则x2-2x=0.它们的逆命题一定成立的是(　　)
A.①②③④ B.①④ C.②④ D.②
3.如在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为(　　)
A.2 B.2 C. D.
4.如在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,适当的长为半径作弧,两弧分别交于点E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一点.若BC=4,△ABC的面积为10,则BM+MD长度的最小值为(　　)
A.2.5 B.3 C.4 D.5
5.如已知点A(2,3)和点B(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为(　　)
A.(1,0)或(0,-1) B.(-1,0)或(0,1)
C.(0,3)或(4,0) D.(2,0)或(0,1)
6.已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可以画(　　)
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
二、填空题(每题5分,共20分)
7.用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角不小于60°”时,应先假设　 .
8.如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,那么其中一个底角的度数是　　　　.
9.如△ABC为等边三角形,BD是角平分线,点F在线段BD上移动,直线CF与AB交于点E,连接AF,当AE=AF时,∠BCE=　　　　°.
10.如在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,EF经过点O,分别交AB,AC于点E,F,BE=OE,OF=5 cm,点O到BC的距离为4 cm,则△OFC的面积为　　　　 cm2.
三、解答题(共50分)
11.(16分)已知:如点E,F在线段BD上,AF⊥BD于点F,CE⊥BD于点E,AD=CB,DE=BF.求证:AF=CE.
12.(16分)如OA⊥OB,OA=45海里,OB=15海里,某小岛位于点O,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船自点A出发沿着AO方向匀速驶向小岛所在地点O,我国海监船立即从点B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.
(1)请用直尺和圆规作出点C处的位置;
(2)求我国海监船行驶的路径BC的长.
13.(18分)已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如,若点O在边BC上,求证:AB=AC;
(2)如如图②,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC还成立吗 请画如图说明.
答案
自我综合评价(一)
1.A　解： 若2 cm为等腰三角形的腰长,则底边长为10-2-2=6(cm),2+2<6,不符合三角形的三边关系;若2 cm为等腰三角形的底边长,则腰长为(10-2)÷2=4(cm),此时三角形的三边长分别为2 cm,4 cm,4 cm,符合三角形的三边关系.故选A.
2.D　解： ①“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不成立;②“同位角相等,两直线平行”的逆命题是“两直线平行,同位角相等”,成立;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=b”,不成立;④“若x=0,则x2-2x=0”的逆命题是“若x2-2x=0,则x=0”,不成立.
3.C　解： ∵在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,∴∠ABC=72°,∠A=36°.∵BC=BD,
∴∠BDC=72°,∴∠CBD=36°,∴∠ABD=36°=∠A,∴AD=BD=BC=.故选C.
4.D　解： 连接MA,DA,如如图.
由作法得EF垂直平分AB,
∴MB=MA,
∴BM+MD=MA+MD.
∵MA+MD≥AD(当且仅当点M在AD上时取等号),
∴MA+MD的最小值为AD.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵S△ABC=BC·AD=10,BC=4,
∴AD=5,
∴BM+MD长度的最小值为5.
故选D.
5.A
6.B　解： 如如图所示,当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时,都能得到符合题意的等腰三角形.故选B.
7.一个三角形中每一个内角都小于60°
8.15°或75°　解： 如如图①,当∠A为锐角时,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∵2CD=AC,
∴∠A=30°,
∴∠B=∠ACB=(180°-∠A)=(180°-30°)=75°.
如如图②,当∠A为钝角时,∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∵2CD=AC,
∴∠DAC=30°,
∴∠B=∠ACB=∠DAC=×30°=15°.
9.20　解： ∵△ABC为等边三角形,BD是角平分线,
∴∠ABD=∠CBD=30°,AB=BC,BD⊥AC.
又∵BF=BF,
∴△ABF≌△CBF(SAS),
∴∠BAF=∠BCF.
设∠BAF=∠BCF=α,
∴∠AEF=60°+α.
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE=60°+α,
∴60°+α+60°+α+α=180°,
解得α=20°,
∴∠BCE=20°.
故答案为20.
10.10　解： 依据条件可得∠EOB=∠CBO,进而可得出EF∥BC,进而得到△COF中OF边上的高为4 cm.又∵OF=5 cm,∴△OFC的面积为×5×4=10(cm2).
11.证明:∵DE=BF,
∴DE+EF=BF+EF,即DF=BE.
在Rt△ADF和Rt△CBE中,
∵DF=BE,AD=CB,
∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL),
∴AF=CE.
12.解:(1)连接AB,作AB的垂直平分线,与OA交于点C,则点C即为所求,如如图.
(2)如如图,连接BC.设BC=x海里,则CA=x海里,∴OC=(45-x)海里.
∵∠O=90°,
∴在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2,
即152+(45-x)2=x2,
解得x=25.
因此,我国海监船行驶的路径BC的长为25海里.
13.解:(1)证明:过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
∵OE⊥AB,OF⊥AC,
∴∠OEB=∠OFC=90°.
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
∵OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC,
∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)证明:过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
∵OE⊥AB,OF⊥AC,
∴∠OEB=∠OFC=90°.
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
∵OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC,
∴∠OBE=∠OCF.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
(3)不一定成立,当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时有AB=AC,否则AB≠AC.(示例如图如下)