必修第二册第七章复数 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第七章 复数 同步练习
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设复数满足，（是虚数单位），则复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若复数是纯虚数,其中为实数,i为虚数单位,则的值为
A． B． C．7 D．或
5．设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
8．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
9．欧拉公式(为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
11．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
12．已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数+i是实数，则|z|的最小值为（ ）
A．0 B． C．5 D．
二、填空题
13．若复数，则实数的值为________.
14．已知复数（是虚数单位），则________．
15．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
16．设，，则的三角形式为___________.
三、解答题
17．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)零.
18．已知复数（为虚数单位）.
（1）若，求复数的共轭复数；
（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值.
19．（1）已知复数是纯虚数，求的模；
（2）已知，且，求的取值范围.
20．设复数，求函数的最大值以及对应的值．
21．设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据，将，转化为，结合复数的运算性质求解.
【详解】
，
，
，
，
且，
.
故选：.
2．C
求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果
【详解】
，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件
故选：C
3．C
根据复数表达式,先表示出.由复数的运算求解,再根据复数的几何意义求得点所在象限.
【详解】
复数满足
即
由复数的运算化简可得
在复平面内对应的点坐标为,所以位于第三象限
故选:C
本题考查了复数的除法运算,复数的几何意义,属于基础题.
4．A
根据纯虚数的定义，求出，进而求出，将展开，即可求解.
【详解】
由已知条件可得
且,,
,
.
故选:A.
本题考查纯虚数的定义，以及同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式，属于基础题.
5．C
利用复数的乘法法则化简复数，由此可得出结论.
【详解】
，因此，复数在复平面内的点位于第三象限.
故选：C.
6．A
根据复数除法的运算法则，求出复数，然后由虚部的定义即可求解.
【详解】
解：因为复数，
所以复数的虚部为，
故选：A.
7．D
先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】
因为，所以.
故选：D
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
8．A
先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.
【详解】
∵，
∴的虚部为，
故选：A.
9．A
根据欧拉公式求出，再由复数乘法运算即可求出.
【详解】
根据欧拉公式可得，
则.
故选：A.
10．B
利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.
【详解】
解析因为，
所以，.
故选：B
11．D
先利用复数的模长和除法运算化简得到，再根据虚部的定义，即得解
【详解】
由，
得，
∴的虚部为.
故选：D
12．D
利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.
【详解】
解：∵复数是实数
故
当且仅当时取等号
的最小值为
故选：D
13．3
由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解.
【详解】
因为复数不能比较大小，所以为实数，
可得解得
所以实数的值为，
故答案为：
14．
利用复数模的概念求解即可.
【详解】
由，
得；
故答案为：.
15．或
设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.
【详解】
解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，
设方程的两根分别为，，
则，得，，则，
则，
则或
当时，，
，
设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，
则，得，
则，
当时，，，
，
此时，即，即，
∴，
故答案为：或.
16．
先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可
【详解】
因为，
，
所以
，
故答案为：
17．（1）m＝－1或m＝4；（2）m≠－1且m≠4；（3）m＝－2；（4）m＝4.
（1）由虚部等于0求得的值；
（2）由虚部不为0求得值；
（3）由实部为0且虚部不为0求得值；
（4）由实部为0且虚部为0求得值．
【详解】
z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)化为
（1）由，得，或，
当，或时，是实数；
（2）由，得且，
当且时，为虚数；
（3）由，且，解得，
当时，为纯虚数；
（4）由，解得，
当时，为零．
18．（1）；（2）2．
【详解】
分析：（1）因为，所以，求出，即可得到的共轭复数；
（2）将代入方程，根据复数相等可求求实数的值.
详解：（1）因为，所以，
所以复数的共轭复数为.
（2）因为是关于的方程的一个虚根，
所以，即.
又因为是实数，所以.
点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（1）；（2）.
（1）根据是纯虚数，求出，求出代数式的值即可；
（2）设，则，，得到，求出的取值范围即可．
【详解】
解：（1），
若是纯虚数，则，解得：，
故，
故；
（2）由题意设，则，，
故，
时，取最小值，最小值是1，
时，取最大值，最大值是5，
故的取值范围是，．
20．当时，y取得最大值
根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】
由，可得，
因为，所以，于是，
当且仅当时取等号，则当时取等号，即当时取等号，因此有，因此函数的最大值为，此时.
21．(1)、或、
(2)存在，
（1）原方程可化为，再设（），代入前者化简后可求的值，从而可求、；
（2）由题设可有，根据其模为结合复数的运算性质可得，从而可求.
(1)
由可得：，代入已知方程得，
即，
令（），∴，即，
∴，解得或，
∴、或、；
(2)
由已知得，又，∴，
∴，
∴，
整理得即，
所以，故，∴，
即，∴存在常数，使得等式恒成立.
答案第1页，共2页
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