数学广角镜
一、知识解读
圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
π＝3.141592653…≈3.14
二、敬畏生命
祖冲之与圆周率
它研究和计算的结果，证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间。他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。祖冲之提出的“密率”，也是直到一千年以后，才由德国 称之为“安托尼兹率”，还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西方数学传入中国后伪造的。这是有意的捏造。记载祖冲之对圆周率研究情况的古籍是成书于唐代的史书《隋书》，而现传的《隋书》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率的记载，事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己的著作中引用过祖冲之的圆周率，这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方面卓越的成就。
那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是继承了刘徽所创立和首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前人的重大成就。在前面，我们提到割圆术时已经知道了这样的结论：圆内接正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。
祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。
要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。
这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。
祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。
古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”（另一种量器，与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量器，但它们都是圆柱体。），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在，利用“祖率”校正了数值。为人们的日常生活提供了方便。
以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数，并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考；如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！
据《隋书·律历志》记载，祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位，求直径为一丈的圆的周长，求得盈数为3.1415927、肭数为3.1415926，圆周率的真值介于盈肭两数之间。《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为，祖冲之采用的是刘徽的割圆术，但也有别的多种猜测。这两个近似值准确到小数第7位，是当时世界上最先进的成就。直到一千多年以后，15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果。祖冲之确定了π的两个渐近分数，约率22/7和密率355/113。其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现。它是三个成对奇数113355再折两段组成，优美、规整、易记。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”。
祖冲之在数学领域的成就，只是中国古代数学成就的一个方面。实际上，14世纪以前中国一直是世界上数学最为发达的国家之一。比如几何中的勾股定理，在中国早期的数学专著《周髀算经》（大约于公元前2世纪成书）中即有论述；成书于公元1世纪的另一本重要的数学专著《九章算术》，在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；13世纪时，中国就已经有了十次方程的解法，而直到16世纪，欧洲才提出三次方程的解法。
三、五彩世界
