绝密★启用前
第五章 一元函数的导数及其应用
章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5分，共 40分）
1．（2020·广东高二期末（理））函数 f (x) (x 1)2 的导函数为（ ）
A． f (x) x 1 B． f (x) 2x 1 C． f (x) x 2 D． f (x) 2x 2
2．（2020·广东高二期末（理））曲线 y x2 x在点 P(1,2)处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））如图是函数 y f (x)的导函数 y f '(x)的图像，则下面判
断正确的是( )
A．在区间（-2,1）上 f (x)是增函数
B．在区间（1,3）上 f (x)是减函数
C．在区间（4,5）上 f (x)是增函数
D．当 x 4时， f (x)取极大值
4．（2020· ax甘肃城关·兰州一中高二期中（理））设曲线 y e ln x 1 在 x＝0处的切线方程为 2x－y＋1
＝0，则 a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2020·山西运城·高三月考（文））已知定义在R 上函数 f x 的导函数为 f x ， x 0, π ，有
f x sin x f x cos x，且 f x f π x 0 a 2 f 2 3 π π .设 ，b f 4 3 3 ，
c f 2
，
则（ ）.
A．a b c B．b c a C． a c b D． c b a
6．（2020·江苏省江浦高级中学高三月考）直线 l : y kx b是曲线 f x ln x 1 和曲线 g x ln e2x
的公切线，则b （ ）
1 e
A．2 B． C． ln D． ln 2e
2 2
f (x) ln x ax2 37．（2020·江西省信丰中学高三月考（文））设函数 x，若 x 1是函数 f (x)是极大值
2
点，则函数 f (x)的极小值为（ ）
A． ln 2 2 B． ln 2 1 C． ln 3 2 D． ln 3 1
8．（2020· 3四川巴中·高三零模（文））若函数 f x 3x x 在区间 a 5,2a 1 上有最小值，则实数 a的
取值范围是（ ）
A． 1,4 B． 1,4
1, 1 1 C． D． 1, 2 2
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得 3分，每题 5分，共 20分）
1
9．（2020·江苏淮安·高三月考）若直线 y x b是函数 f (x)图像的一条切线，则函数 f (x)可以是（ ）
2
A． f (x) 1 B． f (x) x4 C． f (x) sin x D． f (x) e x
x
ln x
10．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））对于函数 f x 2 ，下列说法正确的是（ ）x
A． f x 1在 x e处取得极大值 B． f x 有两个不同的零点2e
C． f 2 f f 3 D．若 f x k 1 0, 2 在 上恒成立，则 k e x 2
11．（2020·泉州第十六中学高二月考）如果函数 y f x 的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是
（ ）
y f x 3, 1A．函数 在区间 内单调递增
2
B．函数 y
1
f x 在区间 ,3 内单调递减
2
C．函数 y f x 在区间 4,5 内单调递增
D．当 x 2时，函数 y f x 有极大值
12．（2020· 3 2湖北黄石港·黄石一中高二期末）已知函数 f x x 3x 9x 1，若 f x 在区间 k, 2 上的
最大值为 28，则实数 k的值可以是（ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
第 II卷（非选择题）
三、填空题（每题 5分，共 20分）
13．（2018·福建高二期末（文））已知函数 f(x)=exlnx， f ' x 为 f(x)的导函数，则 f ' 1 的值为__________．
14．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））已知函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1处有极小值 10，
则a b ___________．
15．（2020·开鲁县第一中学高二期末（理））已知函数 f (x) 2x sin x，若正实数 a,b满足
f (a) f (2b 1) 0 1 4，则 的最小值是__________．
a b
16．（2020·河南南阳·高二期末（理））已知函数 f (x) x(ln x ax)有且仅有一个极值点，则实数 a的取值
范围是_____.
四、解答题（17题 10分，其余每题 12分，共 6题 70分）
1
17．（2020·广东高二期末（理））已知 f (x) ax3 bx2 x c，在 x 1与 x 处都取得极值.
3
（1）求实数 a，b的值；
（2）若对任意 x [ 1， 2]，都有 f (x) c2成立，求实数 c的取值范围.
18．（2020·民勤县第一中学高二期末（文））已知函数 f (x) ln x x 2 ax .
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程；
（2）若 f (x) 0恒成立，求 a的取值范围.
