选择性必修第一册3.3抛物线 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习
一、单选题
1．已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，点P在曲线上运动，点Q在曲线上运动，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
3．已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点是F，点P的坐标为．若，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．4或一4 D．3或
6．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
7．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于
A． B． C． D．3
8．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
9．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若则k的值是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点到直线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
11．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
13．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
14．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（ ）
A． B．4 C． D．3
15．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______.
17．已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是__________．
18．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在x轴负半轴且，B是抛物线上的一点，BC垂直l于点C，且，AB分别交l，CF于点D，E，则______．
三、解答题
19．焦点为的抛物线上点到原点的距离等于它到抛物线的准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上、两点，以为直径的圆经过焦点，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程．
20．己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
21．已知动点到点与到直线的距离相等.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设在曲线上，过作两条互相垂直的直线分别交曲线异于的两点，，且，记直线的斜率为.
（i）试用的代数式表示；
（ii）求面积的最小值.
22．如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
令抛物线焦点为F，利用抛物线定义可得，再求点F到直线的距离即可.
【详解】
令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图，
因是抛物线的准线，点是抛物线上的动点，且于，于是得，
点到直线：的距离，
又于，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，
所以的最小值为.
故选：B
2．B
设圆心为F，可知F为抛物线的焦点，并且最小时，经过圆心F，设，则，，可得，换元后利用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：设圆心为F，则F为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义：，要使最小，则需最大，
如图
最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，
∴，且.
∴，
令，则，
∴，当时取“=”，此时.
∴的最小值为4.
故选：B.
本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题.
3．D
由题可设直线的方程为，设，利用韦达定理可得，再结合抛物线的定义可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
由抛物线：可知焦点为，
设直线的方程为，
由，得，
设，则，
由抛物线的定义可知
∴，
∴，
当且仅当时取等号.
故选：D
4．D
分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】
如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
5．D
求出抛物线的焦点，利用距离公式可得答案
【详解】
由题意知，则，所以．
故选：D．
6．D
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【详解】
依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．
则F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=．
故答案为：
本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.
7．C
根据抛物线几何性质及三角函数关系，结合等腰三角形性质即可求得.
【详解】
根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示：
抛物线焦点为F，则，准线方程为，
直线的倾斜角等于，即，
而，所以，
由抛物线定义可知，
因而，
作于，则，，
所以，
所以在中，，
故选：C.
本题考查了抛物线标准方程及几何性质的简单应用，属于基础题.
8．C
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
9．C
画出图象，结合抛物线的定义求得的值.
【详解】
直线过，也即直线过抛物线的焦点，
画出图象如下图所示，
过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作，交于.
依题意，设，
则，，
所以直线的斜率.
故选：C
10．D
由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
故选:D.
11．C
由抛物线的定义转化即可求值.
【详解】
因为抛物线，
所以
因为点在抛物线上，
故
故选：C
12．C
首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.
【详解】
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点，
由得 ，
即……①，
又因为,
所以,
所以，
所以……②，
由①②可解得，
在中，，
，
所以，
所以,
解得或（舍去），
故选：C
本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.
13．C
方法一（几何法）：根据抛物线的概念，结合直角三角形相关知识和已知条件即可求解；方法二（代数法）：设直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的概念和已知条件即可求解.
【详解】
方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
14．B
设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.
【详解】
依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
15．D
如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【详解】
解：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
16．4
设，，设过点作斜率为的直线方程为：，与抛物线联立，由韦达定理可得，设，，则，，设，所在直线方程可得，，由此可得的值.
【详解】
设过点作斜率为的直线方程为：，
联立方程，消去可得：，
设，，∴，
设，，
则，同理，
设所在的直线方程为，
联立方程，消去得：，
∴，同理可得，
则.
故答案为：4.
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
17．
先求得椭圆的左焦点，然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可.
【详解】
椭圆中，．
于是抛物线的焦点是，故其准线方程是．
故答案为：.
18．
根据抛物线的对称性，设点B在第一象限，如图，写出点A、B、C的坐标，进而求出直线AB、CF的斜率，可得，进而得到，结合即可得出结果.
【详解】
根据抛物线的对称性，不妨设点B在第一象限，如图所示：
∵点A在x轴负半轴且，B是抛物线上的一点，
BC垂直l于点C，且
∴，，，
∴，，
∴，，，即．
∵准线l为线段AF的垂直平分线，∴，
则，所以.
故答案为：．
19．(1)
(2)或
（1）根据已知条件可得，，即为等腰三角形，再结合点在抛物线上，即可求解．
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，再结合韦达定理，以及向量的数量积公式与三角形面积，即可求解．
(1)
由抛物线的定义可知，，即为等腰三角形，
点在抛物线上，
，即，
为等腰三角形，
点的横坐标为中点横坐标，
，
，
，
．
(2)
设直线的方程为，，，
联立直线与抛物线方程，
化简整理可得，，
，解得，
由韦达定理可得，，，，
以为直径的圆经过焦点，
，即，
，，
，整理可得，，
可得，
的面积为，
，
解得或，
当，解得，
当，该方程组无解，
综上所述，直线的方程为或．
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
20．(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.
(1)根据给定条件求出p值即可求解；
(2)设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.
【详解】
(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
21．(1)
(2)（i）（ii）16
（1）根据距离公式得出点的轨迹的方程；
（2）（i）设出直线的方程，与联立，利用弦长公式得出，由得出；（ii）由结合三角形面积公式得出面积的最小值.
(1)
由题设可得，即动点的轨迹方程为.
(2)
由（1），可设直线的方程为：，
，
设易知，为该方程的两个根，故有得，
从而得，
类似地，可设直线的方程为：，
从而得，
由，得，
解得（i）.
（ii）∵.
∴，
∴.
即的最小值为16.
22．（1）2，；（2），.
(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.
【详解】
(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立.
此时，，则点G的坐标为.
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页