选择性必修第一册1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）
A． B． C．5 D．7
2．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
3．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱锥，侧棱长是底面边长的2倍，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
7．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．若平面α，β的法向量分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．α，β相交但不垂直
C． D．或α，β重合
二、填空题
13．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为______．
14．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.
15．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且平面ABCD，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________
16．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______．
17．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是___________________．
三、解答题
18．在三棱锥中，，，.
（1）求证：；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图1，菱形中，动点，在边，上(不含端点)，且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示.
（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，，求；
（2）试讨论，当点的位置变化时，二面角是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由.
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（1）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
21．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
求出，，利用与数量积为0，求解即可.
【详解】
，
可得，，
故选：D
2．C
以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，，利用向量法即可求出.
【详解】
如图所示：以为坐标原点，以，，为单位向量建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
故，，
故，
由异面直线夹角的范围是，故直线与所成角的大小为.
故选：C.
3．B
取的中点，连接，根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标以及和的坐标，由空间向量夹角公式计算即可求解.
【详解】
取的中点，连接，因为，所以
又因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又因为，，可得两两垂直，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是等腰直角三角形，，为等边三角形，
可得，，，，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角为，则
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B.
4．C
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．
【详解】
解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，所以
，，， ，， ．
．
与所成角的余弦值为．
故选：．
5．D
由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长．
【详解】
因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，
所以，，
又
所以
.
所以的长为.
故选：D.
本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
6．D
先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.
【详解】
因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由 ∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
故选:D.
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
7．D
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．B
设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案.
【详解】
设平面的法向量为，
则有取，则.
所以．因为，
所以平面的一个单位法向量可以是.
故选：B
本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量的表示形式,是中档题.
9．A
取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
10．A
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离.
【详解】
以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.
本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.
11．B
取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】
如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
12．D
根据题意，结合面面位置关系的向量证明，即可求解.
【详解】
根据题意，易知，故平面α，β的法向量共线，因此或α，β重合．
故选：D.
13．##
直接利用向量的夹角公式求解即可
【详解】
设直线l与平面α所成的角为，则由题意得
，
因为，
所以，
所以直线l与平面α所成的角为，
故答案为：
14．（答案不唯一）
易知，，从而可得，结合，，从而解得
【详解】
是正方形，且，
，
，
，，
，
，
，，
，
故，
故，
∵向量是平面OCB1的法向量，
，
，
故，，取，故，
平面的法向量
故答案为：（答案不唯一）
本题考查平面的法向量，建系求解即可，主要考查学生的运算能力，属于基础题.
15．
分析空间几何体的特征，建立合适的空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦值，再求正切值﹒
【详解】
如图所示，连接BD，，连接OF，
以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
设，则．
所以，，，．
结合图形可知，，且为平面BOF的法向量，
由，，
可求得平面BCF的一个法向量为．
所以，，
所以．
故答案为：
16．-2
由已知可得，即，计算即可得出结果.
【详解】
因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，
所以，解得.
故答案为：-2.
17．或
由空间向量数量积的坐标表示可得，再由线面位置关系即可求解.
【详解】
因为直线的方向向量为，平面的法向量，
所以，所以，
所以或，
故答案为：或.
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）取中点，连接，，证明平面即可；
（2）首先证明平面，然后以射线，，为，，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.
【详解】
（1）取中点，连接，，因为，，
所以，，又因为，所以平面，
即.
（2）由（1）得，平面，又因为平面，
所以平面平面，
易得，，所以，即，
又因为平面平面，所以平面，
如图所示，以射线，，为，，正半轴建系，
，，，，，
，，，
设为平面一个法向量，则有，取，
设为直线与平面所成角，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．（1）；（2）;
根据题目信息建立空间直角坐标系，
（1）将直线的方向向量表示出来，根据数量积等于0求解题目中的取值，进而可以求得，最后获得体积之比；
（2）分别将两个平面的法向量求解出来，根据面面角的公式求解平面角的余弦值，最后根据角是钝角得出结果即可.
【详解】
(1)取的中点为，
因为即，所以,
所以,又因为平面平面，
平面平面，
所以平面，
连接,由题意可知,
以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，,,，
所以，，
因为，所以，
解得：或者（舍）；
因为三棱锥和四棱锥的体积分别为，，
所以.
(2) 二面角是定值,证明如下：
由（1）知，面的法向量，
由，，
设面的法向量为 ，
所以，
取，则，，即，
设二面角的平面角为，
所以，
由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
20．（1）证明见解析；（2）；（3）2．
（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明PB∥平面ACM．
（2）求出平面CDP的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣P的正弦值．
（3）求出平面CDP的法向量，由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法能求出MD的长．
【详解】
（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，
PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，
AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），M（0，，），
＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），
设平面ACM的法向量，
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
∵4﹣4＝0，PB 平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），
设平面CDP的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（1，1，1），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝，
∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．
（3）设，（0≤λ≤1），
则，
∴，
，平面CDP的法向量，
∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
∴| |＝＝＝，
解得λ＝，
∴．
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.
【详解】
（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
.
，
，所以,
由于，所以平面.
（2），
，
设平面的法向量为，则
，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，则
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页