必修第二册10.2事件的相互独立性 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 10.2 事件的相互独立性 同步练习
一、单选题
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
3．将一枚均匀的骰子掷两次，记事作为“第一次出现奇数点”，为“第二次出现偶数点”，则有（ ）
A．与相互独立 B．
C．与互斥 D．
4．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“至少有一个黑球”与“都是黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
7．以下三个命题：
①对立事件也是互斥事件；
②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为，每个女生被抽到的概率为；
③若事件，，两两互斥，则.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，则事件A的对立事件是（ ）
A．{至多有2件正品} B．{至多有1件次品}
C．{至少有1件正品} D．{至少有2件次品}
10．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为；②目标恰好被命中两次的概率为；③目标被命中的概率为＋；④目标被命中的概率为1－，以上说法正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①③
11．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（ ）
A．A与B，A与均相互独立
B．A与B相互独立，A与互斥
C．A与B，A与均互斥
D．A与B互斥，A与相互独立
12．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
13．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%．则这种产品的一级品率为
A．18% B．19% C．20% D．21%
14．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
二、填空题
16．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1
该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________. (结果用小数表示)
17．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.
18．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是__________.
三、解答题
19．生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
20．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
21．在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率.
22．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第一车间和第二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据互斥事件以及对立事件的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑，
对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确；
对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确；
对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确；
对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确；
故选：D.
2．D
利用对立事件的定义判断可得出结论.
【详解】
对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；
对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.
故选：D.
3．A
根据相互独立事件的定义可判断A；根据互斥事件的概念、以及和事件的概率公式可判断B、C；由相互独立事件概率的乘法公式可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由题意知，事件的发生与否对事件没有影响，所以与相互独立，故选项A正确；
对于C：因为事件与可能同时发生，所以事件与不是互斥事件，故选项C不正确
对于B：因为与不是互斥事件，所以，故选项B不正确；
对于D：因为与相互独立事件，则，故选项D不正确；
故选：A.
4．D
由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.
【详解】
由已知得甲拿到该技能证书的概率为，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：，
所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是，
故选：D.
方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.
5．B
由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求.
【详解】
由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，
，
其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，
∴球回到A同学脚下的概率为.
故选：B.
6．A
根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.
【详解】
对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；
对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 能同时发生，故B中的两事件不互斥；
对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；
对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球” 互斥并且对立.
故选：A
7．B
由对立事件的定义可判断①；由分层抽样的定义可判断②；由互斥事件的概率理解可判断③.
【详解】
对于①，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故①正确；
对应②，可知该班有男生30人，女生20人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得出概率，故②错误；
对应③，事件，，不一定包含所有事件，故，故③错误.
故选：B.
本题考查考查对事件互斥、对立的理解，考查对分层抽样的理解，属于基础题.
8．D
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.
【详解】
因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和，
所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：
.
故选：D．
9．D
根据对立事件的定义，结合题意，即可写出事件的对立事件.
【详解】
因为抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，
故事件的对立事件是：{至少有2件次品}.
故选：.
10．C
根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】
对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为＋，所以①错误，
对于说法②，目标恰好被命中两次的概率为，故②正确
对于说法③，目标被命中的概率为＋＋，所以③错误，
对于说法④，目标被命中的概率为1－，故④正确.
故选：C.
11．A
结合独立事件和互斥事件直接判断即可.
【详解】
由于是有放回地摸球，事件A的发生并不影响事件B的发生，故A与B，A与均相互独立.
故选：A
12．D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
13．B
由题意可知，根据一级品率在合格品率所占的比例，计算即可.
【详解】
某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，
一级品率为：.
故选：B.
本题考查了概率的计算，属于基础题.
14．D
利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．
【详解】
解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，
故选：D.
15．C
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
16．0.84
先求出该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率，由对立事件的概率可得答案.
【详解】
该选手射击一次，命中的环数低于9环 的概率为
该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率为
所以他至少命中一次9环或10环的概率为
故答案为：0.84
17．
根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲前两局获胜的概率和前两局中一胜一负，第三局胜利的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】
因为甲在每局比赛中获胜的概率为，
若甲前两局获胜，其概率为；
若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为,
所以本次比赛中甲获胜的概率为.
故答案为：.
18．①②
由并事件与交事件的概念逐个分析判断即可
【详解】
事件A∪B:至少有一件次品，即事件C，
所以①正确;事件A∩B= ，③不正确;
事件D∪B:至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确;
事件A∩D:恰有一件次品，即事件A，所以④不正确.
故答案为：①②
19．(1)0.088;(2)0.086.
（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.
（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从甲 乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A B,则事件A,B相互独立,且,.
(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件概率进行计算，属于基础题.
20．（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率
【详解】
解：（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为
数据的极差为
估计这批鱼该项数据的百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则
记“两鱼最终均在水池”为事件，则
∵事件与事件互斥，
∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为
事件，依次类推；而两鱼的游动独立
∴
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥
∴
即
本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生
21．
由题意可知小明同学一次测试不合格包括三种情况：一是“立定投篮”两次都没中，二是“立定投篮”第一次没中第二次中，然后“三步上篮”两次都没中，三是“立定投篮”第一次中，然后“三步上篮”两次都没中，且三种情况是互斥的，求出一次测试不合格的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果
【详解】
设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi（i=1，2），依题意有P（Ai）=，P（Bi）=（i=1，2），“小明同学一次测试合格”为事件C，且每次投篮是否命中互不影响，则
,
所以
22．0.868
利用相互独立事件概率乘法公式能求出该产品合格的概率．
【详解】
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，
两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为，
今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，
则该产品合格的概率为．
该产品合格的概率为0.868．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页