19．（2020·江西高二期末（理））设函数 f x ln x x2 3x .
（1）求函数 f x 的极大值点；
（2 2）若关于 x的方程 f x x m 3 x在区间 1,e
2 上有两个不同的实数解，求实数 m的取值范围.
20．（2020·北京高二期末）已知函数 f x a x ln x x 1，其中 a R .曲线 y f x 在点 e, f e
处的切线斜率为 1.
（Ⅰ）求 a的值；
（Ⅱ）求证： f x 0 .
21 x．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数 f x e ax（a为常数）.
（1）当 a 0时，求 f x 过原点的切线方程；
（2）讨论 f x 的单调区间和极值；
（3）若 x 0,1 ， f x 0恒成立，求 a的取值范围.
2
22．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数 f (x) a ln x 2 (a 0) .
x
（1）若曲线 y f (x)在点 P(1, f (1))处的切线与直线 y x 2垂直，求函数 y f (x)的单调区间；
（2）若对 x (0, )都有 f (x) 2(a 1)成立，试求实数 a的取值范围；绝密★启用前
第五章 一元函数的导数及其应用
章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5分，共 40分）
1．（2020·广东高二期末（理））函数 f (x) (x 1)2 的导函数为（ ）
A． f (x) x 1 B． f (x) 2x 1 C． f (x) x 2 D． f (x) 2x 2
【答案】D
【解析】 f (x) (x 1)2 x 2 2x 1 f (x) 2x 2，故选：D .
2．（2020·广东高二期末（理））曲线 y x2 x在点 P(1,2)处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 y x2 x的导数为 y′ 2x 1，
可得曲线 y x2 x在点 P(1,2)处切线的斜率为 2 1 1 3 .故选：C.
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））如图是函数 y f (x)的导函数 y f '(x)的图像，则下面判
断正确的是( )
A．在区间（-2,1）上 f (x)是增函数
B．在区间（1,3）上 f (x)是减函数
C．在区间（4,5）上 f (x)是增函数
D．当 x 4时， f (x)取极大值
【答案】C
【解析】选项 A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误
选项 B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B错误
选项 C, 区间（4,5）导函数恒大于 0，原函数单调递增，C正确
选项 D，当 x 4处，左边减右边增， f (x)取极小值，D错误
答案是 C
4．（2020· ax甘肃城关·兰州一中高二期中（理））设曲线 y e ln x 1 在 x＝0处的切线方程为 2x－y＋1
＝0，则 a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
ax
【解析】 y e ln x 1 ， y ' aeax 1 ，
x 1
当 x＝0时，y′＝a－1.
y eax故曲线 ln x 1 在 x＝0处的切线方程为 2x－y＋1＝0，
即： y 2x 1，从而 a－1＝2，即 a＝3.
本题选择 D选项.
5．（2020·山西运城·高三月考（文））已知定义在R 上函数 f x 的导函数为 f x ， x 0, π ，有
f x sin x f x cos x，且 f x f x 0 a π 2 f b 2 3 π.设 ， f
π
， c f ，
4 3 3
2
则（ ）.
A．a b c B．b c a C． a c b D． c b a
【答案】D
【解析】设 g x f x ，
sin x
g x f x f x f x g x ，即
g x g x ，
sin x sin x sin x
所以函数 g x 是偶函数，
f x sin x f xg x cos x并且 0，所以函数 g x 在 0, 单调递减，
sin2 x
f f
a 2 f
4
2 3 3
g
，b f g g ，
4 sin 4 3
3 3 3 sin
4 3
f
c f
2 g
，
2 sin 2
2
因为0 ，所以 g g
g
，
4 3 2 4 3 2
即 a b c .
故选：D
6．（2020·江苏省江浦高级中学高三月考）直线 l : y kx b是曲线 f x ln x 1 和曲线 g x ln e2x
的公切线，则b （ ）
1
A．2 B． C． ln
e
D． ln 2e
2 2
【答案】C
【解析】设直线 l与曲线 f x ln x 1 相切于点 A x1, y 21 ，直线 l与曲线 g x ln e x 相切于点
B x2 , y2 ，
1 f x 1 f x ln x 1 1 k，则 f x ，由 1 kx ，可得 x ，x 1 1 1 1 k
则 y1 f x1 ln x1 1 ln k ，即点 A
1 k
, ln k
，
k
1 k
将点 A的坐标代入直线 l的方程可得 ln k k b，可得b k ln k 1，①
k
1
g x ln e2x 2 ln x g x 1 1，则 ，由 g x2 kx ，可得 x2 ，x 2 k
y2 g x2
1
2 ln k ，即点B , 2 ln k
k
，
将点 B的坐标代入直线 l的方程可得 2 ln k k 1 b b 1， b 1 ln k ，②
k
e
联立①②可得 k 2，b 1 ln 2 ln .故选：C.