神秘中国色 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
紫色，象征神秘和高雅，也代表权威和声望。在西方文化中，从罗马时代以来，它就和皇室紧密相连，中世纪时期，由于紫颜色是最贵的染料，只能为贵族和有钱人所用，在很多国家甚至禁止皇室之外的任何人或机构使用。中国传统文化里，由于紫色来自于红和蓝的揉合，并非正色，早在《论语·阳货》便得到过“恶紫之夺朱也”的描述。
而一段来自兵马俑的“中国紫”之谜，更是将我们带到了2000多年前的扑朔迷离。
1974年，几位临潼农民挖井时发现了后来被称为“世界第八大奇迹”的秦始皇兵马俑，这群表情各异的士兵初初看起来颇为狼狈——他们从秦朝末年被埋下之后，先后遭受自然界大水和人为放火的破坏，表面的色彩或剥落或褪去，只留下一些残余。显微镜下的表层分析显示，在陶和真正的颜料之间，有一种生漆作为底色。虽然秦朝的能工巧匠借助这层生漆方能够将色彩赋予陶俑，令其生动，可经历了2200年沧桑，这层物质却成为保存颜色的一道败笔：由于其一直处于地下的潮湿环境中，挖掘出来会脱水，半个小时之内即出现应力增加，导致裂纹、变形，附着在上边的颜色随即脱落，变得灰溜溜。由于还没有找到合适的保护措施，考古人员决定停止对剩下那些兵马俑的挖掘。
目前在兵马俑身上发现的五彩斑斓的颜色中，几乎所有颜料都与古代欧洲人提取的天然色料相同，只有一种紫颜色是大自然中没有的，那就是硅酸铜钡(BaCuSi2O6)。美国科学家、史密森尼博物馆的伊丽莎白·菲兹胡(Elisabeth West FitzHugh)等人1992年第一次从汉朝的俑器上发现了硅酸铜钡，便称之为“汉紫”。而后又发现其在秦兵马俑身上被大量使用，所以现在人们普遍认为，称作“中国紫”可能更为合适。
非天然颜料在古代并不多见，特别是蓝紫色，堪称稀罕。迄今为止只有三种人造蓝紫色被确认是出现于工业社会以前，分别是埃及蓝、中国蓝和中国紫、玛雅蓝，但它们的化学成分却不尽相同。由于前两者都是二价碱土金属+铜硅酸盐结构，2000年，苏黎世大学配位化学研究所教授海因茨·伯克(Heinz Berke)发表文章提出中国蓝或中国紫源自于埃及蓝，认为这是中西方文化交流的最早证据之一。
这个结论在几年后遭到了质疑，来自斯坦福线性加速器中心(stanford linear accelerator center)的博士后刘志认为该说法中一些细节经不起推敲。刘志并不是搞化学分析的，研究方向主要还是无机材料，和中国紫结缘纯属偶然。他在2003年回国探亲期间，抽空去西安游览了一番，从兵马俑的“裤子”上看到的紫色粉末状物引起其极大兴趣，就找到博物馆负责人要了一些带回去作分析。期间也查阅了海因茨·伯克等人的文献。
一个炎热的中午，我们约在北京大学附近的一个咖啡馆见面。坐在对面、身高1米87的刘志告诉我，最初让他迷惑不解的是“时间上存在问题”。“因为最早的丝绸之路出现在汉代张骞通西域时期(公元前125年左右)，而考古得到中国蓝和中国紫的最早记录却可以追溯到战国时期(公元前479~221年)，比丝绸之路早了几百年。”众所周知，丝绸之路是古代中西方文明互通有无的最为重要也是最早的通道。
此外，埃及蓝传入不仅仅涉及到一种颜料本身的传入，还涉及到了工艺的引进。更重要的一点，埃及蓝的主要成分是硅酸铜钙(CaCuSi2O6)。以当时的自然知识水平，中国古代的工匠们如何能想到用钡取代钙？迄今也没有在中国地区出土的文物上发现任何和埃及蓝成分一致的颜料。而且，这种成分上的改变绝非简简单单换一下配方就可以做到，需要更高的制造温度——因为钡的分子量大于钙，所以含钡化合物的熔点也远远高于含钙化合物。
钡很可能来自于重晶石，主要成分为硫酸钡，在中国中部地区非常常见。生活里的数学
为什么车轮都要做成圆的，车轴应装在哪里？
答：圆形物体具有滚动性，车轴应装在圆心的位置，滚动时可使行驶的车辆保持平稳状态。
二、成长在线
我国数学家在圆周率计算上的贡献
我们知道，圆周率就是圆周长与直径的比值，用希腊字母π来表示，早在4000年前，人们就已经发现了它．在三角形中，用弧度制表示角时，经常用到π，在有关几何的某些计算公式中也有π，在数理统计中也常用到它，在天文学、电学、力学等科学和某些技术领域的一些计算公式中，还可以见到它。π是一个常用的无理数，几千年来，为了得到π的越来越精确的近似值，许多人付出了我们今天难以想象的艰辛劳动，甚至有人为之耗尽了毕生的精力．
我国数学家束梁宗巨曾说过：“π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平”．我们中华民族是一个勤劳智慧的民族，在圆周率的计算上取得过令世人赞叹的辉煌成就．我国最古老的数学书《周髀算经》(完成于公元前100年左右)中，就百“圆径一而周三”的说法，即认为π等于3，天文学家张衡(公元78—139年)认为圆周长和直径的比是92：29，约等于3．1724．他还认为圆周率可以是10=3．162 2．
