北师大版数学九年级上册同步课时练习：1.2 第2课时 矩形的判定 (word版含答案)

第2课时　矩形的判定
知识点 1　矩形的定义
1.如图,要使 ABCD成为矩形,需添加的条件是 (　　)
A.AB=BC B.AO=CO C.∠ABC=90° D.∠1=∠2
2.如图,已知D是△ABC的边BC(不含点B,C)上的一点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.要使四边形AFDE是矩形,则在△ABC中要增加的一个条件是　　　　　.判断的依据是　.
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
知识点 2　对角线相等的平行四边形是矩形
4.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,要使它成为矩形,需添加的条件是 (　　)
A.AO=OC B.AC=BD C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC
5.下列关于矩形的说法中正确的是 (　　)
A.有一个角为直角的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
6.如图,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (　　)
A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
7.[教材例2变式题] 如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,△OAB为等边三角形,BC=.求四边形ABCD的周长.
　
知识点 3　有三个角是直角的四边形是矩形
8.如图,直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为　　　　.
9.如图,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:四边形BFDE为矩形.
10.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是不是矩形,他们各自做了如图下检测.检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是 (　　)
A.甲量得窗框两组对边分别相等
B.乙量得窗框的对角线相等
C.丙量得窗框的一组邻边相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
11.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知下列6个条件:
①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.
下列组合中,不能使四边形ABCD成为矩形的是 (　　)
A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
12.如图,已知四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为　　　　.
13.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.
14.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,E是AD边的中点,M是AB上的一动点(不与点A重合),连接ME并延长交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)当M是AB的中点时,求证:四边形AMDN是矩形.
15.如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
答案
1.C
2.∠A=90°　有一个角是直角的平行四边形是矩形
3.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠COD=90°.
∵CE∥OD,DE∥OC,
∴四边形OCED是平行四边形.
又∵∠COD=90°,∴ OCED是矩形.
4.B　 可添加的条件是AC=BD.理由:∵AC=BD,四边形ABCD是平行四边形,
∴ ABCD是矩形.故选B.
5.B　 A项,有一个角为直角的平行四边形是矩形,故本选项错误;
B项,对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项正确;
C项,对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是矩形,故本选项错误;
D项,矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,故本选项错误.故选B.
6.A　 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵OM=AC,∴MN=AC,
∴四边形AMCN是矩形.故选A.
7.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OB.
∵△OAB为等边三角形,
∴OA=OB=AB,
∴AC=BD,∴四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,AC=2OA=2AB,BC=,由勾股定理,可得AB=1,
∴四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×(1+)=2+2.
8.12　 由题意可知图中有3个直角,可得此四边形是矩形,那么其周长=2×邻边之和=12.故答案为12.
9.证明:∵DE⊥AB,BF⊥CD,
∴∠DEB=∠BFD=90°.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°.
∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,
即∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,
∴四边形BFDE为矩形.
10.D
11.C　 A项,①AB∥DC,②AB=DC可判定四边形ABCD是平行四边形,再加上③AC=BD,可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定,故此选项不符合题意.B项,②AB=DC,③AC=BD,又BC=CB,所以△ABC≌△DCB,所以∠DCB=∠ABC,再加上④∠ABC=90°,可得AB∥DC.又因为AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,进而得出四边形ABCD是矩形,故此选项不符合题意.C项,⑤OA=OC,⑥OB=OD可判定四边形ABCD是平行四边形,再加上②AB=DC不能判定四边形ABCD是矩形,故此选项符合题意.D项,⑤OA=OC,⑥OB=OD可判定四边形ABCD是平行四边形,再加上④∠ABC=90°,可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定,故此选项不符合题意.故选C.
12.12　 ∵E,F分别为四边形ABCD的边AB,BC的中点,
∴EF∥AC,且EF=AC=4.
同理可求得EH∥BD∥GF,且EH=GF=BD=3.
由题易证四边形EFGH是矩形,
∴四边形EFGH的面积=EF·EH=4×3=12,
即四边形EFGH的面积是12.
13.证明:∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAE=∠CAD.
又∵AE=AD,AB=AC,
∴△BAE≌△CAD,
∴∠BEA=∠CDA,BE=CD.
又∵DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD.
∵AE=AD,
∴∠AED=∠ADE.
又∵∠BEA=∠CDA,∴∠BED=∠CDE.
∵BE∥CD,
∴∠BED+∠CDE=180°,
∴∠BED=∠CDE=90°,
∴ BCDE是矩形.
14.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴ND∥MA,
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.
∵E是AD边的中点,∴DE=AE,
∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA.
又∵ND∥MA,
∴四边形AMDN是平行四边形.
(2)连接BD.∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD.
又∵∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形.
又∵M是AB的中点,
∴DM⊥AB,即∠DMA=90°.
又∵四边形AMDN是平行四边形,
∴ AMDN是矩形.
15.解:(1)证明:如图图所示.
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6.
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
(2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,∠5+∠2+∠4+∠6=180°,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,即∠ECF=90°.
∵CE=12,CF=5,
∴EF==13.
又∵OE=OF,
∴OC=EF=6.5.
(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:当O为AC的中点时,AO=CO.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴ AECF是矩形.