小鬼当家
一 生活里的数学
巧借图形破解生活中的数学问题
同学们，通过“多边形”的学习我们知道，多边形是指在同一平面内由一些线段首尾顺次相接所组成的图形，连接多边形不相邻的两个顶点的线段就是多边形的对角线。可是同学们是否知道，通过画多边形及多边形的对角线还能帮助我们解决现实生活中的许多数学问题呢！
比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，比赛采取循环制，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次。问学校一共要安排多少场比赛？
我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如图）。
现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了。由上图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛。
二 成长在线
骄傲的小鲤鱼
小鲤鱼是在一个正方形鱼池里土生土长的，所以他对正方形最了解。
有一天，小青蛙跳来找小鲤鱼，想请他帮忙算一个鱼池的周长和面积。小青蛙刚说明来意，小鲤鱼就骄傲地卖弄自己的学问了：“我只要沿正方形鱼池的四边游一周，量出周长，就能计算出它的面积。例如，这个正方形鱼池的周长是120米，那么，每边的长就是120÷4＝30（米），所以面积就是30×30＝900（平方米）。小青蛙，你知道我这样算的道理吗？”
小青蛙眨巴眨巴眼睛说：“我要有你这样的学问，今天就不来麻烦你了。”小鲤鱼傲慢地说：“好，别吞吞吐吐的，有什么难题，尽管说吧。”
小青蛙说：“养鱼的专业户张大爷有一个正方形鱼池周长是80米，张大爷想紧挨着正方形鱼池再挖一个同样大的鱼池，这样就可拼成一个长方形鱼池了。请你算一算，拼成的长方形鱼池的周长是多少米？面积是多少平方米？”
“这有什么难的！”小鲤鱼不假思索地说，“长方形鱼池的周长是80＋80＝160（米）。面积嘛？……你自己去算吧！”小鲤鱼一时算不出来，于是就不耐烦了。
鲤鱼妈妈听了，赶忙游过来向小青蛙打招呼说：“青蛙弟弟，别见怪，小鲤鱼太不懂礼貌了。来，我帮您算。因为原来正方形鱼池的周长是80米，正方形的4条边是相等的，所以每边的长是 80÷4＝20（米），正方形鱼池的面积就是20×20＝400（平方米），拼成的长方形鱼池的面积是400＋400＝800（平方米）。但是，算长方形鱼池的周长就不能简单地把两个正方形的周长相加了。因为拼成一个长方形鱼池，就少了正方形的2条边长，所以这个长方形鱼池的周长应该是 160－20×2＝120（米）。”
小青蛙听了连声道谢，满意地一蹦一跳回去了。而骄傲的小鲤鱼呢，羞得连尾巴都红了，惭愧地游到水地去了。自我检测
一 我当裁判
1．两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形.（ × ）
2．平行四边形的面积等于一个三角形面积的2倍.（ × ）
3．两个完全一样的梯形，能拼成一个平行四边形.（ √ ）
4．把一个长方形的框架挤压成一个平行四边形，面积减少了.（ √ ）
5．两个三角形面积相等，底和高也一定相等。（ × ）
6.两个正三角形的周长相等，面积也相等。（ √ ）
两个三角形的面积相等，形状也一定相同。（ × ）
边长为4厘米的正方形，周长和面积相等。（ × ）
一个长方形的长增加3厘米，宽增加5厘米，面积就增加15平方厘米。（ × ）
平行四边形的底越长，面积就越大。（ × ）
二 专题训练
1．90平方厘米＝（0.009）平方米 4.3公顷＝（43000）平方米
5平方米8平方分米＝（5.08）平方米＝（508）平方分米
2．平行四边形的面积是48平方分米，底是12分米，高是（4）分米。
3．一个平行四边形的底是14厘米，高是9厘米，它的面积是（126）平方厘米；与它等底等高的三角形面积是（63）厘米。
4．一个梯形的上底是3米，下底2米，高2米，这个梯形的面积是（5）平方米。
5．工地上有一堆钢管，横截面是一个梯形，已知最上面一层有2根，最下面一层有12根，共堆了11层，这堆钢管共有（ 77 ）根。
6．一个三角形比与它等底等高的平行四边的面积少30平方厘米，则这个三角形的面积是（ 30 ）平方厘米。
7．一个三角形的面积是4.5平方分米，底是5分米，高是（1.8）分米。
8．一个等边三角形的周长是18厘米，高是3.6厘米，它的面积是（10.8）平方厘米。
9.一个平行四边形的面积是60 平方厘米，如果它的高缩小3倍，底不变，面积是（ 20 ）厘米。
三 学会思考
1．等边三角形一定是（A）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角
