1 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
知识点 1 全等三角形的性质与判定定理
1.如点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AB=ED,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D B.AC=DF C.BF=EC D.AC∥FD
2.若△ABC≌△DEF,且△ABC的周长是100 cm,AB=30 cm,DF=25 cm,则BC的长是( )
A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm
3.如D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是
( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
4.如△ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为 .
5.已知:如点C在AE上,AB=EA,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°.求证:△ABC≌△EAD.
知识点 2 等腰三角形的性质定理及推论
6.若等腰三角形的顶角为50°,则它的底角的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.65°
7.如在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=64°,则∠C的度数为 .
8.若等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为 ;若等腰三角形的两边长分别为3和4,则它的周长为 .
9.如在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 .
10.如在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,在AD的延长线上取一点F,使AE=EF,求证:EF∥AC.
11.如在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,仍不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
12.如以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠BAC=104°,∠C=36°,则∠DAC的度数为 .
13.已知:如,在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,∠DBC=∠BAC.求证:BD⊥AC.
14.如,在△ABC中,AB=AC.
(1)如如图①,若∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= °;
(2)如如图②,若∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= °;
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示: ;
(4)如如图③,若AD不是BC边上的高,AD=AE,上述关系是否仍然成立 若成立,请说明理由.
答案
1 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
1.B
2.A 解： ∵△ABC≌△DEF,DF=25 cm,∴AC=DF=25 cm.∵△ABC的周长为100 cm,AB=30 cm,∴BC=100-30-25=45(cm).
3.B 解： ∵CF∥AB,
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F.
在△ADE和△CFE中,
∵∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,DE=FE,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴AD=CF=3.
∵AB=4,
∴BD=AB-AD=4-3=1.
故选B.
4.25° 解： ∵△ABC≌△DCB,
∴∠D=∠A=75°,∠ACB=∠DBC=40°,
∴∠DCB=180°-∠D-∠DBC=180°-75°-40°=65°,
∴∠DCA=∠DCB-∠ACB=65°-40°=25°.
5.证明:∵∠ECB=70°,∴∠ACB=110°.
又∵∠D=110°,∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,∴∠CAB=∠E.
在△ABC和△EAD中,
∵∠ACB=∠D,∠CAB=∠E,AB=EA,
∴△ABC≌△EAD(AAS).
6.D 解： ∵等腰三角形的顶角为50°,∴两个底角的度数和为130°.∵等腰三角形的两个底角相等,∴每一个底角的度数都为65°.
7.32° 解： ∵在△ABD中,AB=AD,∠B=64°,
∴∠B=∠ADB=64°,
∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-64°=116°.
∵AD=DC,
∴∠C=(180°-∠ADC)÷2=(180°-116°)÷2=32°.
8.15 10或11 解： ∵等腰三角形的两边长分别是3和6,
∴当腰长为6时,能组成三角形,此时三角形的周长为6+6+3=15;
当腰长为3时,3+3=6,不能组成三角形,
∴此等腰三角形的周长为15.
∵等腰三角形的两边长分别是3和4,
∴当腰长是3时,能组成三角形,此时三角形的周长为3+3+4=10;
当腰长是4时,能组成三角形,此时三角形的周长为4+4+3=11,
∴此等腰三角形的周长是10或11.
9.20 解： ∵AB=AC,AD⊥BC,∴根据等腰三角形“三线合一”,可得BD=CD=4.又∵AB=AC=6,∴△ABC的周长为6+6+4+4=20.
10.解:(1)在Rt△ACD中,∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-42°=48°.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=48°.
(2)证明:由(1)知∠BAD=∠CAD.
∵AE=EF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠CAD=∠F,
∴EF∥AC(内错角相等,两直线平行).
11.B 解： ∵△ABC为等腰三角形,AB,AC为腰,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB,
∴当AD=AE时,根据“SAS”可判定△ABE≌△ACD;当∠ADC=∠AEB时,根据“AAS”可判定△ABE≌△ACD;当∠DCB=∠EBC时,可得∠ABE=∠ACD,根据“ASA”可判定△ABE≌△ACD.故选B.
12.34° 解： 解法一:
∵∠BAC=104°,∠C=36°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-104°-36°=40°.
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA=(180-∠B)=70°.
又∵∠BDA=∠DAC+∠C,
∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°.
解法二:
由题意得∠BAC=∠BAD+∠DAC,
即104°=∠BAD+∠DAC①.
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
又∵∠BDA=∠DAC+∠C,
即∠BAD=∠DAC+∠C,
整理得36°=∠BAD-∠DAC②.
①-②,得2∠DAC=68°,
∴∠DAC=34°.
13.证明:如如图,过点A作AE⊥BC于点E,交BD于点F.
