选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 955.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-18 17:33:51 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，分别是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（ ）
A． B．4 C． D．3
5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3或7 B．6或14 C．3 D．7
9．已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
10．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.
14．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，曲线Q与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为____．
15．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
16．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．
三、解答题
17．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．
18．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交抛物线于,两点，过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，求的最小值.
19．已知 分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，(其中为坐标原点)，与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为 ，若与两直线间的距离为，求直线的方程.
20．已知点在双曲线上．
（1）求正数的值；
（2）求双曲线C上的动点P到定点的距离的最小值．
21．已知椭圆：与圆：外切，又与圆：外切.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知A，是椭圆上关于原点对称的两点，A在轴的上方，，连接，并分别延长交椭圆于，两点，证明：直线过定点.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【详解】
解：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
2．A
把抛物线方程化为标准方程后可得参数准线方程．
【详解】
由已知抛物线的标准方程是，，，
所以准线方程是．
故选：A．
3．D
根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.
【详解】
由为的边的中线，可得，
由在椭圆上存在点满足，可得.
当椭圆的焦点在横轴上时，
，可得，即，
则，所以.
当椭圆的焦点在纵轴上时，
，可得，即，
则，所以.
故选：D
关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.
4．B
设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.
【详解】
依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
5．A
根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
6．B
令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】
如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
7．C
设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.
【详解】
不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.
则，
因为点在双曲线上，所以，则，
又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，
所以，
解得.
故选：C.
关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
8．A
由为的中点，且为的中点，可得是的中位线，即，利用双曲线的定义求出，可得答案．
【详解】
设双曲线的右焦点为，则是的中位线，
，
或6，或3.
故选：A
本题考查双曲线的定义的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
9．D
根据条件作出图示，根据抛物线的定义将转化为到准线的距离，然后根据三点共线求解出的最小值.
【详解】
根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，
所以，
所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，
所以，且，，
所以，
故答案为：D.
思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：
（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；
（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.
10．A
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
11．C
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
12．D
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
13．
利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】
解：设，，，，
则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
14．1+
由题意可得c＝，由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），则由四边形ABCD的面积为2p2，可得2mn＝p2，又因为2mn＝p2，从而可解得m＝c，n＝2c，再代入双曲线方程化简可得e4﹣6e2+1＝0，从而可求出离心率
【详解】
曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，可设c＝，①，
由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），
四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2，②
且n2＝2pm，③，
由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得﹣＝1，
由e＝及b2＝c2﹣a2，可得e2﹣＝1，化为e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3+2，可得e＝1+．
故答案为：1+．
关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），从而结题意可得c＝，2mn＝p2，n2＝2pm，解出m＝c，n＝2c，代入双曲线方程中化简可求得离心率，考查计算能力，属于中档题
15．
由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】
由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
16．
由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为，不妨设点，其中，
代入椭圆方程，可得，解得，
所以，即，
过作，因为原点到直线的距离为，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因为，解得，即椭圆的离心率为.
故答案为：.
17．（1）1或0；（2）.
（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可求解；
（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据及韦达定理即可求解；
【详解】
解：（1）依题意消去得，即，
①当时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，，解得；
综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；
（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，
由，消去得，所以，，
所以，
所以.
18．（1）；（2）16.
（1）直接由抛物线定义计算p，求出抛物线的方程；
（2）用“设而不求法”把表示出来，利用基本不等式求最值.
【详解】
（1）由抛物线定义知，，解得，
抛物线方程为.
（2），的斜率为，的斜率为，
设，，，，
，得，
即恒成立，
由韦达定理：，
.
同理可得：
，
当且仅当，即时“＝”成立.
的最小值为16.
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
19．（1）；（2）.
（1）由条件可得、，解出即可；
（2）设直线，，，联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理可得、，然后由可求出，直线 的方程分别为 ，与椭圆的方程联立消元，然后利用可得，然后利用与两直线间的距离可求出.
【详解】
（1）由题意可得，即，
而由椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为
可得，即，
，
解得，，
椭圆的方程.
（2）由点可设直线，且，，
联立直线和椭圆方程组，得，
整理得：，
则，
又
于是有，
解得，
所以点.
设直线 的方程分别为 ，与椭圆联立
可得，
于是，
解得，
而直线 间的距离为，
解得，
故直线的方程为
方法点睛：主观题中考查圆锥曲线题型主要是直线与圆锥曲线位置关系问题，其特点是运算量大，且逻辑思维要求高，但并不是没有规律可循，解题的入手点应当是把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去(或)，获取(或)的一元二次方程，然后通过韦达定理建立方程求解.
20．（1）；（2）．
（1）把点代入双曲线的方程，直接求出的值；（2）设点，由两点的距离公式表示出，然后化简得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.
【详解】
（1）由题意，将点代入双曲线方程得，，又，所以；
（2）由（1）知，，设点，则，且或，
则，
所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）根据椭圆：与圆：外切，又与圆：外切可求得a、b，即可得解；
（2）分当轴时和当不与轴垂直时两种情况讨论，当不与轴垂直时，设，，，可推出当时，当时，直线过同一点，当且时，直线的方程为，求得E点的坐标，证明，，三点共线，即可证明结论成立.
【详解】
（1）解：因为圆与轴的交点为，，圆与轴的交点为，，
所以由题意可得，，
故椭圆的方程是.
（2）证明：当轴时，则轴，直线的方程是，
由，解得，直线过点.
当不与轴垂直时，设，，.
①当时，解得，，则，所以直线过点；
同理，当时，直线也过点.
②当且时，直线的方程为，
由，得，
又，则，
得，，即，
同理可得，
则，，
所以，，三点共线，即直线过点.
