1.4.1 充分条件与必要条件 教案—2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.2．1 充分条件与必要条件
教学目标
1.知识与技能：
初步理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；基本掌握判断命题的充分条件、必要条件、充要条件的方法和步骤。
2.过程与方法：通过具体的教学实例，让学生经历对概念的感知、形成、理解、深化及应用的过程，加深对概念的理解。
3.情感、态度与价值观：
通过“pq”与“qp”的判断，感受现实生活中对立，统一的思想，培养学生的辩证唯物主义观； 通过例题、习题的训练，培养学生严谨的思维，使他们形成良好的思维习惯。
教学重点与难点
教学重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．
教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
教学重难点突破策略：
1．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味。为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主体，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。
2. 通过较为简单易懂的例题、练习，积累足够的充分条件、必要条件的逻辑体验，循序渐进，再从充分条件与集合的联系上，结合韦恩图表示，直观形象的理解“必要条件”。
教学方法 合作交流、启发引导式教学
教学过程：
一、复习回顾
四种命题的形式与关系
二、创设情境，新课引入
［提出问题］
1. 写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假．
原命题：若x＞0，则x2＞0．真命题．
逆命题：若x2＞0，则x＞0．假命题．
否命题：若x≤0，则x2≤0．假命题．
逆否命题：若x2≤0，则x≤0．真命题．
2. “若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．
“若p则q”为真，即如果p成立，那么q一定成立，记作pq或qp．
“若p则q”为假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，记作pq．
［进一步的问题］
“若x＞0，则x2＞0”，为真，可记作“pq”．
（1）x＞0是x2＞0的什么条件？
（2）x2＞0是x＞0的什么条件？
三、师生互动，形成概念
1. 学生分析讨论，教师点拨
（1）x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么条件？
在这个问题中，“x＞0”是“条件”，“x2＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“条件”成立，则“结论”一定成立，说明“条件”蕴涵“结论”，说明“条件”是“结论”的充分条件．
（2）x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么条件？
在这个问题中，“x2＞0”是“条件”，“x＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“结论”成立，则“条件”一定成立，说明“结论”蕴涵“条件”，即若“条件”成立，则“结论”不一定成立，说明“结论”是“条件”的必要条件．
2. 师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；
3. 充要条件
问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件？
解：（1）pq，即p是q的充分条件．
（2）qp，即p是q的必要条件．
综合（1）（2），我们就说p是q的充要条件．
如果pq，且qp，记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
4. 提出问题，组织学生讨论
如何判断充要条件？
（1）分清谁是条件p，谁是结论q．
（2）进行两次推理或判断，即判断pq是否成立，qp是否成立．
（3）根据（2）写出结论．
四、应用举例，巩固新知
1. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x＞0；q：x2＞0．
（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）
（2）p：x＝y；q：x2＝y2．
（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）
（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．
（p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件）
（4）p：两直线平行；q：内错角相等．
（p是q的充要条件，q是p的充要条件）
（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1．
（p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件）
2. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．
（2）p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．
（3）p：a≠0；q：a·b≠0．
（4）p：a＋5是无理数；q：a是无理数．
（5）p：x≤5；q：x≤3．
五、变式练习，深化概念
1. 下列各组命题中的p是q的什么条件？
（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．
（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有实数根．
（3）p：a＞b；q：a2＞b2．
（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝
（5）p：x＞-1；q：x＞1．
（6）p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．
2.（1）如果原命题若p则q为真而逆命题为假，那么p是q的条件．
（2）如果原命题若p则q为假而逆命题为真，那么p是q的条件．
（3）如果原命题若p则q与其逆命题都为真，那么p是q的条件．
（4）如果原命题若p则q与其逆命题都为假，那么p是q的条件．
六、拓展延伸
1. 已知p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么，
（1）S是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
2. “关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的充要条件是什么？
七、课堂小结，形成知识体系（组织学生画出思维导图，教师点拨）
1．充分条件与必要条件的判断方法：
（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）
（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。
2．用集合的思想理解充分与必要条件
给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件q},B={x|x满足条件p}
①AB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；
②B=A, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；
3．分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定
命题：若p，则q
(1)若pq，且q p.则P是q的充分不必要条件
(2)若p q，且qp.则p是q的必要不充分条件
(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件
(4)若p q，且q p.则p是q的既不充分与不必要条件
八、布置作业：
1.利用定义填空：
(1)x>-1___x>1;
(2) ___x= ;
(3)两个角是对顶角________两个角相等;
(4)a=b____a+c=b+c.
2. 从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空：
(1) “两三角形全等” 是“两三角形相似”的 ；
(2)“a=b”是 “ac=bc”的 ;
(3)“a≠0”是 “ab ≠ 0”的 ；
(4)“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的 .
3.判断下列命题的真假：
(1) “a>b” 是 “”的充分条件；
(2) “a>b” 是 “”的必要条件；
(3) “a>b” 是 “”的充分条件；
(4) “a>b” 是 “a+c>b+c”的充要条件；
(5)关于x的方程一个根为1的充分且必要条件是
九、板书设计：
为及时体现教材中的知识点和要点，便于学生理解掌握，板书设计如下：
B
A
A，B
1.2.1充分条件与必要条件
1、复习回顾 例1； 4、成果展示
2、简化定义 例2.
3、判别技巧
PAGE
6