2
3
7．（2020· 2江西省信丰中学高三月考（文））设函数 f (x) ln x ax x，若 x 1是函数 f (x)是极大值
2
点，则函数 f (x)的极小值为（ ）
A． ln 2 2 B． ln 2 1 C． ln 3 2 D． ln 3 1
【答案】A
【解析】∵ f x 3 lnx ax2 x(x 0)，∴ f x 1 3 2ax ，
2 x 2
∵ x 1是函数的极大值点，∴ f 1 1 3 1 1 2a 2a 0，解得 a ，
2 2 4
1 x 3 x2 3x 2 x 1 x 2
∴ f x ，
x 2 2 2x 2x
∴当0 x 1时， f x 0, f x 单调递增；当1 x 2时， f x 0, f x 单调递减；当 x 2时，
f x 0, f x 单调递增；
∴当 x 2时， f x 有极小值，且极小值为 f 2 ln2 2．
故选 A．
8 2020· · f x 3x x3．（ 四川巴中 高三零模（文））若函数 在区间 a 5,2a 1 上有最小值，则实数 a的
取值范围是（ ）
A． 1,4 B． 1,4
1 1
C． 1, D． 1, 2 2
【答案】C
2
【解析】由 f (x) 3x x 3 ，可得 f x 3x 3 3(x 1)(x 1)，
当 1 x 1， f x 0，当 x 1或 x 1时， f x 0，
所以函数 f x 在区间 , 1 上单调递减，在区间 1,1 上单调递增，在区间 1, 上单调递减，可得
f ( 1) 2，令 f (x) 2，可得 x 1或 x 2，则 f (x)的图像如图所示，
因为函数在区间 a 5,2a 1 上有最小值，故 a 5 1 2a 1 2，
1 a 1解得： ，
2
故选：C.
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得 3分，每题 5分，共 20分）
1
9．（2020·江苏淮安·高三月考）若直线 y x b是函数 f (x)图像的一条切线，则函数 f (x)可以是（ ）
2
A． f (x) 1 B． f (x) x4 C． f (x) sin x D． f (x) e x
x
【答案】BCD
1
【解析】直线 y 1 x b的斜率为 k ，
2 2
1 ' 1
由 f (x) 的导数为 f (x) 2 ，即切线的斜率小于 0，故 A不正确；x x
1 1
由 f (x) x4的导数为 f ' (x) 4x3，而 4x3 ，解得 x ，故 B正确；
2 2
由 f (x) sin x的导数为 f ' cos x
1
(x) cos x，而 有解，故 C正确；
2
1
由 f (x) e x的导数为 f '(x) e x ，而 ex ，解得 x ln2，故 D正确，
2
故选：BCD
ln x
10．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））对于函数 f x 2 ，下列说法正确的是（ ）x
f x 1A． 在 x e处取得极大值 B． f x 有两个不同的零点2e
1 e
C． f 2 f f 3 D．若 f x k 2 在 0, 上恒成立，则 k x 2
【答案】ACD
f ' x 1 2ln x【解析】由已知， 3 ，令 f ' (x) 0得0 x e ，令 f ' (x) 0得x x e，故
f (x)
1
在 (0, e)上单调递增，在 ( e , )单调递减，所以 f x 的极大值为 f e ，2e
A正确；
又令 f x 0得 ln x 0，即 x 1， f x 只有 1个零点，B不正确；
函数在 e , 上单调递减，因为 2 3 e，所以 f 2 f f 3 ，故 C正确；
若 f x k 1 1 在 0, 上恒成立，即 f x 2 k在 0, 2 上恒成立，设x x
g(x) f x 1 ln x 1 2 ，x x2
g '(x) 2 ln x 1 1 1 3 ，令 g
'(x) 0得 0 x e 2 ，令 g
'(x) 0得 x e 2 ，故 g(x)x
1 1 1
在
e e
(0,e 2 ) 上单调递增，在
(e 2 , )单调递减，所以 g(x) 2max g(e ) ， k ，2 2
故 D正确.
