吉林省长春市名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

长春市名校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为，则实数的值为
A. B. C. D.
4. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的概率为
A. B. C. D.
5. 唐代著名诗人杜牧写的《清明》不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
8. 下列命题正确的是（ ）
A．在回归分析中，决定系数越小，说明回归效果越好
B．已知，若根据2×2列联表得到的值为4.1，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关
C．已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
D．若随机变量，则不论取何值，为定值
9.名同学进行队列训练，站成前排人后排人，现体育教师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为
A. B. C. D.
10.已知，则下列结论不正确的是
A. B.
C. D.
11.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
12.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”根据定义可得
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13. 已知函数的单调递增区间为________．
14．设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
15.的展开式中，记项的系数为，则______．
16．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.
三、解答题
17. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下的数据：抽到服用新药的患者名，其中名治愈，名未冶愈；抽到服用安慰剂没有任何疗效的患者名，其中名治愈，名未治愈．
根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；
疗法 疗效 合计
治愈 未治愈
服用新药
服用安慰剂
合计
依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？
附：．
18. 已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
19.甲、乙两位同学参加数学建模比赛．在备选的道题中，甲答对每道题的概率都是；乙能答对其中的道题．甲、乙两人都从备选的道题中随机抽出道题独立进行测试．规定至少答对题才能获奖．
求甲同学在比赛中答对的题数的分布列和数学期望；
求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率．
20.设函数．
若，求函数的单调区间；
若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
21.为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过个小时免费，超过个小时的部分每小时收费标准为元不足小时的部分按小时计算甲、乙两人互相独立地来滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为，；小时以上且不超过小时离开的概率分别为，；两人滑雪的时间不会超过个小时．
求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量单位：元，求的分布列与期望
22. 已知函数，在定义域上有两个极值点．
求实数的取值范围；
求证:若，则
B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 11.A 12.D
14. 0.1359 15.30 16.
17.
疗法 疗效 合计
治愈 未治愈
服用新药 45 10 55
服用安慰剂 25 20 45
合计 70 30 100
,依据的独立性检验,新药对治疗该种疾病有效
(1)
19.(1)


记“甲获奖”为事件，设乙答对的题数为，“乙获奖”为事件，
，，
记“甲，乙至少有人获奖”为事件，则为“甲，乙两人都未获奖”，
．
故甲，乙至少有人获奖的概率为．
20解：函数单调递增区间是和，单调递减区间是．
因为，所以，
当时，，所以单调递增，
又因为当时，当时，所以函数恰有一个零点，
当时，即，当时，当时，
于是函数单调递增区间是和，单调递减区间是，
又因为当时，当时，所以要使函数恰有一个零点，
只要或，即或，解得，
当时，即，当时，当时，
于是函数单调递增区间是和，单调递减区间是，
又因为当时，当时，所以要使函数恰有一个零点，
只要或，即或，解得，
综上，若函数恰有一个零点，实数的取值范围是．
21.解：由已知得：相同的费用可能为元，元，元．
两人都付元的概率，
两人都付元的概率，
两人都付元的概率，
所以两人所付费用相同的概率为．
设甲、乙所付费用之和为元，则所有可能的取值为，，，，．
则，
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列为
所以，
22.【解析】（1），
函数的定义域上有两个极值点，，且，
所以方程在上有两个根，，且，
即在上有两个不相等的根，，
所以，解得，
当时，若或，，，
所以函数在和上单调递增，
若，所以函数在上单调递减，
故函数在上有两个极值点，，且，
所以，实数的取值范围是；
（2），是方程在上有两个不等的实根，
所以，其中，
故
，
令，其中，
故，令，
所以函数在上单调递增，由于，，
所以存在常数使得，即，，
且当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
，
又，，所以
所以第2页，共2页