必修第二册8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，则直线AC与平面DEF的位置关系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
2．过平面外的直线l作一组平面与相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（ ）
A．相交于同一点 B．相交但交于不同的点
C．平行 D．平行或相交于同一点
3．如图，三棱柱中，为中点，为上一点，为平面上一点，且平面则点的轨迹的长度为（ ）
A． B．
C． D．
4．若是直线外一点，过点且与平行的平面（ ）
A．存在无数个 B．不存在
C．存在但只有一个 D．只存在两个
5．下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
6．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（ ）
A．存在一条直线，//且
B．存在一条直线，//且
C．存在一个平面，且//
D．存在一个平面，//且//
7．给出以下四个命题，能判断平面α和平面β平行的条件是
A．α内有无数条直线都与β平行 B．α内的任一条直线都与β平行
C．直线，直线，且， D．直线，且
8．下列命题正确的是（ ）
A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
9．如图，在直四棱柱中，，，，，点，，分别在棱，，上，若，，，四点共面，则下列结论错误的是（ ）
A．任意点，都有
B．任意点，四边形不可能为平行四边形
C．存在点，使得为等腰直角三角形
D．存在点，使得平面
10．、、是直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．平行于内的无数条直线，则
B．不在面，则
C．若，，则
D．若，，则平行于内的无数条直线
11．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
12．如图，是正方体，为棱上的动点（不含端点），平面与底面的交线为，则与的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行 C．相交 D．与点位置有关
二、填空题
13．六棱柱的两底面为，，且，，，，，则与的位置关系是________．
14．如图，在正方体中，，，，分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足________时，有平面．
15．.如图，正方体的棱长为2， 是棱的中点， 是侧面内一点，若平面 ，则的长度的范围为__________.
16．已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F，G分别为PA，PD，CD的中点，则BC与平面EFG的位置关系为_____.
三、解答题
17．如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：平面ABC.
（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由.
18．如图所示，在直角梯形BCEF中，，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2AD＝2AF＝2，（如图1）将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）当EF⊥CF时，求异面直线BF与EC所成角的余弦值．
19．如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM//平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
21．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【详解】
因为AE︰EB＝CF︰FB，所以,因为,选A.
2．D
对于的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.
【详解】
当时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.
当时，所得交线交于同一点.
所以所得交线平行或相交于同一点.
故选：D
3．C
过B作交于F，过F作交于G，根据线面平行、面面平行的判定证明面面，由面面，即可知为的轨迹，进而求其长度.
【详解】
过B作交于F，过F作交于G，
∵，面，面，
∴面，面，而，
∴面面，而面面，
综上，知：平面，面上的轨迹为.
∵，
∴，则，又
∴，，易得，故.
故选：C
关键点点睛：应用线面平行、面面平行确定动点M在面上轨迹，并求轨迹长度.
4．A
根据线面平行的判定方法可直观想象得到结果.
【详解】
过点作直线的平行线，则经过且不经过的所有平面均与平行，故有无数个.
故选：A.
5．C
利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.
【详解】
A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，
可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；
B错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
则这两个平面可能平行或相交；
C正确，设////，
利用线面平行的性质定理，在平面中存在直线//，
在平面中存在直线//，所以可知//，
根据线面平行的判定定理，可得//，
然后根据线面平行的性质定理可知//，所以//；
D错，两个平面可能平行，也可能相交.
故选：C
本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.
6．C
根据线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
在选项A，B，D中，
均有可能在平面内，错误；
在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线
都平行于另一个平面，故C正确
故选：C
本题考查线面平行的判定，属基础题.
7．B
根据空间中平面与平面平行的判定方法，我们逐一分析题目中的四个结论，即可得到答案．
【详解】
A.平面内有无数条直线与平面平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A不满足条件；
B.平面内的任何一条直线都与平面平行，则能够保证平面内有两条相交的直线与平面平行，故B满足条件；
C. 直线，直线，且，，则两个平面可能平行也可能相交，故C不满足条件；
D. 直线，且，则两平面可能相交或平行，故D不满足条件
故选：B.
本题主要考查的知识点是空间中平面与平面平行的判定，熟练掌握面面平行的定义和判定方法是解答本题的关键．
8．B
根据面面平行的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，这两个平面可能相交，故A选项错误.
对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故B选项正确.
对于C选项，这两个平面可能相交，故C选项错误.
对于D选项，这两个平面可能相交，故D选项错误.
故选：B
9．C
根据线线，面面的性质判断A，B是否正确；使用假设法判断C，D是否正确.
【详解】
解：对于A：由直四棱柱，，
所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，故A正确；
对于B：若四边形为平行四边形，则，
而与不平行，即平面与平面不平行，
所以平面平面，平面平面，
直线与直线不平行，
与矛盾，
所以四边形不可能是平行四边形，故B正确；
对于C：假设存在点，使得为等腰直角三角形，令，
过点作，则，在线段上取一点使得，连接，则四边形为矩形，所以，
则，
，
显然，
若由，则且四边形为平行四边，
所以，无解，故C错误；
对于D：当时，为时，满足平面，故D正确.
故选：C.
