22.3.3 二次函数与拱桥类问题 教案
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22.3.3 二次函数与拱桥类问题 教案
课题 22.3.3 二次函数与拱桥类问题 单元 第22单元 学科 数学 年级 九年级（上）
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
重点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
难点 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 合作探究 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？问题3 如何确定a是多少？问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)．思考：你认为哪一种教简便？ 思考自议掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
讲授新课 提炼概念 解决抛物线型建筑问题“三步骤”：1.建：根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式；2.转：准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到 抛物线上点的坐标，3.求：代入解析式，求出二次函数解析式；3.用：应用所求解析式及性质解决问题.三、典例精讲 例 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近 ( http: / / www.21cnjy.com )似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.21cnjy.com(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长. ( http: / / www.21cnjy.com )解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a 4502+0.5.解得a＝.故所求表达式为y=x2+0.5（-450≤x≤450）.【出处：21教育名师】当x=450－100=350时，得y=×3502+0.5=49.5.当x=450－50=400时，得y=×4002+0.5=64.5.即距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
课堂检测 四、巩固训练1. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系 式为y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 mC2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位： s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是( )A．①④ B．①② C．②③④ D．②③D3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.4.如图，一名运动员在距离篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ ( http: / / www.21cnjy.com )解：如图②，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.当 x=－2.5时，y=2.25 .故该运动员出手时的高度为2.25m.2 ( http: / / www.21cnjy.com )5.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．21教育网（1）请写出该抛物线的函数关系式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？【来源：21·世纪·教育·网】（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？21*cnjy*com ( http: / / www.21cnjy.com ) 解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝x2+2x+c，得c=4.所以抛物线解析式为y＝x2+2x+4.21·cn·jy·com（2）抛物线解析式为y＝x2+2x+4=(x-6)2+10.所以对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过.（3）令y＝8，则(x-6)2+10=8,解得x1＝6+2,x2＝6-2,则x1﹣x2＝4.所以两排灯的水平距离最小是4 m.www-2-1-cnj
课堂小结 拱桥问题和运动中的抛物线问题转化的关键→建立恰当的直角坐标系→①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法.
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课题 22.3.3 二次函数与拱桥类问题 单元 第22单元 学科 数学 年级 九年级（上）
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
重点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
难点 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 合作探究 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？问题3 如何确定a是多少？问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)．思考：你认为哪一种教简便？ 思考自议掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
讲授新课 提炼概念 解决抛物线型建筑问题“三步骤”：1.建：根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式；2.转：准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到 抛物线上点的坐标，3.求：代入解析式，求出二次函数解析式；3.用：应用所求解析式及性质解决问题.三、典例精讲 例 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近 ( http: / / www.21cnjy.com )似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.21cnjy.com(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长. ( http: / / www.21cnjy.com )解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a 4502+0.5.解得a＝.故所求表达式为y=x2+0.5（-450≤x≤450）.【出处：21教育名师】当x=450－100=350时，得y=×3502+0.5=49.5.当x=450－50=400时，得y=×4002+0.5=64.5.即距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
课堂检测 四、巩固训练1. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系 式为y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 mC2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位： s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是( )A．①④ B．①② C．②③④ D．②③D3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.4.如图，一名运动员在距离篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ ( http: / / www.21cnjy.com )解：如图②，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.当 x=－2.5时，y=2.25 .故该运动员出手时的高度为2.25m.2 ( http: / / www.21cnjy.com )5.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．21教育网（1）请写出该抛物线的函数关系式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？【来源：21·世纪·教育·网】（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？21*cnjy*com ( http: / / www.21cnjy.com ) 解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝x2+2x+c，得c=4.所以抛物线解析式为y＝x2+2x+4.21·cn·jy·com（2）抛物线解析式为y＝x2+2x+4=(x-6)2+10.所以对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过.（3）令y＝8，则(x-6)2+10=8,解得x1＝6+2,x2＝6-2,则x1﹣x2＝4.所以两排灯的水平距离最小是4 m.www-2-1-cnj
课堂小结 拱桥问题和运动中的抛物线问题转化的关键→建立恰当的直角坐标系→①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法.
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