第2课时 三角形三条内角平分线
知识点 1 三角形三条角平分线的性质
1.三角形中,到三边距离相等的点是( )
A.三条高线所在直线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点
2.如,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是60,70,80,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.3∶7∶4 D.6∶7∶8
3.如,在△ABC中,点O到三边的距离相等,∠BAC=60°,则∠BOC的度数为( )
A.120° B.125° C.130° D.140°
4.如,BD是∠ABC的平分线,BA=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
知识点 2 有关三角形内角平分线的几何作如图
5.如所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC三条中线的交点处
B.△ABC三边的垂直平分线的交点处
C.△ABC三条角平分线的交点处
D.△ABC三条高所在直线的交点处
6.根据圆规作如图的痕迹,可用直尺成功找到到三角形三边的距离相等的点的如图形是( )
7.如所示,某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在绿地上建一喷水池,要求喷水池的中心到三条公路的距离相等,试确定喷水池中心的位置.(不写作法,保留作如图痕迹)
8.如,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,且相交于点F,则下列说法错误的是( )
A.BF=CF
B.点F到∠BAC两边的距离相等
C.CE=BD
D.点F到A,B,C三点的距离相等
9.如,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(教材习题1.10T4变式)如,l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
11.如所示,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,P是∠BAC,∠ABC的平分线的交点,试求点P到AB边的距离.
12.如①所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该如图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,并参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如如图②所示,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE相交于点F,请直接写出FE与FD之间的数量关系.
(2)如如图③所示,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,那么你在(1)中所得的结论是否仍然成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
答案
第2课时 三角形三条内角平分线
1.C 解： 要掌握三角形三边垂直平分线和三条角平分线的区别.
2.D 解： 如如图,过点O作OD⊥CA于点D,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.
∵点O是△ABC三条角平分线的交点,
∴OE=OF=OD,
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB·OE∶BC·OF∶CA·OD=AB∶BC∶CA=6∶7∶8.
故选D.
3.A 解： ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°.
∵点O到三边的距离相等,
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=60°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°.
故选A.
4.证明:∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∵BA=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
5.C 解： ∵凉亭到草坪三条边的距离相等,
∴凉亭应建在△ABC三条角平分线的交点处.故选C.
6.B
7.作出三角形三个内角的平分线,其交点即为喷水池中心的位置 作如图略
8.D 解： ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE分别平分∠ABC,
∠ACB,∴∠FBC=∠FCB,∴BF=CF,故A选项正确.在△BCE和△CBD中,
∵∠BCE=∠CBD,BC=CB,∠EBC=∠DCB,∴△BCE≌△CBD,∴CE=BD,故C选项正确.
如如图,连接AF.∵BD=CE,BF=CF,∴BD-BF=CE-CF,即FE=FD.∵△BCE≌△CBD,∴BE=CD.
∵AB=AC,∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD.在△AEF和△ADF中,∵AE=AD,FE=FD,AF=AF,
∴△AEF≌△ADF,∴∠FAE=∠FAD,即AF平分∠BAC,∴点F到∠BAC两边的距离相等,故B选项正确.故选D.
9.D 10.D
11.解:连接PC.
∵P是∠BAC,∠ABC的平分线的交点,
∴点P到△ABC三边的距离相等.
设点P到△ABC三边的距离为h,
则S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC=AB·h+AC·h+BC·h=h(AB+AC+BC).
∵32+42=52,即BC2+AC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,且∠C=90°,
∴h(AB+AC+BC)=AC·BC,即h(5+4+3)=×4×3,解得h=1,即点P到AB边的距离为1.
12.解： 本题利用了角平分线的性质定理和三角形全等的判定定理,考查学生利用知识解决问题的能力,以及利用知识探索、验证、动手操作的综合能力.
解:在OP上任意取一点A,然后以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点B,C,连接AB,AC,则△OAB≌△OAC,如如图①所示.(答案不唯一)
(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.
(2)(1)中的结论FE=FD仍然成立.
证明:如如图②,在AC上截取AG=AE,连接FG.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵AF为公共边,∴△AEF≌△AGF,
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.
∵∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,
∴∠DAC+∠ECA=60°,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
∴∠CFG=60°=∠CFD.
∵CE平分∠ACB,∴∠ECA=∠ECB.
