5 第1课时 探索数字与图形规律
知识点 1 探索整式的数字规律
1.礼堂第一排有a个座位,后面每一排都比前一排多一个座位,则第n排的座位个数是( )
A.a+(n-1) B.n+1
C.a+n D.a+(n+1)
2.一列数:0,1,2,3,6,7,14,15,30, , , .这列数是小明按照一定规则写下来的,他第一次写下“0,1”,第二次接着写“2,3”,第三次接着写“6,7”,第四次接着写“14,15”,就这样一直接着往下写,那么这串数的最后三个数应该是( )
A.31,32,64 B.31,62,63
C.31,32,33 D.31,45,46
3.研究下面的一列数:1,-3,5,-7,9,-11,13,….照此规律,请你写出第n个数.
知识点 2 探索算式的数字规律
4.[2020·青海] 观察下列各式的规律:
①1×3-22=3-4=-1;②2×4-32=8-9=-1;③3×5-42=15-16=-1.
请按以上规律写出第4个算式: .
用含有字母的式子表示第n个算式: .
知识点 3 探索表格的数字规律
5.[教材“想一想”变式] 在某月的日历上用长方形圈出a,b,c,d四个数(如图,如图果d=20,那么a+b+c等于( )
A.38 B.44 C.48 D.58
6.小何用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如图下表:
输入 1 2 3 4 5 …
输出 …
那么当输入的数据是8时,输出的数据是( )
A. B. C. D.
知识点 4 探索图形规律
7.的图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片……按此规律排列下去,第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A.11 B.13 C.15 D.17
8.将全体自然数按的方式进行排列:
按照这样的排列规律,2022应位于( )
A.A位 B.B位 C.C位 D.D位
9.如图观察下列图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星).若第1个图形是三角形,则第2022个图形是 .(填图形的名称)
10.②③④…是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是 ,第n个“广”字中的棋子个数是 .
11.已知31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,根据上述算式中的规律,32022的末位数字是( )
A.3 B.9 C.7 D.1
12.已知9×1+0=9,9×2+1=19,9×3+2=29,9×4+3=39,…,根据此规律写出第6个式子为 .
13.用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按示的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖 块,第(n)个图形中有黑色瓷砖 块(用含n的代数式表示).
14.观察下列算式,你发现了什么规律
12=;12+22=;12+22+32=;12+22+32+42=;…
(1)根据你发现的规律,计算下面算式的值:12+22+32+…+82= ;
(2)请用一个含n的代数式表示这个规律:12+22+32+…+n2= .
15.把正整数按从小到大的顺序依次排列成如图示的形式:
观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数.
16.如图示,小王玩游戏:一张纸片,第一次将其撕成四小片,手中共有4张纸片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片.如图此进行下去,当小王撕到第n次时,手中共有S张纸片.根据上述信息回答下列问题:
(1)用含n的代数式表示S.
(2)当小王撕到第几次时,他手中共有76张纸片
(3)小王说:“我撕了若干次后,手中的纸片有2023张”.小王说得对不对 若不对,请说明理由;若对,请求出小王撕了多少次.
17.观察根据图中的规律完成下面的问题.
图(1)中的点数为1+3=4=22;
图(2)中的点数为1+3+5=9=32;
图(3)中的点数为1+3+5+7=16=42;
以此类推,图(4)中的点数为 .
解决问题:求1+3+5+7+…+2023的值.
答案
1.A 2.B
3.解:第n个数为(-1)(n+1)(2n-1).
4.4×6-52=24-25=-1 n(n+2)-(n+1)2=-1
5.B 依题意得a+1=b,c+1=d,c=a+7,d=7+b,而d=20,则b=13,c=19,a=12,所以a+b+c=44.
6.D 从表中可以看出,输出的数据是一个分数,分子就是输入的数据,分母是输入的数据的平方加上1.
7.B 观察图形知,第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5=3+2×1(张)黑色正方形纸片,第③个图中有7=3+2×2(张)黑色正方形纸片……故第⑥个图中有3+2×5=13(张)黑色正方形纸片.
8.C 由图可知,每4个数为一个循环组依次循环,因为2022是第2023个数,所以2023÷4=505……3,所以2022应位于第506个循环组的第3个数的位置,即C位.
9.五角星 观察图形,可知:每6个图形一循环.因为2022÷6=337,所以第2022个图形和第6个图形相同.
