北师大版数学八年级上册同步课时练习：第1章 勾股定理 单元测试 (word版含答案)

第一章　勾股定理　
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列各组线段中,不能够组成直角三角形的是(　　)
A.6,8,10 B.3,4,5
C.4,5,6 D.5,12,13
2.把一个直角三角形的两直角边长同时扩大为原来的3倍,则斜边长扩大为原来的(　　)
A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍
3.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 　　　　
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 　　　
D.等腰三角形或直角三角形
4.如图这是用四个面积均为24的全等的直角三角形△ABE,△BCF,△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”.如图果AB=10,那么正方形EFGH的边长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图示是一张直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为(　　)
A. cm B. cm C. cm D. cm
6.如图一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B,已知圆柱的底面半径为1 cm,高为4 cm,则蚂蚁爬行的最短路程(π取3)约为(　　)
　A.4 cm B.4.5 cm C.5 cm D.6 cm
7.一个圆柱形饮料罐,底面半径为5,高为12,上底面中心有一个小圆孔,一支长为20且一端到达底部的直吸管在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是
(　　)
A.6≤a≤7 B.7≤a≤8
C.8≤a≤9 D.9≤a≤10
8.有一个面积为1的正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上各生出一个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,变成了如图果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(　　)
A.1 B.2020 C.2021 D.2022
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.有下列各组数:①1,2,3;②6,8,10;③0.3,0.4,0.5;④9,40,41.其中是勾股数的有　　　.(填序号)
10.已知三角形的三边长分别为5,12,13,则此三角形的最长边上的高等于　　　　.
11.如图示,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆,其中两个半圆的面积S1=π,S2=2π,则S3=　　　　.
12.如图把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的点P处.若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC的长为　　　　.
13.在一段河岸平行的河流上有一座垂直于河岸的桥,桥长27 m,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头36 m,则小船实际行驶了　　　　m.
三、解答题(共48分)
14.(10分)如图长方体的底面边长分别为3 cm和3 cm,高为5 cm,若一只蚂蚁从点A开始经过四个侧面爬行一圈到达点B,求蚂蚁爬行的最短路径有多长.
15.(12分)如图已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10,D是AC上的一点,其中BD=8,CD=6.
(1)试说明:BD⊥AC;
(2)求AB的长.
16.(12分)如图,一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100 km到达B岛,再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛,A港到航线BM的最短距离是60 km.
(1)若轮船的速度为25 km/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间;
(2)C岛在A港的什么方向上
17.(14分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图①,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,AB=a,BC=b,AC=c.
(1)请你结合图②用文字和符号语言分别叙述勾股定理;
(2)请利用四边形BCFG的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.
答案
1.C　2.B
3.D　 由于(a-b)(a2+b2-c2)=0,所以a-b=0或a2+b2=c2,则△ABC是等腰三角形或直角三角形.
4.B　 因为正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4S△ABE=102-4×24=4,所以正方形EFGH的边长=2.故选B. 5.D
6.C　 把圆柱侧面展开,展开图如图图所示,蚂蚁所走的最短路程为线段AB的长.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4 cm,AC=π≈3(cm),所以AB2=BC2+AC2≈25.
所以AB≈5(cm).故选C.
7.B　 如图图,当吸管一端在点O时,吸管在罐内部分最短,此时罐内部分就是圆柱体的高,罐外部分a=20-12=8;当吸管一端在点A时,吸管在罐内部分最长,此时罐内部分是线段AB的长.在Rt△ABO中,AB2=122+52=169,所以AB=13,罐外部分a=20-13=7,所以7≤a≤8.
8.D　 设第一个直角三角形的三条边长分别是a,b,c.根据勾股定理,得a2+b2=c2,
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1,所以“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积的和是1+1=2,同理,可知“生长”了2次后所有正方形的面积的和是2+1=3,推而广之,“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022.故选D.
9.②④　10.
11.π　 如图图所示,设直角三角形的三边长分别为a,b,c.由圆的面积公式,得S1=π·2=π,S2=π·2=2π,解得c2=25,a2=16. 根据勾股定理,得b2=c2-a2=9,S3=π·2=πb2=π.(本题也可直接用S2+S3=S1求得S3)
12.24　 因为长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的点P处,所以BF=PF=8,PH=CH=6.因为∠FPH=90°,所以在Rt△PFH中,FH2=PF2+PH2,
即FH2=82+62.所以FH=10.所以BC=BF+FH+CH=8+10+6=24.
故答案为24.
13.45
14.解:长方体的侧面展开图如图图所示,则AD=12 cm,BD=5 cm.
因为在Rt△ADB中,AD=12 cm,BD=5 cm,
所以AD2+BD2=AB2,所以AB=13 cm,即蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm.
15.解:(1)因为BC=10,BD=8,CD=6,所以BD2+CD2=82+62=102=BC2,
所以△BDC是直角三角形,∠BDC=90°,所以BD⊥AC.
(2)设AB=x,则AB=AC=x.因为CD=6,所以AD=x-6.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB2=BD2+AD2,
所以x2=82+(x-6)2,
解得x=,所以AB=.
16.解:(1)由题意得AD=60 km.
在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
即602+BD2=1002,
所以BD=80 km.
所以CD=BC-BD=125-80=45(km).
在Rt△ACD中,
AC2=CD2+AD2=452+602=752,
所以AC=75 km,
所以75÷25=3(h).
答:轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3 h.
(2)因为AB2+AC2=1002+752=15625,BC2=1252=15625,
所以AB2+AC2=BC2,
所以∠BAC=90°,
则∠NAC=180°-90°-48°=42°,
所以C岛在A港的北偏西42°方向上.
17.解:(1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则有a2+b2=c2.
(2)因为S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2,
S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2,
所以ab+c2=a2+ab+b2,
整理得a2+b2=c2.