10．D
利用线面平行的判定定理和性质定理逐个分析判断即可
【详解】
对于A，当平行于内的无数条直线，若，则与不平行，所以A错误，
对于B，当不在面时，与有可能相交，所以B错误，
对于C，当，时，若，则与不平行，所以C错误，
对于D，当，时，由线面平行的性质可知平行于内的无数条直线，所以D正确，
故选：D
11．B
利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论．
【详解】
∵平面平面，∴平面与平面没有公共点
∵，，∴直线，没有公共点
∴直线，的位置关系是平行或异面，
故选：B.
12．B
根据线面平行的性质定理和平行公理，判断出正确选项.
【详解】
由于平面，平面平面，根据线面平行的性质定理可知，由于，所以.
故选：B.
本小题主要考查线面平行的性质定理，考查平行公理，属于基础题.
13．平行.
利用面面平行的性质定理判断.
【详解】
因为，
所以确定平面ABCD，
又因为平面，平面，且，
所以．
故答案为：平行
14．
连接，，，可得平面平面，可知平面内任何一条直线都与平面平行，由面面平行的性质定理可得出结果.
【详解】
连接，，，
因为，，分别是棱、，的中点，
所以，，
因为平面，平面，所以面，
同理可得面，
因为， ，平面，
所以平面平面，
又因为点在四边形及其内部运动，平面，
故当时，平面．
故答案为：.
15．
分别取的中点M，N，再由E为AB的中点，易证平面平面，再根据是侧面内一点，且平面得到点F的轨迹为线段MN求解.
【详解】
如图所示：
分别取的中点M，N，连接EM，EN，MN，
因为E为AB的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又，
所以平面平面，
又是侧面内一点，且平面，
所以点F的轨迹为线段MN，
故EF的最小值为,最大值为，
所以的长度的范围为，
故答案为：
16．平行
由E，F是PA，PD的中点，根据三角形中位线定理可得,根据ABCD为平行四边形，可得，由平行公理可得，利用线面平行的判定定理可知BC与平面EFG的位置关系为平行.
【详解】
因为E，F是PA，PD的中点，所以，又因为ABCD为平行四边形，所以，因此，又因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.
本题考查了线面平行的判定定理，考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行公理.
17．（1）证明见详解；（2）P为线段CD中点，理由见详解．
（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，利用面面平行的判定定理证明即可．
【详解】
证明：由四边形ABED为正方形可知，
连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故，
面ABC，面ABC，
面ABC；
当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，
证明：由点分别为中点可得：
面ABC，面ABC，
面ABC，
由可知，面ACD，
且，
故平面平面ABC．
关键点点睛：本题关键在于掌握空间直线与平面的平行的判定和空间平面与平面的平行的判定．
18．（1）证明见解析；（2）
（1）取DE中点M，连接AM，证明EF∥AM，可得AM∥平面BEF.连接AC、BD，设，证得MN∥BE，可得MN∥平面BEF，由面面平行的判定可得平面AMN∥平面BEF，从而得到AC∥平面BEF；
（2）在平面ADEF中，证明EF⊥FD，结合EF⊥CF，可得EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，再由CD⊥AD，得到CD⊥平面ADEF，得到CD⊥DE，由已知求解CE、CM，证明BF∥CM，可得∠ECM为异面直线BF与EC所成角(或其补角),再由余弦定理求解.
【详解】
(1)证明:如图，
取DE中点M，连接AM，可得FA∥EM，FA=EM，则四边形AMEF为平行四边形，
得EF∥AM，EF平面BEF，AM平面BEF,所以AM∥平面BEF.
连接AC、BD，设AC∩BD=N，则N为BD的中点，连接MN，
则MN∥BE，BE平面BEF，MN平面BEF,∴MN∥平面BEF.
又AM∩MN=M，AM、MN平面AMN，所以平面AMN∥平面BEF,
而AC平面AMN，所以AC∥平面BEF.
（2）在平面ADEF中，由，DE=2，可得：，
即EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF=F，所以EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，
又CD⊥AD，AD与EF相交，∴CD⊥平面ADEF，则CD⊥DE.
在直角△CDE中，求得，在Rt△CDM中，求得，
∵FM∥BC，FM=BC，∴四边形BCMF为平行四边形，可得BF∥CM，
则∠ECM(或其补角)为异面直线BF与EC所成角.在△ECM中,由余弦定理可得：，
故异面直线BF与EC所成角的余弦值为.
19．存在，点M是线段AE的中点，证明见解析
如图，当点M是线段AE的中点时，PM//平面BCE. 证明PM//CN，即得证.
【详解】
存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，
PM//平面BCE.
证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN//AB且MN＝AB，
又PC//AB且PC＝AB，所以MN//PC且MN＝PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM//CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM//平面BCE.
方法点睛：空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法.
方法一（几何法）：线线平行线面平行面面平行，它体现的主要是一个转化的思想.
方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）利用线面平行的判定定理可证；
（2）利用等积法即求.
【详解】
（1）取中点，连接，，
∵是的中点，
∴，，
∵，，∴，
∵，
∴，，则，
又∵，
∴，可得，
∴，，
∴，，得四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面；
（2）取中点，连接，
∴，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，则为三棱锥的高，
又∵，
∴，得，
∴．
故三棱锥的体积为．
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】
（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.
[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：几何法+体积法
如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．
因为，
所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．
设正方体的棱长为2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，所以．
【整体点评】
（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
答案第1页，共2页
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