综上，直线过定点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，分别是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（ ）
A． B．4 C． D．3
5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3或7 B．6或14 C．3 D．7
9．已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
10．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.
14．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，曲线Q与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为____．
15．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
16．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．
三、解答题
17．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．
18．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交抛物线于,两点，过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，求的最小值.
19．已知 分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，(其中为坐标原点)，与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为 ，若与两直线间的距离为，求直线的方程.
20．已知点在双曲线上．
（1）求正数的值；
（2）求双曲线C上的动点P到定点的距离的最小值．
21．已知椭圆：与圆：外切，又与圆：外切.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知A，是椭圆上关于原点对称的两点，A在轴的上方，，连接，并分别延长交椭圆于，两点，证明：直线过定点.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【详解】
解：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
2．A
把抛物线方程化为标准方程后可得参数准线方程．
【详解】
由已知抛物线的标准方程是，，，
所以准线方程是．
故选：A．
3．D
根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.
【详解】
由为的边的中线，可得，
由在椭圆上存在点满足，可得.
当椭圆的焦点在横轴上时，
，可得，即，
则，所以.
当椭圆的焦点在纵轴上时，
，可得，即，
则，所以.
故选：D
关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.
4．B
设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.
【详解】
依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
5．A
根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
6．B
令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】
如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
7．C
设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.
【详解】
不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.
则，
因为点在双曲线上，所以，则，
又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，
所以，
解得.
故选：C.
关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
8．A
由为的中点，且为的中点，可得是的中位线，即，利用双曲线的定义求出，可得答案．
【详解】
设双曲线的右焦点为，则是的中位线，
，
或6，或3.
故选：A
本题考查双曲线的定义的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
9．D
根据条件作出图示，根据抛物线的定义将转化为到准线的距离，然后根据三点共线求解出的最小值.
【详解】
根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，
所以，
所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，
所以，且，，
所以，
故答案为：D.
思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：
（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；
（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.
10．A
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
11．C
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
12．D
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
13．
利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】
解：设，，，，
则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
14．1+
由题意可得c＝，由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），则由四边形ABCD的面积为2p2，可得2mn＝p2，又因为2mn＝p2，从而可解得m＝c，n＝2c，再代入双曲线方程化简可得e4﹣6e2+1＝0，从而可求出离心率
【详解】
曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，可设c＝，①，
由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），
四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2，②
且n2＝2pm，③，
由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得﹣＝1，
由e＝及b2＝c2﹣a2，可得e2﹣＝1，化为e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3+2，可得e＝1+．
故答案为：1+．
关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），从而结题意可得c＝，2mn＝p2，n2＝2pm，解出m＝c，n＝2c，代入双曲线方程中化简可求得离心率，考查计算能力，属于中档题
15．
由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】
由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
16．
由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为，不妨设点，其中，
代入椭圆方程，可得，解得，
所以，即，
过作，因为原点到直线的距离为，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因为，解得，即椭圆的离心率为.
故答案为：.
17．（1）1或0；（2）.
（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可求解；
（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据及韦达定理即可求解；
【详解】
解：（1）依题意消去得，即，
①当时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，，解得；
综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；
（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，
由，消去得，所以，，
所以，
所以.
18．（1）；（2）16.
（1）直接由抛物线定义计算p，求出抛物线的方程；
（2）用“设而不求法”把表示出来，利用基本不等式求最值.
【详解】
（1）由抛物线定义知，，解得，
抛物线方程为.
（2），的斜率为，的斜率为，
设，，，，
，得，
即恒成立，
由韦达定理：，
.
同理可得：
，
当且仅当，即时“＝”成立.
的最小值为16.
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
19．（1）；（2）.
（1）由条件可得、，解出即可；
（2）设直线，，，联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理可得、，然后由可求出，直线 的方程分别为 ，与椭圆的方程联立消元，然后利用可得，然后利用与两直线间的距离可求出.
【详解】
（1）由题意可得，即，
而由椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为
可得，即，
，
解得，，
椭圆的方程.
（2）由点可设直线，且，，
联立直线和椭圆方程组，得，
整理得：，
则，
又
于是有，
解得，
所以点.
设直线 的方程分别为 ，与椭圆联立
可得，
于是，
解得，
而直线 间的距离为，
解得，
故直线的方程为
方法点睛：主观题中考查圆锥曲线题型主要是直线与圆锥曲线位置关系问题，其特点是运算量大，且逻辑思维要求高，但并不是没有规律可循，解题的入手点应当是把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去(或)，获取(或)的一元二次方程，然后通过韦达定理建立方程求解.
20．（1）；（2）．
（1）把点代入双曲线的方程，直接求出的值；（2）设点，由两点的距离公式表示出，然后化简得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.
【详解】
（1）由题意，将点代入双曲线方程得，，又，所以；
（2）由（1）知，，设点，则，且或，
则，
所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）根据椭圆：与圆：外切，又与圆：外切可求得a、b，即可得解；
（2）分当轴时和当不与轴垂直时两种情况讨论，当不与轴垂直时，设，，，可推出当时，当时，直线过同一点，当且时，直线的方程为，求得E点的坐标，证明，，三点共线，即可证明结论成立.
【详解】
（1）解：因为圆与轴的交点为，，圆与轴的交点为，，
所以由题意可得，，
故椭圆的方程是.
（2）证明：当轴时，则轴，直线的方程是，
由，解得，直线过点.
当不与轴垂直时，设，，.
①当时，解得，，则，所以直线过点；
同理，当时，直线也过点.
②当且时，直线的方程为，
由，得，
又，则，
得，，即，
同理可得，
则，，
所以，，三点共线，即直线过点.
综上，直线过定点.
答案第1页，共2页
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