人教A版(2019)必修第二册 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1.在中,角的对边为,若,则当取最大值时,的面积是( )
A. B. C. D.
2.已知向量,,若,则实数( )
A.2 B. C. D.
3.向量,满足,,,则在方向上的投影为( )
A.-1 B. C. D.1
4.定义.若向量,向量为单位向量,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若平面向量与的夹角为120°, , ,则( )
A. B. C.2 D.3
6.已知中,,那么满足条件的( )
A.有两个解 B.有一个解 C.无解 D.不确定
7.已知,为两个非零向量,,,且,则与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
8.在中,,的中点为,若长度为3的线段(在的左侧)在直线上移动,则的最小值为
A. B.
C. D.
9.若,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.在中,若,则的形状一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
11.已知菱形的对角线相交于点,点为的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
12.如图,中,角的平分线交边于点,,,,则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图,在三角形中,点在边上,且,点是边的中点,与交于点,若,则________
14.设向量,若,则______________.
15.设为单位向量,且,则______________.
16.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为,则该学生的体重为______(取重力加速度大小为).
三、解答题
17.已知向量与向量的夹角为,且,.
(1)求;
(2)若,求.
18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角,.
(1)求A;
(2)若,且边上的高为,求的面积.
19.在中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且,求t的值.
20.已知,.
(1)与夹角的余弦值;
(2)若与垂直,求k的值.
21.已知△ABC的外接圆半径为R,a、b、c分别是角A、B、C的对边,b=2且bsinB-asinA=2R(sinB-sinC)sinC.
(1)求角A;
(2)若AD是BC边上的中线AD= ,求△ABC的面积.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.B
由余弦定理可得:,再利用基本不等式的性质可得的最大值,再利用三角形面积计算公式即可得出.
【详解】
解:在中,由余弦定理可得:,当且仅当时取等号.
,
当取最大值时,的面积.
故选:B.
2.A
由题意求出的坐标,再分别计算出,,,再根据得到方程,解得.
【详解】
解析根据题意,向量,,则,
则,,.
若,则有,
解得.
故选:
本题考查平面向量模的计算,属于基础题.
3.B
根据题条件,先求出,再由向量数量积的几何意义,即可求出结果.
【详解】
因为向量,满足,,,
所以,即,则,
所以在方向上的投影为.
故选:B.
4.B
设,则,由即得解.
【详解】
由题意知,.
设,则.
又,∴,∴.
故选:B
5.B
直接化简,求出答案.
【详解】
化简,
或(舍去).
故选:B.
6.A
通过比较与的大小关系,简单判断可得结果.
【详解】
由题可知:∵,
∴.
∴A有两个解即满足条件的有两个解.
故选:A.
7.C
先根据向量垂直求出,再利用夹角公式求出余弦值,最后得出答案.
【详解】
,
与的夹角是120°.
故选:C.
8.B
先根据正弦定理求得,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,根据对称性和两点间的距离公式,求得所求的最小值.
【详解】
由正弦定理可得,,
以BC所在直线为轴,则,
则表示轴上的点P与A和的距离和,
利用对称性,关于轴的对称点为,
可得的最小值为=.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查距离和的最小值的求法,考查坐标法,属于中档题.
9.C
利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】
因为,所以,,即.
故选:C.
10.B
先利用数量积运算化简得到,再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为,所以,
所以,所以,
所以,所以三角形是直角三角形.
故选:B
11.B
根据题意,以对角线交点为坐标原点,对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】
解:如图,以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
由,,
所以,,,,
所以,
所以.
故选:B
本题考查向量的数量积运算,解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系,利用坐标法求解,考查运算求解能力,是中档题.
12.D
中由正弦定理求得后可得,从而得,角,得,用余弦定理可得.
【详解】
在中,根据正弦定理得,
由,
所以,
所以,
所以,则,
所以,
在中,由余弦定理得,
所以.
故选:D.
关键点点睛:本题主要考查正弦定理,余弦定理,特殊角的三角函数值等基础知识,解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算.如先在中选用正弦定理求得两边中另一边的对角,可得三角形的第三角,这样图形听所有角都已知,然后再求选用公式求边.本题也可以不用余弦定理求边.
13.
取中点,连接,点是边的中点,所以,所以是的中点,,根据向量数量积公式可得答案.
【详解】
取中点,连接,点是边的中点,所以,
因为是,所以是的中点,即,
且,,
由于
.
故答案为:.
求解数量积一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;二是利用一组基底表示所有向量,借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积,实现向量代数化. 易错提示:1.注意向量的方向性;2.注意三角形两边对应向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.
14.5
根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.
【详解】
由可得,
又因为,
所以,
即,
故答案为:5.
本题考查有关向量运算问题,涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示,属于基础题目.
15.
整理已知可得:,再利用为单位向量即可求得,对变形可得:,问题得解.
【详解】
因为为单位向量,所以
所以
解得:
所以
故答案为:
本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.
16.
根据平衡状态可知两只胳膊的拉力合力等于重力,再据此列等式,计算即可.
【详解】
设两只胳膊的拉力分别为、,由题意知,夹角,,
可得.
两边同时平方,得,
则N
.
所以,该学生的体重为.
故答案为:
17.(1);(2)或.
(1)本小题先求出,再求即可;
(2)本小题先求出,再求解.
【详解】
解:(1)∵,
∴,∴,
∴.
(2)∵,
∴,
整理得:,
解得:或.
本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数,是中档题.
18.(1);(2).
(1)先用余弦定理化余弦为边,再用正弦定理化边为角从而求得;
(2)由余弦定理用表示,然后把三角形的面积用两种方法表示求得,从而可计算出面积.
【详解】
(1)由得,
由余弦定理得,所以,
由正弦定理得,是三角形内角,,
所以,又A为锐角,所以.
(2)由(1),,
所以,即,,
,
.
思路点睛:本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键.三角形的面积采取了二次计算,通过不同的计算方法得出等式,从而求解.这是一种解题技巧.
19.
由,化简为,得到点P是AB的一个三等分点(靠近A点),再根据A,M,Q三点共线,设,然后用分别表示向量,再根据求解.
【详解】
如图所示:
因为,
所以,
所以,
即,
所以点P是AB的一个三等分点(靠近A点),
又因为A,M,Q三点共线,且Q为BC的中点,
设,
则,
,
因为,
所以,
则,解得,
所以t的值是.
20.(1);
(2)0.
(1)根据向量夹角的坐标公式,计算即可;
(2)求得与的坐标,利用向量垂直的坐标表达公式,求解即可.
(1)
因为,,故.
(2)
因为,,故,,
又向量与垂直,则,解得.
21.(1) ;(2)
(1)由正弦定理将bsinB -asinA=2R(sinB -sinC)sinC中的角化边,结合余弦定理即可求得角A的余弦值,进而得到A的大小;(2)由三角形加法法则有,结合已知条件求出c的长度,即可得△ABC的面积
【详解】
(1)由正弦定理知:
∵bsinB -asinA=2R(sinB -sinC)sinC
∴,即
又由余弦定理:
∴,则
(2)由(1)的结论,AD是BC边上的中线AD= 且b=2,如下图示
∴由向量加法法则知:,即,而,
∴,解得,而
∴
本题考查了正余弦定理的应用,将角化边并化简方程,结合余弦定理求角;由向量的几何应用求边长,进而求三角形面积
答案第1页,共2页
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