2.两个完全一样的锐角三角形，可以拼成一个 （C）
A．长方形 B．梯形 C．平行四边形
3．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中 （A）总是相等的。
A．高 B．面积 C．形状
4.一个平行四边形的面积是6.4平方厘米，高是2厘米，底是（ A ）厘米。
A 3.2 B 1.6 C 2
5.边长是4厘米的正方形，它的面积和周长（C）。
A 相等 B面积较大 C无法比较
6.一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果三角形的高是6cm，那么平行四边形的高是（ A ）cm。
A 3 B 6 C 12
7.能拼成一个长方形的是两个完全一样的（ B ）三角形。
A锐角 B直角 C钝角
8.一个三角形的高有（ C ）条，
A 1 B 2 C 3
9.两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个（ A ）。
A 长方形 B 正方形 C梯形
四 终极PK
校园内有一块长方形土地（如下图）想种上红花、黄花和绿草。你能根据此图的设计分别求出红花、黄花和绿草的种植面积吗？
答案： 黄花54平方米 红花54平方米 绿草108平方米名师精讲
一 名师导航
（1）把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形
梯形的面积= 平行四边形面积＋三角形面积
= 平行四边形的底×高＋三角形的底×高÷2
=（平行四边形的底＋三角形的底÷2）×高
=（平行四边形的底＋三角形的底÷2）×高×2÷2
=（平行四边形的底×2＋三角形的底÷2×2）×高÷2
=（平行四边形的底＋平行四边形的底＋三角形的底）×高÷2
因为 梯形的上底=平行四边形的底
梯形的下底=平行四边形的底＋三角形的底
所以 梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2
（2）从梯形两腰中点的连线将梯形剪开，拼成一个平行四边形。
因为 平行四边形的底等于（梯形的上底＋梯形的下底）
平行四边形的高等于梯形的高÷2
梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积
所以 梯形的面积＝（上底 ＋下底）×高÷2
二 小试牛刀
两个(完全一样)的梯形可以拼成一个平行四边形）。梯形的上底和下底的和等于(平行四边形的底)，梯形的高（等于）平行四边形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形 面积的（一半）。
梯形的面积公式用字母可以表示为（（上底+下底）×高÷2 ）
3.一个梯形的面积是4.2平方分米，高是2分米，这个梯形的两底之和是（4.2）分米。
4.一个梯形的面积是76平方厘米，下底是12厘米，上底是8厘米，它的高是(7.6)厘米。
5.一个梯形的面积是28平方米，它的高是7米，上底是3米，下底是(5)米。
6.梯形的上底是4分米，下底是10分米，高是3分米，它的面积是（21）平方分米。
7.一个梯形的上底和下底的和是25厘米，高是8.8厘米，面积是（110）平方厘米。
8.一堆钢管，每相邻两层都相差1根，最上层有2根，最下层有8根，这堆钢管共有（35）根。
9.一个梯形的上下底之和是10厘米，高是底的一半，它的面积是（25）平方厘米。
10.一个梯形的面积是12厘米，用这样相同的两个梯形拼成一个平行四边形，它的面积是（24）平方厘米。
三 数学诊所
1.两个梯形可以拼成一个平行四边形.( × )
2.平行四边形的面积或梯形面积的大小分别与它们的底和高有关，与它们的形状和位置无关.( √ )
3.两个面积相等、形状一样的梯形，可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积是梯形面积的2倍( √ )。
4.梯形的面积等于它的上底与下底之和再乘高的二分之一。（ √ ）
5.梯形的面积是平行四边形面积的一半。（ × ）
6.一个长方形可以分成两个直角三角形，也可以分成两个梯形。（ √ ）
7.两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。（ × ）
8.梯形的上底增加5厘米，下底减少5厘米，高不变，面积也不变。（ √ ）
9.梯形只有两条高。（ × ）
10.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。（ √ ）
四 奥数一点通
已知下图中正方形的边长是8厘米，右边的三角形比左边的三角形的面积大6平方厘米，求梯形的面积是（C）平方厘米？
