2 第1课时 直角三角形的性质与判定
知识点 1 直角三角形的性质
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
2.如在△ADC中,∠ADC=90°,点B在AD的延长线上,BE⊥AC于点E,交CD于点F,若∠C=43°,则∠B的度数是( )
A.43° B.45° C.47° D.40°
3.在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是( )
A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.以上都有可能
4.若直角三角形的两边长分别为4和5,则第三边长为 .
5.如示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P,已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
知识点 2 直角三角形的判定
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2 D.a∶b∶c=3∶4∶6
7.若三角形的三边长分别为6,8,10,则它的最长边上的高为 .
8.如在正方形ABCD中,AE=EB,AF=AD.求证:CE⊥EF.
知识点 3 互逆命题、逆定理
9.下列说法中,正确的是( )
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.真命题的逆命题一定是真命题
10.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.直角三角形的两个锐角互余
B.等边三角形的三个内角都相等
C.互余的两个角都小于90°
D.等边对等角
11.先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,最后指出其中的互逆定理.
(1)如果x2>0,那么x>0;
(2)长方形是正方形;
(3)内错角相等,两直线平行.
12.能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证如图是( )
13.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高AD的长为12 cm,则△ABC的面积为 .
14.如OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,根据勾股定理,得OP1=,再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=,又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2……依此继续,得OP2022= ,OPn= (n为自然数,且n>0).
15.如将长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,求DE的长.
16.如正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在如图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在如图②中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边的长分别为2,,;
(3)如如图③,点A,B,C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
答案
2 第1课时 直角三角形的性质与判定
1.C
2.A 解： ∵在△ACD中,∠ADC=90°,∴∠A+∠C=90°.∵在△AEB中,∠AEB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∴∠B=∠C=43°.
3.D
4.3或 解： ①若第三边为斜边,则第三边长==;
②若边长为5的边为斜边,则第三边长==3.
5.解:∵AD是BC边上的高,∠EPD=125°,∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°.
∵BE是一条角平分线,∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°.在Rt△ABD中,
∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.
6.D 解： A项,∠A+∠B=∠C,又∠A+∠B+∠C=180°,则最大角∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;B项,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,又∠A+∠B+∠C=180°,则最大角∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;C项,由a2=c2-b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形;D项,32+42≠62,不符合勾股定理的逆定理,△ABC不是直角三角形.
7.4.8 解： ∵三角形的三边长分别为6,8,10,且62+82=100=102,
∴此三角形是直角三角形,边长为10的边是最长边.设它的最长边上的高是h,
则6×8=10h,解得h=4.8.
8.证明:如如图,连接CF.
设正方形ABCD的边长为4.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4.
∵AE=EB,AF=AD,
∴AE=BE=AB=2,AF=1,DF=3.
由勾股定理,得EF==,
EC==2,
FC==5,
满足EF2+EC2=FC2,
∴△CEF是直角三角形,
∴∠FEC=90°,∴EF⊥CE.
9.A
10.C 解： A项,逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形,是真命题;
B项,逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形,是真命题;
C项,逆命题为小于90°的两个角互余,例如40°和30°,是假命题;
D项,逆命题为等角对等边,是真命题.
故选C.
11.解:(1)原命题是假命题.逆命题:如果x>0,那么x2>0.
(2)原命题是假命题.逆命题:正方形是长方形.
(3)原命题是真命题.逆命题:两直线平行,内错角相等.其逆命题是真命题,它们互为逆定理.
12.C 解： C选项如图中:三角形三个内角都是锐角,则∠α+∠β>90°.故选C.
13.126 cm2或66 cm2 解： 在Rt△ABD中,由勾股定理可求得BD=5 cm;在Rt△ACD中,由勾股定理可求得CD=16 cm,所以BC=BD+CD=21 cm或BC=CD-BD=11 cm,所以S△ABC=BC·AD=×21×12=126(cm2)或S△ABC=BC·AD=×11×12=66(cm2).
14. 解： 首先根据勾股定理求出OP4,再由OP1,OP2,OP3,OP4的长度找到规律进而求出OP2022的长.
由勾股定理得OP1==;
OP2==;
OP3===2;
OP4==;
依此类推可得OPn=,
∴OP2022==.
故答案为,.
15.解:∵S△ABF=24,∴AB·BF=24,∴BF=8.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF===10.
由翻折及长方形的性质可知BC=AD=AF=10,DE=EF.
∴FC=BC-BF=10-8=2.设DE=x,则EF=x,EC=6-x.
在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,
则x2=22+(6-x)2,解得x=,即DE=.
16.解:(1)如如图①的正方形的边长是,面积是10(所画正方形的形状、大小相同,位置可能不同).
(2)如如图②的三角形的边长分别为2,,(所画三角形的形状、大小相同,位置可能不同).
(3)如如图③,连接AC.
∵每个小正方形的边长都是1,
∴由勾股定理得AC=BC==,
AB==2,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.