故选：ACD
11．（2020·泉州第十六中学高二月考）如果函数 y f x 的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是
（ ）
1
A．函数 y f x 在区间 3, 内单调递增
2
1
B．函数 y f x 在区间 ,32 内单调递减
C．函数 y f x 在区间 4,5 内单调递增
D．当 x 2时，函数 y f x 有极大值
【答案】CD
【解析】对于 A选项，当 3 x 2时， f x 0，则函数 y f x 在区间 3, 2 上单调递减，A选
项错误；
1
对于 B选项，当 x 2时， f x 0，则函数 y 1 f x 在区间 , 2 上单调递增，B选项错误；2 2
对于 C选项，当4 x 5时， f x 0，则函数 y f x 在区间 4,5 上单调递增，C选项正确；
对于 D选项，当 2 x 2时， f x 0，当 2 x 4时， f x 0，所以，函数 y f x 在 x 2处
取得极大值，D选项正确.
故选：CD.
12．（2020· 3 2湖北黄石港·黄石一中高二期末）已知函数 f x x 3x 9x 1，若 f x 在区间 k, 2 上的
最大值为 28，则实数 k的值可以是（ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
【答案】AB
【解析】因为 f x x3 3x2 9x 1 ' 2，所以 f x 3x 6x 9，
'
令 f x 3x2 6x 9 0，解得 x1 3，x2 1，
所以 f ' x 在 ( , 3) (1, ) f '和 时， x >0 '， f x '在 3,1 时， f x 0，
所以函数 f x 在 ( , 3)和 (1, )上单调递增，函数 f x 在 3,1 上单调递减，
则 f x 在 1,2 内单调递增，所以在 1,2 内， f 2 最大；
f x 在 3,1 时单调递减，所以在 3,1 内， f 3 最大；
f x 在 , 3 时单调递增，所以在 , 3 内， f 3 最大；
因为 f 2 3，f 3 28，且 f x 在区间 k, 2 上的最大值为 28，
所以 k 3，即 k的取值范围是 , 3 ，
故选：AB.
第 II卷（非选择题）
三、填空题（每题 5分，共 20分）
13．（2018·福建高二期末（文））已知函数 f(x)=exlnx， f ' x 为 f(x)的导函数，则 f ' 1 的值为__________．
【答案】e
f (x) ex ln x ex 1 ex ln x 1 【解析】由函数的解析式可得：
x
，
x
f (1) e1 ln1 1则
e，即 f ' 1 的值为 e，故答案为 e .
1
14．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））已知函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1处有极小值 10，
则a b ___________．
【答案】 7
【解析】因为 f (x) x3 ax2 bx a2 ，所以 f (x) 3x2 2ax b，
又函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1处有极小值 10，
f (1) 3 2a b 0 且 f (1) 1 a b a 2 10 ，
解得 a 4,b 11，或 a 3,b 3，
当a 4, b 11时，
f (x) 3x2 8x 11 (3x 11)(x 1)
此时， x 1是函数的极小值点，
当 a 3,b 3时，
f (x) 3x 2 6x 3 3(x 1)2 ，
此时， x 1不是函数的极小值点，
a 4, b 11，
a b 7，
故答案为： 7
15．（2020·开鲁县第一中学高二期末（理））已知函数 f (x) 2x sin x，若正实数 a,b满足
f (a) f (2b 1) 0 1 4，则 的最小值是__________．
a b
【答案】9 4 2
【解析】因为 f (x) 2 cos x 0, f ( x) 2x sin x f (x) ，所以函数 f x 为单调递增奇函数，因
此由 f a f 2b 1 0，得 f (a) f (2b 1) f (1 2b) a 1 2b,a 2b 1,
1 4
(1 4因此 )(a 2b) 9 2b 4a 9 2 2b 4a 9 4 2，当且仅当b 2a时取等号.a b a b a b a b
16．（2020·河南南阳·高二期末（理））已知函数 f (x) x(ln x ax)有且仅有一个极值点，则实数 a的取值
范围是_____.