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠CAE=∠BAC,∠BEF=90°.
∵∠DBC=∠BAC,
∴∠CAE=∠DBC.
∵∠1=∠2,∠ADF=180°-∠2-∠CAE,∠BEF=180°-∠1-∠DBC,
∴∠ADF=∠BEF=90°,
∴BD⊥AC.
14.解： (1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,
∴∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD.
∵∠BAD=30°,
∴∠CAD=30°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
故答案为15.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,
∴∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD.
∵∠BAD=40°,
∴∠CAD=40°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=70°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.
故答案为20.
解:(1)15 (2)20
(3)∠BAD=2∠EDC
(4)仍然成立.理由如下:
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC.第4课时 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形
知识点 1 等边三角形的判定
1.下列说法不正确的是( )
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角为60°的三角形是等边三角形
D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
2.如,已知△ABC,D是BC上的一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD
C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
3.如,在△ABC中,D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°,则∠A= °.
4.已知:如,D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC,BE与AD,AC分别交于点H,F,CE∥AB,CE与AD交于点G.
(1)求∠AHB的度数;
(2)求证:△CFG是等边三角形.
知识点 2 含30 °角的直角三角形的性质定理
5.如,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC的长为( )
A.6 B.6 C.6 D.12
6.(教材例4变式)如,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
7.如,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,DE=2,则DF= .
8.如,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.
9.如,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上
10.如,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交BC于点F,若AF=BF,则△CEF为( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
11.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=BC,求△ABC顶角的度数.
12.如,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.
13.如所示,在等边三角形ABC中,AB=9 cm,点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度移动.P,Q两点同时出发,它们移动的时间为t s.
(1)用含t的式子表示出BP和BQ的长;
(2)经过几秒钟,△PBQ为等边三角形
(3)若P,Q两点分别从C,B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC的三边移动,则经过几秒钟,点P与点Q第一次相遇在△ABC的哪条边上
答案
第4课时 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形
1.C
2.C 解： A项,AB=AC,∠B=∠C,只能判定△ABC是等腰三角形,错误;
B项,AD⊥BC,BD=CD,只能判定△ABC是等腰三角形,错误;
C项,BC=AC,∠B=∠C,则∠BAC=∠B=∠C,能判定△ABC是等边三角形,正确;
D项,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,只能判定△ABC是等腰三角形,错误.故选C.
3.60 解： ∵DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°,
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又∵AD=DC,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠A=60°.
4.解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
在△BCF和△AHF中,
∵∠EBC=∠DAC,∠BFC=∠HFA,
∴∠AHB=∠ACB=60°.
(2)证明:∵CE∥AB,
∴∠ECD=∠ABC=60°,
∴∠ACG=180°-∠ACB-∠ECD=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC.
在△BCF和△ACG中,
∵∠FBC=∠GAC,BC=AC,∠BCF=∠ACG,
∴△BCF≌△ACG(ASA),
∴FC=GC.
又∵∠ACG=60°,
∴△CFG是等边三角形.
5.A
6.C 解： ∵AC=BC,∠B=15°,
∴∠B=∠BAC=15°,
∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°.
∵AD⊥BC,
∴AD=AC=×10=5(cm).故选C.
7.4 解： ∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
∴∠F=30°,
∴DF=2DE=4.
8.证明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC,∠B=60°.
∵CD⊥AB,
∴∠DCB=30°,
∴BC=2BD,∴AB=2BC=4BD.
9.D
10.B 解： ∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠BAF.
∵AF=BF,
∴∠B=∠CAF=∠BAF.
又∵∠B+∠CAF+∠BAF=90°,
∴∠B=∠CAF=∠BAF=30°,
∴∠CFE=∠B+∠BAF=60°,
∠CEF=∠AED=60°,
∴∠ECF=60°,
∴△CEF为等边三角形.
11.解:若BC为腰,
∵AD⊥BC,AD=BC,
易知∠ACD=30°.
如如图①,当AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°;
如如图②,当AD在△ABC外部时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,则顶角∠ACB=180°-30°=150°.
若BC为底,如如图③,
∵AD⊥BC,AD=BC,
∴AD=BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°,
∴顶角∠BAC=90°.
综上所述,等腰三角形ABC顶角的度数为30°或150°或90°.
12.解:如如图,延长AD,BC交于点E.
∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠E=60°.
∵∠ADC=120°,∴∠EDC=60°,
∴△EDC是等边三角形.
设CD=CE=DE=x.
∵AD=4,BC=1,
∴2(1+x)=x+4,
解得x=2,∴CD=2.
13.解:(1)在等边三角形ABC中,BC=AB=9 cm.
