北师大版数学九年级上册同步课时练习：第4章 图形的相似　单元复习小结 (word版含答案)

单元复习小结
类型之一　成比例线段及平行线分线段成比例
1.已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中b=4 cm,c=6 cm,d=8 cm,则a等于 (　　)
A.3 cm B.6 cm C.12 cm D.36 cm
2.若==≠0,则等于 (　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
3.如图已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3.若AB=4,AC=6,DF=9,则DE等于 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
4.如图在△ABC中,AM∶MD=4∶1,BD∶DC=2∶3,求AE∶EC的值.
类型之二　相似多边形及黄金分割
5.如图四边形ABCD∽四边形GFEH,且∠A=∠G=70°,∠B=60°,∠E=120°,DC=24,HE=18,HG=21,则∠F=　　　　,∠D=　　　　,AD=　　　　.
6.已知M是线段AB的黄金分割点,且AM >BM.若AB=12 cm,则AM=　　　　,BM=　　　　　.
类型之三　相似三角形的判定
7.如图在4×4的正方形网格中,是相似三角形的是 (　　)
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
8.[2019·贵港] 如图在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,∠ACD=∠B,若AD=2BD,BC=6,则线段CD的长为 (　　)
A.2 B.3 C.2 D.5
9.如图在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=20 cm,两只小虫P和Q分别从点A,B同时出发沿AB,BC向终点B,C前进,小虫P的速度为1 cm/s,小虫Q的速度为2 cm/s,当它们同时出发多少秒时,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,C,D为顶点的三角形相似
类型之四　相似三角形的性质
10.如图平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为 (　　)
A.1 B. C.-1 D.+1
11.[2019·凉山州] 在 ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,AC相交于点F,则S△AEF∶S△CBF=　　　　.
12.若两个相似多边形的面积之比为1∶4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分别是　　　　.
13.如图在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
14.如图在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC交DE于点G,交BC于点F,如图果AE=3,EC=1,AD=2,BD=4,求AF∶AG的值.
类型之五　位似
15.在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(　　)
A.(5,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,5)
16.[2019·河池] 如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,则=　　　　.
类型之六　相似三角形在探究问题中的应用
17.如图(a),在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现:
①当α=0°时,=　　　　;
②当α=180°时,=　　　　.
(2)拓展研究:
当0°≤α<360°时,的值有无变化 请仅就图(b)的情况给出证明.
(3)问题解决:
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
答案
1.A　 由已知得a∶b=c∶d,将已知数据代入得a=3 cm.
2.C　 设a=2k,b=3k,c=4k(k≠0),则原式==10.
3.B　 ∵l1∥l2∥l3,AB=4,AC=6,DF=9,
∴=,即=,
解得DE=6.
故选B.
4.解:如图图,过点D作DF∥BE交AC于点F,
则EF∶FC=BD∶DC,AM∶MD=AE∶EF.
∵BD∶DC=2∶3,
∴EF∶FC=2∶3.
设EF=2a,则FC=3a.
∵AM∶MD=4∶1,
∴AE∶EF=4∶1,
∴AE=8a,
∴AE∶EC=8a∶5a=8∶5.
5.60°　110°　28
6.(6-6)cm　(18-6)cm
由已知得==,∴AM=AB=(6-6)cm,则BM=AB-AM=(18-6)cm.
7.C　
8.C　 设AD=2x,BD=x,∴AB=3x.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
∴==,
∴DE=4.
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠DCB.
又∵∠ECD=∠B,
∴△EDC∽△DCB,
∴=,
∴CD2=BC·DE=6×4=24,
则CD=2.故选C.
9.解:设运动时间为t s,则AP=t cm,BQ=2t cm,PB=(10-t)cm.
(1)若△PBQ∽△ADC,有=,
即=,解得t=2;
(2)若△PBQ∽△CDA,有=,
即=,解得t=5.
∴当它们同时出发2 s或5 s时,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,C,D为顶点的三角形相似.
10.C　 ∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴=.
∵S△ADE=S四边形BCED,
∴=,
∴===-1.
故选C.
11.4∶25或9∶25　 在 ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠EAF=∠BCF,∠AEF=∠CBF,∴△AEF∽△CBF.如图图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5.∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;如图图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5.∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.
12.6,12　 如图果两个相似多边形的面积之比为1∶4,那么它们的相似比为1∶2,周长之比也是1∶2.
13.解:(1)证明:因为AF⊥DE,AG⊥BC,
所以∠AFE=90°,∠AGC=90°,
所以∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC.
又因为∠EAF=∠GAC,所以∠AEF=∠C.
又因为∠DAE=∠BAC,
所以△ADE∽△ABC.
(2)因为△ADE∽△ABC,AF⊥DE,AG⊥BC,
所以==.
14.解:∵AE=3,EC=1,AD=2,BD=4,
∴AC=4,AB=6,
∴AE∶AB=3∶6=1∶2,
AD∶AC=2∶4=1∶2,
∴AE∶AB=AD∶AC.
又∠EAD=∠BAC,
∴△ABC∽△AED.
∵AF,AG分别是△ABC和△AED的角平分线,
∴AF∶AG=AB∶AE=2∶1,
即AF∶AG=2∶1.
15.C　 由题意可知点C在第一象限,根据关于原点位似的图形中点的坐标特征可知,点C的坐标为(6×,8×),即(3,4).故选C.
16.　 ∵以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,
∴===.故答案为.
17.解:(1)①　②
(2)没有变化.
证明:在题图(b)中,△EDC在旋转过程中形状、大小不变,
∴=仍然成立,∴=.
又∵∠ACE=∠BCD=α,
∴△CEA∽△CDB,∴=.
在Rt△ABC中,
AC===4,
∴==,∴=,
∴的值没有变化.
(3)线段BD的长为4或.
提示:当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,
∴BD=AC=4;
当△EDC在BC下方,且A,D,E三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8.
∵DE=AB=2,
∴AE=6,根据=可求得BD=.