魏晋时期数学家刘微(公元225—295年)，为了证明圆的面积公式，创造了割圆术，现在人们称为“刘微割圆术”．其方法是：取圆的半径为I尺，从圆内接正六边形起，在此基础上算出圆内接正12边形的面积S，再此基础上算出圆内接正24边形的面积5，…，即每次将边数加倍，在原正多边形面积S的基础上算出S。刘徽说：割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．(意思是说，分割得越细，正多边形与圆周的差也就越少，最终与圆周重合，也就没有误差了．)这样就可以用圆内接正多边形的边长逐步逼近圆周长，而多边形的周长是可以算出来的，用其值除以2，即得圆周率。刘徽一直算到S，他用（157/50）=314作为圆周率。刘徽是我国古代数学界的一个伟大人物，通常，将314这个数值称为“徽率”，以表示对他的纪念。
在刘徽之后，我国南北朝时代的数学家、天文学家祖冲之（公元429-500年）算出了π的8位可靠数字，求得3.1415926〈π〈3.1415927。 这在当时是最精确的圆周率，这个世界纪录保持了1000年。祖冲之还得到密率：355/113，约率：22/7。 用这两个简单的分数来近似地表示π。这一意义要比得出8位可靠数字的意义大的多。事实上，比355/113更接近π的分数中，分母最小的是52163/16604，这也就是说，在分母小于16604的分数中，没有比密率更接近π的分数。
在当时那种只能靠算筹（一种由小竹条制成的古代计算工具）来帮忙进行计算的时代，刘徽、祖冲之得出的成果是非常了不起的，其中包含了他们的多少心血啊！我们常将3.1415926称为“祖率”，以表示对祖冲之的纪念。
现在月球背面有一座环形山，就是以祖冲之的名字命名的，称之为“祖冲之环形山”。自我检测
一、我当裁判
1.经过圆心的线段是直径。（×）
2.圆的直径越长，圆周率越大。（×）
3．圆的周长是它直径的π倍。（√）
4.π ＝ 3.14 （×）
5.大圆的圆周率比小圆的圆周率大。 （ × ）
二、专题训练
1.下面的图形不是一类的是（ D ）
A. B. C. D.
2.圆的周长是直径的（ B ）倍。
A. 3.14 B. π C. 3
3.大圆的周长除以直径的商（ C ）小圆的周长除以直径的商。
A. 大于 B. 小于 C.等于
4.车轮滚动一周，前进的距离是求车轮的（C ） A.半径 B.直径 C.周长
三、学会思考
1.一个圆形花坛，周长是23.55米，它的直径是多少米？
解法一：23.55÷3.14=7.5（米）
解法二：解：设花坛的直径是x米，根据C=πd 得
3.14× x = 23.55
x=23.55÷3.14
x=7.5
答：花坛的直径是7.5米.
2．填表思考。
周长（C） 直径（d) 的比值
6.28 2 3.14
9.42 3 3.14
12.56 4 3.14
15.7 5 3.14
圆的周长总是直径的 3/三 倍多一些。
圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。
四、终极PK
谐音故事
古时候，有位教学先生，他特别喜欢喝酒。一天，他向他的弟子讲解到圆的周长的时候，突然想到了喝酒，就对自己的弟子说，你们把圆周率给背熟，会被的就上后山顶的那座亭子里找我。后来，一弟子熟背后，跑上山，竟然看到教学先生偷偷在后山顶的亭里喝酒，他突然灵感一现：
“3.1415926535897932384626”
山巅一寺一壶酒（3.14159）
尔乐苦煞吾（26535）
把酒吃（897）
酒杀尔（932）
杀不死（384）
乐尔乐（626）
同学们比一比：你能记住圆周率了吗？名师导航
一、名师精讲
一张圆桌的直径是0.95米。这张圆桌的周长是多少米？
（得数保留两位小数。）
3.14×0.95
＝2.983
≈2.98（米）
答：这张圆桌的周长大约是2.98米。
二、小试牛刀
1.今天我学习了圆周长的知识。我知道圆周率是（ 周长 ）和（ 直径 ）的比值，它用字母（ π ）表示,它是我国古代数学家（ 祖冲之 ）发现的。
2.我还知道圆的周长总是直径的（ π ）倍。已知圆的直径就可以用公式（ c=πd ）求周长；已知圆的半径就可以用公式（ c=2πr ）求周长。
3.圆中心的一点叫做（圆心），用字母O表示 。
4.圆的大小由( 半径 )决定, 圆的位置由( 圆心 )决定
三、数学诊所
１.从圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径.( √ )
2.半径相等的两个圆的大小相等. ( √ )
3.通过圆心的线段,叫做直径.( × )
4.所有圆的直径都相等. ( × )
5.直径4厘米的圆,半径是8厘米. ( × )
四、奥数一点通
一个木桩的横截面周长是37.68米。它的直径是12米。
方法一：用方程解。
设直径为x米。
方法二：用算术方法解。
直径＝周长÷ π
O
3