又∵FC为公共边,∴△CFG≌△CFD,
∴FG=FD,∴FE=FD.4 第1课时 角平分线
知识点 1 角平分线的性质定理
1.如P是 ∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,连接CD交OP于点E,下列结论不一定正确的是( )
A.PC=PD B.OC=OD C.OP垂直平分CD D.OE=CD
2.如已知OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于点H,Q是射线OA上的一个动点.若PH=5,则PQ长的最小值为( )
A.10 B.5 C.3 D.2.5
3.如∠AOB=150°,OC平分∠AOB,P为OC上一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E.若DP=4,则PE的长为 .
4.如在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长.
知识点 2 角平分线的判定定理
5.如DA⊥AC,DE⊥BC,垂足分别为A,E,若DA=5 cm,DE=5 cm,∠ACD=30°,则∠DCE的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.如一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P(两把直尺完全相同),小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样说的依据是( )
A.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
7.已知:如P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.
8.如∠AOB=60°,以点O为圆心,任意长为半径作弧分别交OA,OB于C,D两点,分别以点C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P,以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则点M到OB的距离为( )
A.6 B.2 C.3 D.3
9.如已知点P在∠AOB的平分线上,点C在射线OA上.若点D在射线OB上,且满足PD=PC,则∠ODP与∠OCP的数量关系是 .
10.如,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.
(1)求证:AM⊥DM;
(2)若BC=8,求点M到AD的距离.
11.如,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.
12.(1)如①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是△ABC的角平分线,过点D作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为 ;
(2)若将(1)中的条件“在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改为“在△ABC中,∠C=2∠B”,如如图②所示,则(1)中的结论是否仍然成立 请证明.
答案
4 第1课时 角平分线
1.D 2.B
3.2 解： 如如图,过点P作PF⊥OD,垂足为F.
∵∠AOB=150°,OC平分∠AOB,∴∠DOP=∠AOP=75°.∵PD∥OA,
∴∠DPO=∠AOP=75°,∴∠DOP=∠DPO,∴∠PDO=180°-75°-75°=30°,
∴PF=DP=2.∵P为∠AOB的平分线上一点,PE⊥OA,PF⊥OD,
∴PE=PF=2.
4.解:∵在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.
∵△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,∴×5DE+×4DF=9,
∴DE=DF=2(cm),即DE的长是2 cm.
5.A 6.A
7.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.
8.C 解： 由题意得OP是∠AOB的平分线,过点M作ME⊥OB于点E,如如图.
∵∠AOB=60°,∴∠MOB=30°.在Rt△MOE中,OM=6,∴EM=OM=3.故选C.
9.∠ODP=∠OCP或∠OCP+∠ODP=180° 解： 如如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
①∵OP平分∠AOB,∴PE=PF.在Rt△CEP和Rt△DFP中,∵PC=PD,PE=PF,
∴Rt△CEP≌Rt△DFP(HL),∴∠PCE=∠PDF,∴∠ODP=∠OCP.
②∵OP平分∠AOB,∴PE=PF.在Rt△CEP和Rt△D'FP中,
∵PC=PD',PE=PF,∴Rt△CEP≌Rt△D'FP(HL),
∴∠ECP=∠FD'P.∵∠OCP+∠PCE=180°,∴∠OCP+∠OD'P=180°.
故答案为∠ODP=∠OCP或∠OCP+∠ODP=180°.
10.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.
(2)如如图,过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B=90°,AB∥CD,∴∠C=90°.∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM.∵BC=8,∴BM=CM=4,
∴MN=4,∴点M到AD的距离为4.
11.证明:过点C作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,如如图.
在△MOE和△NOD中,∵OM=ON,∠MOE=∠NOD,OE=OD,
∴△MOE≌△NOD,∴S△MOE=S△NOD,∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE,
即S△MDC=S△NEC.∵OM=ON,OD=OE,∴MD=NE.
由三角形的面积公式得MD·CG=NE·CF,
∴CG=CF.又∵CG⊥OA,CF⊥OB,∴点C在∠AOB的平分线上.
12.解:(1)AB=AC+CD
(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:∵AD平分∠CAB,∴将△CAD沿AD折叠,点C恰好落在AB边上(设为点C'),∴△ACD≌△AC'D,∴AC=AC',CD=C'D,∠AC'D=∠C=2∠B.
又∵∠AC'D=∠C'DB+∠B,∴∠C'DB=∠B,∴C'D=C'B,∴AB=AC'+C'B=AC+C'D,
即AB=AC+CD.
