高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
文档属性
| 名称 | 高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 149.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-23 20:25:12 | ||
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文档简介
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高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
1、 选择题（每题5分，共60分）
1.满足的函数是
A . f(x)＝1－x B. f(x)＝x C . f(x)＝0 D . f(x)＝1
2.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是
A . B. C. D.
3.若关于的函数的导数为,则的值为
A. B. C. 1 D . 3
4.设，则此函数在区间(0,1)内为
A．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定
5. 已知=·x，则=
A .+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1
6．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是
A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
7．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则
A f(x)=g(x) B f(x)－g(x)为常数函数
C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数
8.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
9．设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为 （ ）
10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
且，则不等式f(x)g(x)<0的解集是
A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)
C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3)
11.给出以下命题：
⑴若，则f(x)>0； ⑵;
⑶已知，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
12.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列
的前项和为,则的值为（ ）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.若有极大值和极小值，则的取值范围是__
14.函数 在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为_____
15.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为
16.已知为一次函数，且，则=______ .
三．解答题（共70分）
17. (本小题满分10分)
已知曲线 在点 P0 处的切线 平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限.
（1）求P0的坐标；
（2）若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
18．（本小题满分12分）
将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？
19.(本小题满分12分)
已知a为实数，
（1）求导数；
（2）若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是递增的，求a的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2若，证明：．
21. (本小题满分12分)
已知函数,函数
（1）当时,求函数的表达式;
（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
（3）在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
22．(本小题满分12分)
若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．
（1）求的极值；
（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
《导数及其应用》参考答案【理科】
1、 选择题 CDBCB BBADD BD
二.填空题
13. 或 14. 15. cm2 16.
三．解答题
17.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l的方程为即.
18．解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a－2x，
∴方盒的体积
∴函数V在点x＝处取得极大值，由于问题的最大值存在，
∴V()＝即为容积的最大值，此时小正方形的边长为．
19. 解：⑴由原式得∴
⑵由 得,此时有.
由得或x=-1 , 又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2.
所以的取值范围为[－2,2].
解法二:令即 由求根公式得:
所以在和上非负.
由题意可知,当或时, ≥0,
从而, ,
即 解不等式组得－2≤≤2.
∴的取值范围是.
20.解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－.
由<0及x>－1，得x>0．
∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0∴ ．
令，则＝．
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有．
21.解:⑴∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
⑶由解得
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
=
22.解(1) ，
．
当时，．
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．
(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．
由，可得当时恒成立．
，
由，得．
下面证明当时恒成立．
令，则
，
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
解法二： 由(1)可知当时， (当且仅当时取等号) ．
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和恒成立，
令，则且
，即．
后面解题步骤同解法一．
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
y
O
D
x
x
y
O
图1
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高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
1、 选择题（每题5分，共60分）
1.满足的函数是
A . f(x)＝1－x B. f(x)＝x C . f(x)＝0 D . f(x)＝1
2.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是
A . B. C. D.
3.若关于的函数的导数为,则的值为
A. B. C. 1 D . 3
4.设，则此函数在区间(0,1)内为
A．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定
5. 已知=·x，则=
A .+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1
6．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是
A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
7．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则
A f(x)=g(x) B f(x)－g(x)为常数函数
C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数
8.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
9．设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为 （ ）
10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
且，则不等式f(x)g(x)<0的解集是
A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)
C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3)
11.给出以下命题：
⑴若，则f(x)>0； ⑵;
⑶已知，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
12.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列
的前项和为,则的值为（ ）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.若有极大值和极小值，则的取值范围是__
14.函数 在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为_____
15.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为
16.已知为一次函数，且，则=______ .
三．解答题（共70分）
17. (本小题满分10分)
已知曲线 在点 P0 处的切线 平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限.
（1）求P0的坐标；
（2）若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
18．（本小题满分12分）
将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？
19.(本小题满分12分)
已知a为实数，
（1）求导数；
（2）若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是递增的，求a的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2若，证明：．
21. (本小题满分12分)
已知函数,函数
（1）当时,求函数的表达式;
（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
（3）在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
22．(本小题满分12分)
若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．
（1）求的极值；
（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
《导数及其应用》参考答案【理科】
1、 选择题 CDBCB BBADD BD
二.填空题
13. 或 14. 15. cm2 16.
三．解答题
17.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l的方程为即.
18．解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a－2x，
∴方盒的体积
∴函数V在点x＝处取得极大值，由于问题的最大值存在，
∴V()＝即为容积的最大值，此时小正方形的边长为．
19. 解：⑴由原式得∴
⑵由 得,此时有.
由得或x=-1 , 又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2.
所以的取值范围为[－2,2].
解法二:令即 由求根公式得:
所以在和上非负.
由题意可知,当或时, ≥0,
从而, ,
即 解不等式组得－2≤≤2.
∴的取值范围是.
20.解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－.
由<0及x>－1，得x>0．
∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0∴ ．
令，则＝．
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有．
21.解:⑴∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
⑶由解得
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
=
22.解(1) ，
．
当时，．
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．
(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．
由，可得当时恒成立．
，
由，得．
下面证明当时恒成立．
令，则
，
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
解法二： 由(1)可知当时， (当且仅当时取等号) ．
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和恒成立，
令，则且
，即．
后面解题步骤同解法一．
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
y
O
D
x
x
y
O
图1
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