又∵AC=BC,∴∠ABC=45°.第2课时 直角三角形全等的判定
知识点 直角三角形全等的判定
1.如示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直接得到△PEA与△PFA全等的理由是( )
A.HL B.AAS C.SSS D.SAS
2.如示,∠C=∠D=90°,若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需要添加的条件是( )
A.∠BAC=∠BAD B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确
3.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.一个锐角和斜边分别相等 B.两条直角边分别相等
C.两个锐角分别相等 D.斜边和一条直角边分别相等
4.如,在Rt△ABC和Rt△DCB中,AB=DC,∠A=∠D=90°,AC与BD交于点O.求证:OB=OC.
5.如,P为∠AOB内的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,且PC=PD.
求证:OC=OD.
6.如,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点F.
求证:AF=BC.
7.如,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则中的直角三角形与Rt△ABC全等的是( )
8.如,在△ABC中,BD=CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE=CD,若∠AFD=140°,则∠EDF= °.
9.已知:如,在△ABC中,BE⊥AC,垂足为E,CD⊥AB,垂足为D,且CD=BE.
(1)求证:△ABC为等腰三角形(请用两种不同的方法证明);
(2)由(1)归纳一个命题.
10.如,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CBF;
(2)求证:AB=CE+BF;
(3)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
11.如,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,当点P运动到线段AC上的什么位置时,△APQ才能和△ABC全等
答案
第2课时 直角三角形全等的判定
1.A 解： 因为在Rt△PEA和Rt△PFA中,斜边AP是公共边,PE=PF,所以直接根据“HL”判定Rt△PEA≌Rt△PFA.
2.B 解： 需要添加的条件为BC=BD或AC=AD.理由:若添加的条件为BC=BD,
在Rt△ABC和Rt△ABD中,∵BC=BD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL);
若添加的条件为AC=AD,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∵AC=AD,AB=AB,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).故选B.
3.C 解： A项,一个锐角和斜边分别相等,可用AAS判定两直角三角形全等;
B项,两条直角边分别相等,可用SAS判定两直角三角形全等;
C项,不能判定两个直角三角形全等,全等三角形的判定必须有边的参与;
D项,斜边和一条直角边分别相等,可用HL判定两直角三角形全等.故选C.
4.证明:在Rt△ABC和Rt△DCB中,∵AB=DC,BC=CB,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC.
5.证明:如如图,连接OP.
∵PC⊥OA,PD⊥OB,
∴∠PCO=∠PDO=90°.
在Rt△POC和Rt△POD中,
∵PO=PO,PC=PD,
∴Rt△POC≌Rt△POD,∴OC=OD.
6.证明:∵BE⊥AC,
∴∠BEA=∠BEC=90°.
又∵∠BAC=45°,∴∠ABE=45°,
∴∠BAC=∠ABE,
∴AE=BE.
∵∠FAE+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠FAE=∠EBC.
在△AEF和△BEC中,
∵∠FAE=∠CBE,AE=BE,∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC(ASA),
∴AF=BC.
7.A 解： 在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,AB=4,∴∠A=60°,AC=2.A项利用“ASA”能判定两三角形全等,故此选项正确;
B项,只有一对边与一对角相等不能判定两三角形全等,故此选项错误;
C项,AC是30°角所对的直角边,而此选项中60°角所对的直角边是2,不能判定两三角形全等,故此选项错误;
D项,对应边不相等,不能判定两三角形全等,故此选项错误.故选A.
8.50 解： 由∠AFD=140°知∠DFC=40°.根据“HL”证Rt△BDE≌Rt△CFD,得∠BDE=∠CFD=40°,从而得∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE=50°.
9.解:(1)证明:方法一:∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在Rt△BCD和Rt△CBE中,
∵BC=CB,CD=BE,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),
则∠DBC=∠ECB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
方法二:∵S△ABC=AB·CD=AC·BE,
且CD=BE,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)由(1)可得关于等腰三角形判定的命题:如果一个三角形有两条高相等,那么这个三角形是等腰三角形.
10.解:(1)证明:∵∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,
∴∠ABE=∠CBF=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AB=CB,AE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF.
(2)证明:∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴BE=BF.
又∵CB=CE+BE,AB=CB,
∴AB=CE+BF.
(3)∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠BCA=∠CAB=45°.
∵∠CAE=30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,
∴∠EAB=15°.
∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠FCB=∠EAB=15°,
∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°.
11.解:①当点P运动到PA=BC时,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,
∵BC=PA,AB=QP,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),
此时PA=BC=5 cm=AC,即点P运动到线段AC的中点;
②当点P运动到PA=AC时,
在Rt△ABC和Rt△PQA中,
∵AB=PQ,AC=PA,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL),
此时PA=AC=10 cm,即点P与点C重合.
综上所述,当点P运动到线段AC的中点或点P与点C重合时,△APQ才能和△ABC全等.
