选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何
一、单选题
1．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
4．已知，，O为原点，则与的夹角是（ ）
A．0 B．π C． D．
5．已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．或4 B． C． D．
7．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（　　）
A． B． C．或 D．2
8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
9．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
11．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π
二、填空题
13．已知向量，，且，那么等于_________
14．如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________．
15．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则两直线所成角的余弦值为________．
16．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为________．
三、解答题
17．已知点，，．
（1）若D为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
18．如图，直三棱柱底面中，，，棱，是的中点.
（1）求，的值；
（2）求证：.
19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
【详解】
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．
2．D
利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】
如图，连接，
因为点，分别是，的中点，
所以.
因为点是的中点，
所以
.
因为点是的中点，
所以，
则.
故选：D.
3．C
根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
4．B
求出和，利用向量关系即可求出.
【详解】
因为，，则，，
则，
所以与的夹角是.
故选：B.
5．C
将正四面体放入正方体，建立空间直角坐标系，求得点满足的方程，判断出点的轨迹为圆，求得圆的半径，由此计算出圆的周长也即的轨迹长度.
【详解】
正四面体放入正方体，则正方体的棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，
，设，
，.
由于，，所以，
即，
即，
即，
表示球心为，半径为的球.
表示垂直于平面的一个平面.
所以的轨迹是上述平面截球面所得圆.
球心到平面的距离为，
所以截得的圆的半径，
所以截得的圆，也即点的轨迹的长度为.
故选：C
空间中求动点轨迹长度，可考虑采用坐标法求得动点轨迹方程，结合轨迹方程求得轨迹的长度.
6．D
先证明出，以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
如图,在三棱锥中, , ,∴.
∵PB⊥平面ABC,以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
可知,.因为，所以,所以PB=4,则P(0，0，4).设,且0<λ<1,则,可知，
所以,
，
因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为,
所以
解得：或（舍去）.
所以.
故选：D
7．A
由向量的数量积求得夹角的余弦值，可得参数值．
【详解】
解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
8．A
由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】
，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
9．C
将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
10．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
11．A
取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
12．A
建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.
【详解】
设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选：A
本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.
13．-4
根据向量平行，可求出,即可求解.
【详解】
,即 ，解得 ，.
本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题.
14．
建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.
【详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，，所以，，
因为，所以，
，
因为，所以令，代入上式得：
其中，
所以，
因此的最小值为，
故答案为：
方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.
15．
根据空间向量的夹角公式代入计算即可.
【详解】
，所以两直线所成角的余弦值为.
故答案为：
16． 310##-0.3
利用垂直关系可得关于的方程，从而可得λ的值.
【详解】
因为，故，
所以即，
故.
故答案为：.
17．（1）；（2）．
（1）根据题意，求得，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解；
（2）利用向量的数量积的公式，求得，得到，再结合空间向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，点，且点D为线段的中点，
可得，则，所以，
即线段的长为．
（2）由点，，则，
所以，解得，所以，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
本题主要考查了向量的坐标表示及运算，以及空间向量的数量积和夹角公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
18．（1）；（2）证明见解析.
（1）求向量的夹角问题，由，在坐标系中读出的坐标，根据坐标减法求出，，，并求出其模长，再次根据夹角公式可以求解.
（2）要证明，只需要证明，根据各个点坐标进行向量计算可证.
【详解】
（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，0，，，1，，，，，
，1，，，.
（2）证明：，0，，，1，，，0，，，
，1，，，，，
.
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；
（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.
【详解】
（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论
在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.
在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.
［方法二］：空间向量共线定理
以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．
设，则．
所以．故．所以，点在平面内．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以点在平面内．
［方法四］：
根据题意，如图3，设．
在平面内，因为，所以．
延长交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延长交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
连接，根据相似三角形知识可得．
在中，．
同理，在中，．
如图4，在中，．
所以，即G，，H三点共线．
因为平面，所以平面，得证．
［方法五］：
如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．
（2）［方法一］【最优解】：坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.
则、、、，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
［方法二］：定义法
在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．
在中，．
所以，则．
［方法三］：向量法
由题意得，
由于，所以．
如图7，在平面内作，垂足为G，
则与的夹角即为二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由题易得，．
所以．
．
．
设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得
，所以．
【整体点评】
（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．
（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】
（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】
（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
21．（1）；（2）.
（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解.
【详解】
解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页