【答案】 ( ,0]
【解析】因为函数 f (x) x(ln x ax)有且仅有一个极值点，
所以 f (x) ln x
1
ax x a
ln x 2ax 1 0只有一个解，
x
2a ln x 1即 ，只有一个解，
x
即 y 2a与 y g(x) ln x 1 只有一个交点，
x
因为 g (x) ln x 2 ，x
当 x (0,1)时， g (x) 0，函数 g(x)单调递增，
当 x (1, )时， g (x) 0，函数 g(x)单调递减，
所以 g(x)max g(1) 1，
当 x 0时， g(x) ；当 x 时， g(x) 0，
画出函数 g(x)的草图如下：
结合图象可得 2a 1或 2a 0，
a 1解得 或 a 0，
2
a 1当 时， f (x) x ln x 1 x2 ，
2 2
所以 f (x) 1 ln x x，
令h(x) 1 ln x x，
所以 h (x) 1 1，
x
所以 h(x)在 (0,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
所以 h(x) h(1) 0，
所以 f (x) 1 ln x x 0恒成立，
所以 f (x)在 (0, )上单调递减，
所以函数 f (x)没有极值点.
所以实数 a的取值范围是 ( ,0] .
故答案为： ( ,0]
四、解答题（17题 10分，其余每题 12分，共 6题 70分）
1
17．（2020·广东高二期末（理））已知 f (x) ax3 bx2 x c，在 x 1与 x 处都取得极值.
3
（1）求实数 a，b的值；
（2）若对任意 x [ 1， 2]，都有 f (x) c2成立，求实数 c的取值范围.
1 5 1 5
【答案】（1） a 1，b 1；（2） ( ， ) ( ， ) .
2 2
【解析】（1） f (x) ax3 bx2 x c ， f (x) 3ax 2 2bx 1，
f (x)在 x 1 1与 x 处都取得极值，
3
1 1 2b
1
x 1与 x 是 f (x) 3ax2 2bx 1 0 3 3a的两根，即 ，3 1 ( 1 1 )
3 3a
解得 a 1，b 1.
（2）由（1）知， f (x) x3 x2 x c ， f (x) 3x 2 2x 1 (3x 1)(x 1) ，
f (x) 0 x 1 1令 ，则 或 ，
3
f (x)和 f (x)随 x在 [ 1， 2]上的变化情况如下表所示：
x [ 1 1 1 ， ) [ 1， ，1) 1 (1， 2]
3 3 3
f (x) 0 0
f (x) 极小值 极大值
f ( 1) 1 c，极大值为 f （1） 1 c，
f (x)在 x [ 1， 2]上的最大值为1 c，
对任意 x [ 1， 2]，都有 f (x) c2成立，
1 5 1 5
1 c c2，解得 c 或 c .
2 2
c ( 1 5故实数 的取值范围为 ， ) 1 5 ( ， ) .
2 2
18．（2020·民勤县第一中学高二期末（文））已知函数 f (x) ln x x 2 ax .
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程；
（2）若 f (x) 0恒成立，求 a的取值范围.
【答案】 (Ⅰ )y 2x； (Ⅱ )a 1 .
【解析】 1 a 1 2 1时，函数 f x lnx x x，可得 f ' x 2x 1，所以 f ' 1 2， x 1时，
x
f 1 2．
曲线 y f x 则 x 1处的切线方程； y 2 2 x 1
即： y 2x；
2 由条件可得 lnx x2 ax 0(x 0)，
x 0 a lnx则当 时， x恒成立，
x
h x lnx
2
x(x 0) h ' x 1 x lnx令 ，则 ，x x2
令 k x 1 x2 lnx(x 0)，
则当 x 0时， k ' x 2x 1 0，所以 k x 在 0, 上为减函数．
x
又 k ' 1 0，
所以在 0,1 上， h ' x 0；在 1, 上， h ' x 0．
所以 h x 在 0,1 上为增函数；在 1, 上为减函数．
所以 h(x)max h 1 1，所以 a 1．
19．（2020·江西高二期末（理））设函数 f x ln x x2 3x .
（1）求函数 f x 的极大值点；
2 2
（2）若关于 x的方程 f x x m 3 x在区间 1,e 上有两个不同的实数解，求实数 m的取值范围.
1 2 1
【答案】（1） ；（2） , .
