3 第1课时 线段的垂直平分线
知识点 1 线段垂直平分线的性质定理
1.如直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如示,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,则下列结论不一定成立的是
( )
A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.BC=CD D.AD=CD
3.如在△ABC中,∠A=40°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,连接BE,则∠BEC的大小为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
4.如在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
5.如AC=AD,BC=BD,则( )
A.CD垂直平分线段AB B.AB垂直平分线段CD
C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
6.如在△ABC中,点D在BC上,且BC=CD+AD,则点D在线段 的垂直平分线上.
7.如在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为 .
8.如已知在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC,求作对角线BD的垂直平分线,小亮只用直尺作直线AC,就得到对角线BD的垂直平分线.请你帮小亮说明理由.
9.如在△ABC中,DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线,且点D在BC边上,连接AD,则∠BAC等于( )
A.60° B.80° C.90° D.100°
10.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为40°,则△ABC的顶角为( )
A.20°或160° B.30°或150° C.40°或140° D.50°或130°
11.如,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠,发现点B的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C的度数为 .
12.如,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是BD的垂直平分线与AB的交点,DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.
13.如,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N.求证:CM=2BM.
14.如①,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M.
(1)求∠NMB的度数;
(2)如如图②,如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;
(3)根据(1)(2)的计算,你能发现其中蕴含的规律吗 请写出你的猜想并证明;
(4)如如图③,将(1)中的∠A改为钝角,其余条件不变,该规律是否需要加以修改 请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论.
答案
3 第1课时 线段的垂直平分线
1.B 解： ∵直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,
∴PB=PA.∵PA=5,∴PB=5.故选B.
2.D
3.C 解： ∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,∴∠EBA=∠A=40°,
∴∠BEC=∠EBA+∠A=80°.故选C.
4.B 解： ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.
5.B 解： ∵AC=AD,∴点A在线段CD的垂直平分线上.
∵BC=BD,∴点B在线段CD的垂直平分线上,∴AB垂直平分线段CD.故选B.
6.AB
7.26° 解： 由作法得ED垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C=32°,
∴∠BAE=90°-32°-32°=26°.故答案为26°.
8.解:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,点A在线段BD的垂直平分线上.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB,
即∠CBD=∠CDB,∴CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,
∴直线AC是对角线BD的垂直平分线.
9.C 解： ∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线,∴BD=AD,AD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD.∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAD+∠CAD+∠BAC=180°,
∴2∠BAC=180°,即∠BAC=90°.故选C.
10.D
11.30°
12.证明:∵E是BD的垂直平分线上一点,∴EB=ED,∴∠B=∠D.∵∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D,∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠AFE=∠A,
∴EF=EA,∴点E在AF的垂直平分线上.
13.解： 本题主要考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质.
证明:连接AM.∵MN是AB的垂直平分线,∴AM=BM,∴∠MAB=∠B.
∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∴∠MAB=30°,∴∠MAC=90°.
又∵∠C=30°,∴CM=2AM,∴CM=2BM.
14.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠B=70°.∵MN是AB的垂直平分线,
∴∠BNM=90°,∴∠NMB=90°-∠B=20°.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=70°,∴∠B=55°.∵MN是AB的垂直平分线,
∴∠BNM=90°,∴∠NMB=90°-∠B=35°.
(3)能,猜想:∠NMB=∠A.证明:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=90°-∠A.
∵MN是AB的垂直平分线,∴∠BNM=90°,∴∠NMB=90°-∠B=∠A.
(4)不需要修改.
验证(代入度数不唯一):若∠A=100°,
∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=40°.
∵MN是AB的垂直平分线,∴∠BNM=90°,
∴∠NMB=90°-∠B=50°=∠A.第2课时 三角形三边的垂直平分线
知识点 1 三角形三边的垂直平分线的性质
1.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的( )
A.三条高所在直线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
2.如,O为△ABC三边垂直平分线的交点,AO=5 cm,则AO+BO+CO= cm.
3.如,△ABC中,∠BAC=80°,AB的垂直平分线交BC边于点E,交AB边于点D,AC的垂直平分线交BC边于点N,交AC边于点M,则∠NAE= °.
4.如所示,P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.
知识点 2 有关垂直平分线的几何作如图
5.根据中圆规作如图的痕迹,可用直尺成功确定到三角形三个顶点的距离相等的点的是( )
6.如,已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.张红的作法是:(1)作线段BC=a;(2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;(3)在直线MN上截取线段h;(4)连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是( )
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
7.如,Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)尺规作如图:作AB边的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,连接BE;
(2)若∠EBC=30°,EC=1,求△ABC的面积.
8.等腰三角形的顶角为100°,两腰的垂直平分线交于点P,则( )
A.点P在三角形内 B.点P在三角形的底边上
C.点P在三角形外 D.点P的位置与三角形的边长有关
9.已知△ABC(AC
10.如,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠BAC=82°,则∠OBC= °.
11.如所示,已知线段a,b,求作等腰三角形,使底边上的高为a,腰长为b(a12.如,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,延长DM,与EN的延长线相交于点F,连接CM,CN.
(1)若△CMN的周长为15 cm,求AB的长;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
13.如,在△ABC中,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF.
求证:BE+CF>EF.
答案
第2课时 三角形三边的垂直平分线
1.D
2.15 解： ∵O为△ABC三边垂直平分线的交点,
∴AO=BO=CO=5 cm,
∴AO+BO+CO=5+5+5=15(cm).
3.20 解： ∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=180°-80°=100°.
∵AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,
∴EA=EB,NA=NC,
∴∠EAB=∠B,∠NAC=∠C,
∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN,
∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC=100°-80°=20°.
故答案为20.
4.解:∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,
∴PA=PC=PB,
∴∠PAC=∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°,∠PAB=∠PBA,
∴∠PAB=(180°-2×20°-2×30°)=40°.
5.C
6.C
7.解:(1)如如图.
(2)在Rt△BCE中,∵∠EBC=30°,
∴BE=2EC=2,∴BC=.
∵DE垂直平分AB,
∴EA=BE=2,
∴AC=3,
∴S△ABC=×3×=.
8.C 9.D
10.8 解： 连接OA.
∵∠BAC=82°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-82°=98°.
∵AB,AC的垂直平分线交于点O,
∴OB=OA,OC=OA,
∴OB=OC,∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,
∴∠OBC+∠OCB=98°-(∠OBA+∠OCA)=98°-(∠OAB+∠OAC)=98°-∠ABC=98°-82°=16°.
∵OB=OC,∴∠OBC=8°.
故答案为8.
11.解:作法:(1)作线段AD=a;
(2)过点D作直线MN⊥AD于点D;
(3)以点A为圆心,b为半径画弧,交MN于B,C两点,连接AB,AC.△ABC即为所求,如如图所示.
12.解:(1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,
∴AM=CM,BN=CN,
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB.
∵△CMN的周长为15 cm,
∴AB=15 cm.
(2)∵∠MFN=70°,
∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°.
∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,
∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°,
∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°.
∵AM=CM,BN=CN,
∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,
∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°.
13.解： 考虑把BE,CF,EF集中到一个三角形中,利用三角形三边的不等关系解决问题.
证明:延长ED至点M,使MD=ED,连接MC,MF.∵MD=ED,DE⊥DF,
∴DF是EM的垂直平分线,∴EF=MF.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在△BDE和△CDM中,
∵BD=CD,∠EDB=∠MDC,ED=MD,
∴△BDE≌△CDM(SAS),
∴BE=CM.
在△MCF中,∵CM+CF>MF,
∴BE+CF>EF.