10.15 2n+5
11.B 因为31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,
所以末位数字每4个一循环.
因为2022÷4=505……2,
所以32022的末位数字是9.故选B.
12.9×6+5=59 13.10 (3n+1)
14.(1)204 (2)
15. 题图中数的排列是有规律的,根据表中数的排列规律可知第n行的第m个数为1+2+3+…+(n-1)+m.
解:第10行的最后一个数为1+2+3+…+10=55;
第20行的第一个数为1+2+3+…+19+1=190+1=191.
16.解:(1)从题图中可以看出,当小王撕到第1次时,手中有3×1+1=4(张)纸片;
当小王撕到第2次时,手中有3×2+1=7(张)纸片……
可以发现:小王撕到第n次时,他手中有(3n+1)张纸片.
所以S=3n+1.
(2)当S=76时,3n+1=76,n=25,即当小王撕到第25次时,他手中共有76张纸片.
(3)对.当S=2023时,3n+1=2023,n=674.故小王撕了674次.
17.解:1+3+5+7+9=25=52
解决问题:因为1+3+5+7+9+…+2n-1=2=n2,
所以1+3+5+7+…+2023=2=10122.第2课时 借助运算解释规律和现象
知识点 用字母表示并借助运算解释规律和现象
1.有一种游戏规则:你想一个数,乘3,加上9,除以3,最后减去你所想的数,我就知道结果,那么结果是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.让我们轻松一下,做一个数字游戏:
第一步:取一个自然数x1=5,计算+1得y1;
第二步:算出y1的各数位上的数字之和得x2,计算+1得y2;
第三步:算出y2的各数位上的数字之和得x3,再计算+1得y3……
依此类推,则y30等于( )
A.5 B.26 C.65 D.122
3.点A从数轴上表示+2的点开始移动,第一次先向左移动1个单位长度,再向右移动2个单位长度;第二次先向左移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度;第三次先向左移动5个单位长度,再向右移动6个单位长度……
(1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(3)第五次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(4)第n次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(5)若第m次移动后这个点在数轴上表示的数为56,则m的值为 .
4.任意一个三位数(十位数字与个位数字均不为0),百位数字与个位数字的积作为下一个数的百位数字,百位数字与十位数字的积作为下一个数的十位数字,十位数字与个位数字的积作为下一个数的个位数字.在上面每次相乘的过程中,若积大于9,则将积的个位数字与十位数字相加,若和仍大于9,则继续相加直到得出一位数.
重复这个过程……
例如图,以832开始,根据以上规则依次可得到:832,766,669,999,999,…
(1)你选择的三位数是什么 按上述规则进行运算你都得到了哪些数 关于这组数你得到了什么结论
(2)换个数试试,你有什么进一步的猜想
5.5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如图实地告诉与他相邻的两个人,然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是多少
答案
1.C
2.D x1=5,y1=26;x2=8,y2=65;x3=11,y3=122;x4=5,y4=26;…
y以26,65,122三个数一循环,而30÷3=10,故y30=y3=122.
3.(1)3 (2)4 (3)7 (4)n+2 (5)54
(1)点A从数轴上表示+2的点开始移动,第一次先向左移动1个单位长度,再向右移动2个单位长度,实际上点A最后向右移动了1个单位长度,则第一次移动后这个点表示的数为1+2=3;(2)第二次先向左移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度,实际上点A最后向右移动了1个单位长度,则第二次移动后这个点表示的数为2+2=4;(3)根据前面的规律得到第五次移动后这个点在数轴上表示的数是5+2=7;(4)第n次移动后这个点在数轴上表示的数是n+2;(5)由(4)得到第m次移动后这个点在数轴上表示的数为m+2,则m+2=56,然后解方程即可.
4.解:(1)答案不唯一,如图选择的三位数是123,运用规则依次可得到:123,326,963,999,999,…
结论:这组数最终都是999.
(2)答案不唯一,如图选择的三位数是788,运用规则依次可得到:788,221,242,488,551,575,788,…
如图选择的三位数是255,运用规则依次可得到:255,117,717,477,114,414,744,117,…
猜想:无论给出一个什么样的三位数,总能得到重复出现的一组数:都是999或6个数为一组重复出现.
5.解:设报4的人心里想的数是x,则报1的人心里想的数是10-x,报3的人心里想的数是x-6,报5的人心里想的数是14-x,报2的人心里想的数是x-12,所以有x-12+x=2×3,故x=9.