2 e2 e
2
1 2x 3x 1 2x 1 x 1 【解析】（1） f x 2x 3 ， x 0
x x x
所以 f x 1 1 在 0, ， 1, 上单调递增，在 ,1 上单调递减，
2
2
故 f x x 1在 处取得极大值，函数 f x 1的极大值点为 .
2 2
2
（2） f x x m 3 x，可化为 ln x mx，
即m ln x 在区间 1,e
2
上有两个不同的实数根，x
g x ln x 1 ln x令 ， g x ，
x x2
则 g x 在 1,e 上 g x 0 2，函数单调递增，在 e,e 上 g x 0，函数单调递减，
g x g e 1所以 ，又 gmax 1 0
2
， g e
e
2
2 ，e
2 1
故原方程有两个不同实数解时的m的取值范围为 , . e2 e
20．（2020·北京高二期末）已知函数 f x a x ln x x 1，其中 a R .曲线 y f x 在点 e, f e
处的切线斜率为 1.
（Ⅰ）求 a的值；
（Ⅱ）求证： f x 0 .
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.
a
【解析】（Ⅰ） f (x) ln x，
x
由题意可知， f (e) a 1 1，
e
故a 0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 f x x ln x x 1, f x ln x，
易得，当 x 1时， f′ x 0，函数单调递减，当0 x 1时， f′ x 0，函数单调递增，
故当 x 1时，函数取得极大值也是最大值 f 1 0，
故 f x 0 .
21．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数 f x ex ax（a为常数）.
（1）当 a 0时，求 f x 过原点的切线方程；
（2）讨论 f x 的单调区间和极值；
（3）若 x 0,1 ， f x 0恒成立，求 a的取值范围.
【答案】（1） y ex；（2）答案见解析；（3）a e .
【解析】（1）当 a 0时， f x ex，
则 f x ex，
x
设切点坐标为 x ,e 00 ，
x0
∴ f x0 ex
e
0 ，解得 x0 1，x0
∴ f 1 e，
∴ f x 过原点的切线方程 y ex；
（2） f x ex ax，
∴ f x ex a，
当 a 0时， f x 0恒成立，函数 f x 在 , 上单调递增，无极值；
当a 0时，令 f x 0，解得 x ln a，
当 x ln a时， f x 0，函数 f x 在 , ln a 上单调递减，
当 x ln a时， f x 0，函数 f x 在 ln a, 上单调递增，
f x f lna e ln a∴ a lna a a lna ，无极大值；
极小值
（3） x 0,1 ， f x 0恒成立，即 ex ax 0在 x 0,1 上恒成立，
当 x 0时，1 0恒成立，
x
当 x 0 e时， a ，
x
x
设 g x e ， x 0,1 ，
x
x
e x 1g x ∴ 0恒成立，
x2
∴ g x 在 0,1 上单调递减，
∴ g x min g 1 e，
∴a e，
综上所述 a e .
2
22．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数 f (x) a ln x 2 (a 0) .
x
（1）若曲线 y f (x)在点 P(1, f (1))处的切线与直线 y x 2垂直，求函数 y f (x)的单调区间；
（2）若对 x (0, )都有 f (x) 2(a 1)成立，试求实数 a的取值范围；
2
【答案】（1）的单调增区间是 (2, )，单调减区间是 (0,2) ;（2）0 a .
e
【解析】（1）直线 y x 2 2 a的斜率 1.函数 f x 的定义域为 0, ， f ' x
x2
，
x
2 a 2 x 2
所以 f ' 1 2 1，解得 a 1 .所以 f x lnx 2， f ' x .1 1 x x2
由 f ' x 0解得 x 2；由 f ' x 0解得0 x 2，
所以 f x 的单调增区间是 2, ，单调减区间是 0,2 .
f ' x 2 a ax 2 f ' x 0 x 2 f ' x 0 0 x 2（2） 2 2 ，由 解得 ；由 解得 .x x x a a
所以 f x 2 2 在区间 , 上单调递增，在区间a 0， 上单调递减， a
x 2
2
所以当
时，函数 f x 取得最小值， ymin fa a ，
因为对于 x 0, 都有 f x 2 a 1 2 成立，所以只须 f 2 a 1 即可，
a
aln 2 2即 a，解得0 a .
a e