A 64 B 32 C 70数学广角镜
一 知识解读
拼拼想想
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的（上底+下底），这个平行四边形的高（等于）梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的（一半），所以，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
剪剪想想
把一个梯形沿对角线剪成两个三角形
梯形的面积＝三角形1的面积＋三角形2的面积
＝梯形上底×高÷2＋梯形下底×高÷2
＝（梯形上底＋梯形下底）×高÷2
二 敬畏生命
杨靖宇
杨靖宇，原名马尚德，1905年２月出生于河南省确山县李湾村一个农民家庭。1923年考入开封纺织工业学校。在学校期间，受到中国共产党和共产主义青年团组织的培养教育，阅读进步书刊，接受共产主义思想，参加革命活动，1926年加入中国共产主义青年团。同年冬，受中共河南党组织派遣，回到家乡确山从事农民运动。
1927年４月，为配合国民革命军的北伐战争，杨靖宇参与领导了确山农民暴动，并取得成功。同年５月转为中国共产党党员。大革命失败后，杨靖宇等按照党的八七会议的要求，再次组织确山起义，任农民革命军总指挥，在指挥起义武装与反动军队作战中负伤。1928年春，在负伤未愈时，受党派遣先后到确山、信阳、开封、洛阳一带从事党的地下工作。其间曾几次被捕，屡受酷刑，坚贞不屈。脱险后，党组织派他到上海党中央学习并从事党的秘密工作。
1929年春，杨靖宇调赴东北，满洲省委派他担任中共抚顺特别支部书记。他化名张贯一，深入抚顺煤矿，联系工人群众，恢复重建被破坏的党组织，领导工人同侵占中国煤矿的日本矿主进行斗争。九一八事变后，党派他担任东北反日总会的领导工作，后又派他担任中共哈尔滨市委第一任书记、满洲省委委员，不久又兼满洲省委军委代理书记。1932年11月，杨靖宇以省委代表身份被派往南满，整顿各县党组织、抗日游击队和义勇队，组建中国工农红军第32军南满游击队，任政治委员，创建了以磐石红石砬子为中心的游击根据地。
1933年初，中共中央在给东北各级党委和全体共产党员的一二六指示信中，要求在东北建立全民族的抗日统一战线，以党领导的抗日游击队为骨干、联合其他抗日武装，共同进行抗日斗争。杨靖宇积极贯彻落实党中央和省委的指示，于同年９月领导成立了东北人民革命军第１军独立师，任师长兼政治委员。1934年４月，他联合１７支抗日武装成立了抗日联合军总指挥部，任总指挥。同年１１月，任东北人民革命军第１军军长兼政治委员。1936年春任东北抗日联军第１军军长兼政治委员，同年６月任东北抗日联军第１路军总司令兼政治委员。杨靖宇成为东北抗日联军的主要创建人和领导人之一。他率部长期转战东南满大地，打击日伪军，威震东北，有力地配合了全国的抗日战争。中共六届六中全会曾致电向以杨靖宇为代表的东北抗日武装表示慰问，称之为“冰天雪地里与敌周旋７年多的不怕困苦艰难奋斗之模范”。
日伪军将东北抗联特别是其主力第一路军视为眼中钉、肉中刺，反复进行所谓“讨伐”。在1939年秋冬季东南满反日伪军“讨伐”作战中，杨靖宇与魏拯民等指挥部队化整为零、分散游击，自己率警卫旅转战于濛江一带。最后，他只身与敌周旋５昼夜，以无比坚强的毅力，英勇顽强地战斗，直至弹尽粮绝，于1940年２月23日在吉林濛江三道崴子壮烈牺牲，时年35岁。
杨靖宇牺牲后，残忍的日本侵略军无法理解这位英雄的坚强行为，他何以能够在冰天雪地里长时间被围困、且完全断绝粮食的情况下，顽强坚持战斗。日军将他割头剖腹，发现他的胃里尽是枯草、树皮和棉絮，竟无一粒粮食！侵略军也无不为之震惊。抗日战争胜利后，为纪念杨靖宇这位抗日民族英雄，1946年东北民主联军通化支队改名为杨靖宇支队，吉林省濛江县改名为靖宇县。
三 五彩世界
苏步青
苏步青，1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山 村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。
那是苏步青上初三时，他就读的浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。
杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。
17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖国任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我心甘情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”
