北师大版数学九年级上册同步课时练习：1.1 第2课时 菱形的判定 (word版含答案)

第2课时　菱形的判定
知识点 1　由菱形的定义进行判定
1.如图,要使 ABCD成为菱形,则需添加的一个条件可以是 (　　)
A.AC=AD B.BA=BC C.∠ABC=90° D.AC=BD
2.如图, ABCD中,AB=9 cm,BC=4 cm,将CB沿BA方向平移得到EF(点F在边AB上),则当BF=　　　　cm时,四边形DAFE是菱形,依据是　.
3.[2020·恩施州] 如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上且BC=AB,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.
知识点 2　根据对角线进行菱形的判定
4.下列命题中,正确的是 (　　)
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5.如图,已知 ABCD,AC,BD交于点O,绕点O旋转对角线AC,∠AOD=α,当α=　　时,四边形ABCD是菱形,依据是 ____________　.
6.如图所示,在 ABCD中,AB=13,AC=10,当BD=　　　　时,四边形ABCD是菱形.
7.[教材例2变式题] 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8.求证:四边形ABCD是菱形.
知识点 3　根据边进行菱形的判定
8.如图,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 (　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
9.如图,AC=8,分别以点A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和点D.依次连接点A,B,C,D,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)求BD的长.
10.如图,有下列条件:
①AC⊥BD,OC=OA;②∠1=∠2=∠3=∠4;③OA=OC,OB=OD,AC⊥BD;④AB=BC=CD,AC⊥BD.其中一定能判定四边形ABCD为菱形的有 (　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
11.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件:　　　　　　时,四边形EFGH是菱形.
12.[2020·滨州] 如图,过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N.
(1)求证:△PBE≌△QDE;
(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.
13.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同且含60°角的三角尺ABC与三角尺AEF按①所示方式放置,点F在AC上,点B在AE上,∠A=90°.现将三角尺AEF绕点A按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图图②,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:AM=AN;
(2)当α=30°时,判断四边形ABPF的形状,并说明理由.
答案
1.B　 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要使 ABCD成为菱形,则需添加的一个条件可以是BA=BC.故选B.
2.5　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
3.证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.
又∵AB=BC,∴AD=BC.
又∵AE∥BF,即AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵AB=AD,∴四边形ABCD为菱形.
4.D
5.90°　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6.24
7.证明:∵在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,
∴AO=AC=3,BO=BD=4.
∵AB=5,且32+42=52,∴AO2+BO2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,∴ ABCD是菱形.
8.B　 由翻折得AB=DB,AC=DC.又∵AB=AC,∴AB=AC=DC=DB,∴四边形ABDC是菱形.
9.解:(1)四边形ABCD为菱形.
理由:由作法得AB=AD=CB=CD=5,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD.
在Rt△AOB中,OB==3,
∴BD=2OB=6.
10.C　 ①若AC⊥BD,OC=OA,不能确定BO是否等于DO,故不能判定四边形ABCD为菱形.②∵∠1=∠2=∠3=∠4,∴AB=AD,CB=CD.在△ABD和△CBD中,∵∠1=∠2,BD=BD,∠3=∠4,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB,AD=CD,∴AB=CB=AD=CD,∴四边形ABCD为菱形.③根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定四边形ABCD为菱形.④∵AB=BC,AC⊥BD,∴OA=OC.同理OB=OD,∴四边形ABCD为菱形.综上,能判定四边形ABCD为菱形的有3个,为②③④.故选C.
11.AB=CD
12.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴EB=ED,AB∥CD,
∴∠EBP=∠EDQ.
在△PBE和△QDE中,∵∠EBP=∠EDQ,EB=ED,∠BEP=∠DEQ,
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)如图图所示.
∵△PBE≌△QDE,
∴EP=EQ.
同(1)可证
△BME≌△DNE,
∴EM=EN,
∴四边形PMQN是平行四边形.
又∵PQ⊥MN,
∴四边形PMQN是菱形.
13.解:(1)证明:∵∠MAB+∠EAC=90°,∠NAF+∠EAC=90°,
∴∠MAB=∠NAF.
又∵AB=AF,∠B=∠F,
∴△ABM≌△AFN,∴AM=AN.
(2)当α=30°时,四边形ABPF是菱形.
理由:∵α=30°,∠EAF=90°,
∴∠BAF=120°.
又∵∠B=∠F=60°,
∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°,∠F+∠BAF=60°+120°=180°,
∴AF∥BC,AB∥EF,
∴四边形ABPF是平行四边形.
又∵AB=AF,∴ ABPF是菱形.