∵点P的速度为2 cm/s,移动时间为t s,
∴CP=2t cm,∴BP=BC-CP=(9-2t)cm.
∵点Q的速度为5 cm/s,移动时间为t s,
∴BQ=5t cm.
(2)若△PBQ为等边三角形,则有BQ=BP,
即5t=9-2t,解得t=,
∴经过 s,△PBQ为等边三角形.
(3)当点Q与点P第一次相遇时,5t-2t=18,解得t=6,即经过6 s,点P与点Q第一次相遇.当t=6时,点P移动的路程为2×6=12(cm),而9<12<18,即此时点P在AB边上,
∴经过6 s,点P与点Q第一次相遇在△ABC的AB边上.第3课时 等腰三角形的判定与反证法
知识点 1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则( )
A.AB=BC B.AB=AC C.BC=AC D.∠A=60°
2.在△ABC中,已知a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.a=3,b=3,c=4 B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
3.如,已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若OD=3 cm,则CD= cm.
4.(2020台州)如,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
知识点 2 反证法
5.牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法证明命题:“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°.”第一步应先假设( )
A.∠B≥90° B.∠B>90° C.∠B<90° D.AB≠AC
6.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
①则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾;
②所以假设不成立,即一个三角形中不能有两个直角;
③假设△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.
正确顺序的序号为 .
7.如,已知:在同一平面内,直线a∥c,b∥c.求证:a∥b.(用反证法证明)
8.如,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形,那么∠ODP的度数为( )
A.30° B.120° C.30°或120° D.30°或75°或120°
9.(教材例2变式)如,AC,BD相交于点O,∠A=∠D,如果再补充一个条件,使得△BOC是等腰三角形,那么补充的条件不能是( )
A.OA=OD B.AB=CD C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB
10.如所示,在四边形ABDC中,AB=AC,∠ABD=∠ACD.求证:BD=CD.
11.如,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC,交AB于点E.求证:△BDE是等腰三角形.
12.等腰三角形的一条性质是等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线相互重合(简写成“三线合一”),这条性质可以转化为三种形式的命题:
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边,并且垂直于底边;
(2)等腰三角形底边上的中线平分顶角,并且垂直于底边;
(3)等腰三角形 .(补全命题文字)
针对等腰三角形的这条性质小明同学做了进一步的猜想和证明,他认为如果一个三角形中,一个角的平分线平分了这个角的对边,那么这个三角形是等腰三角形.小明画出了如图形,并根据如图形将这个命题写成了已知、求证的形式.请你帮助他写出证明过程.
已知:如,在△ABC中,AD平分∠CAB,交BC边于点D,且CD=BD.
求证:AB=AC.
答案
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1.B 2.B 3.3
4.解:(1)证明:在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)△BOC是等腰三角形.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
即∠OBC=∠OCB,∴BO=CO,
∴△BOC是等腰三角形.
5.A 解： 用反证法证明命题:“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°.”第一步应先假设∠B≥90°.故选A.
6.③①②
7.证明:如如图.
假设a与b相交,则过点M有两条直线平行于直线c,这与“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”相矛盾,所以a∥b.
8.D 解： ∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,∴∠AOC=30°.如如图.①当点D在点D1处时,OD=PD,∴∠AOP=∠OPD=30°,∴∠ODP=180°-30°-30°=120°.②当点D在点D2处时,OP=OD,则∠OPD=∠ODP=(180°-30°)=75°.③当点D在点D3处时,OP=DP,则∠ODP=∠AOP=30°.综上所述,∠ODP的度数为120°或75°或30°.
9.C
10.解： 连接BC,利用等角对等边证明.
证明:连接BC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB,
即∠DBC=∠DCB,
∴BD=CD.
11.证明:如如图.∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,
∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,则BE=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
12.解:底边上的高线平分底边,并且平分顶角
证明:如如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
在△ACD和△EBD中,
∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD,
∴△ACD≌△EBD(SAS),
∴∠CAD=∠E,AC=BE.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
则∠BAD=∠E,
∴AB=BE,
∴AB=AC.第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形
知识点 1 等腰三角形中特殊的相等线段
1.已知:如,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是( )
A.BD=CE B.OB=OC
C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
2.已知:如,在△ABC中,AB=AC,添加下列条件,不能得出BD=CE的是( )
A.BD和CE分别为AC和AB边上的高
B.BD和CE分别为AC和AB边上的中线
C.∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
3.已知:如,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:DM=DN.
知识点 2 等边三角形的性质
4.如,△ABC是等边三角形,且点A在直线l上,则∠1+∠2等于( )
A.60° B.90° C.120° D.180°
5.如,△ABC是等边三角形.
(1)若AD是BC边上的中线,则∠BAD= °,∠ADC= °;
(2)若AB=6,AD是BC边上的高线,则BD= = ;
(3)若AD是∠BAC的平分线,则AD BC,S△ABD S△ACD= S△ABC.
6.(教材习题1.2T3变式)已知:如,在等边三角形ABC中,D为BC延长线上一点,E为CA延长线上一点,且AE=CD.
求证:AD=BE.
7.如,O是等边三角形ABC内一点,连接OC,以OC为边作等边三角形COD,连接BO,AD.求证:BO=AD.
8.如,在△ABC中,AB=AC=6,该三角形的面积为15,O是边BC上任意一点,则点O到AB,AC边的距离之和等于( )
A.5 B.7.5 C.9 D.10
9.如,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,有下列结论:①△ACE≌△DCB;②△ACM≌△DCN;③CM=CN;
④AC=DN.其中正确的结论有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
10.如,在等边三角形ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,CD,BE相交于点O,则∠BOC的度数是 .
11.如所示,在等边三角形ABC中,D是BC上的一点,延长AD至点E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,连接OE,求∠E的度数.
12.如,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由点A向点C运动(点P与点A,C不重合),Q是CB延长线上一动点,由点B沿CB延长线的方向运动(点Q与点B不重合),点P,Q同时出发,且速度相同.过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长.
(2)在运动过程中线段DE的长是否发生变化 如果不发生变化,求出线段DE的长;如果发生变化,请说明理由.
答案
第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形
1.C
2.D 解： A项,由等腰三角形两腰上的高相等,可知A项正确;B项,由等腰三角形两腰上的中线相等,可知B项正确;C项,可证△ABD≌△ACE,得出BD=CE,可知C项正确;D项错误.
3.证明:∵AM=2MB,∴AM=AB.同理,AN=AC.∵AB=AC,∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,∵AM=AN,∠MAD=∠NAD,AD=AD,∴△AMD≌△AND,
∴DM=DN.
4.C 解： ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠1+∠2=180°-∠BAC=180°-60°=120°.
5.(1)30 90 (2)BC 3 (3)⊥ =
解： (1)因为△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,所以AD平分∠BAC,即∠BAD=∠BAC=30°,同时得AD⊥BC,即∠ADC=90°.
(2)因为△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高线,所以AD是BC边上的中线,
即BD=BC=3.
(3)因为△ABC是等边三角形,AD是∠BAC的平分线,所以AD⊥BC,AD是BC边上的中线,所以S△ABD=S△ACD=S△ABC.
6.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠EAB=∠DCA=120°.在△EAB和△DCA中,
∵AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA,
∴△EAB≌△DCA(SAS),∴AD=BE.
7.证明:∵△ABC和△COD是等边三角形,
∴BC=AC,CO=CD,∠ACB=∠DCO=60°,
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO,
即∠ACD=∠BCO.
在△BOC和△ADC中,
∵BC=AC,∠BCO=∠ACD,CO=CD,
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴BO=AD.
8.A 解： 连接AO,如如图所示.
∵在△ABC中,AB=AC=6,该三角形的面积为15,
∴△ABC的面积=△ABO的面积+△ACO的面积
=AB·OE+AC·OF
=AB·(OE+OF)
=×6(OE+OF)
=15,
解得OE+OF=5.
故选A.
9.A
10.120°
11.解:∵△ABC是等边三角形,BF是△ABC的高,
∴∠ABO=∠ABC=30°,AB=AC.
∵AE=AC,∴AB=AE.
∵AO为∠BAE的平分线,
∴∠BAO=∠EAO.
在△ABO和△AEO中,
∵AB=AE,∠BAO=∠EAO,AO=AO,
∴△ABO≌△AEO(SAS),
∴∠E=∠ABO=30°.
12.解:(1)如如图,过点P作PF∥QC交AB于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵PF∥QC,
∴∠AFP=∠ABC=60°,∠APF=∠C=60°,
则∠A=∠AFP=∠APF=60°,
∴△AFP是等边三角形,∴AP=PF=AF.
∵点P,Q同时出发,且速度相同,∴BQ=AP,
∴BQ=PF.
∵PF∥QC,∴∠DQB=∠DPF.
又∵∠BDQ=∠FDP,
∴△DBQ≌△DFP,∴BD=FD.
∵∠ABC=60°,∠BQD=30°,
∴∠BDQ=∠BQD=30°,∴BQ=BD,
则BD=FD=AF=AB=×6=2,
∴AP=2.
(2)线段DE的长不发生变化.
由(1)知BD=FD.
∵△AFP是等边三角形,PE⊥AF,
∴AE=EF.
∵DE+(BD+AE)=AB=6,
∴DE+(FD+EF)=6,
即DE+DE=6,
∴DE=3.
