北师大版数学九年级上册同步课时练习：1.2 第1课时　矩形的概念及其性质 (word版含答案)

2　第1课时　矩形的概念及其性质
知识点 1　矩形边、角的性质
1.下列说法不正确的是 (　　)
A.矩形是平行四边形
B.矩形不一定是平行四边形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.矩形具有平行四边形的所有性质
2.若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2,则其对角线BD的长是 (　　)
A. B.3 C. D.2
3.如图在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则∠EBC的度数是 (　　)
A.30° B.22.5° C.15° D.10°
4.如图在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
知识点 2　矩形对角线的性质
5.下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是 (　　)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
6.[教材例1变式题] 如图在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6 cm,则AB的长是 (　　)
A.3 cm B.6 cm C.10 cm D.12 cm
7.如图矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长为　　　　.
　8.如图在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分线段BO,垂足为E,BD=15 cm,求AC,AB的长.
知识点 3　直角三角形斜边上的中线的性质
9.如图在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,D是斜边AB的中点,那么∠ACD的度数为 (　　)
A.15° B.25° C.35° D.45°
10.如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=4,则BC的长为 (　　)
A.4 B.4 C.8 D.8
11.如图已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点.求证:CE=DE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.如图P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,与AB,CD分别交于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.10 B.12 C.16 D.18
13.如图,将矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,M为AB边的中点,连接ME,MD,ED,设AB=10,∠DBE=30°,则△EDM的面积为　　　　.
15.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,延长CB至点E,使BE=BC,连接AE.
(1)求证:四边形ADBE是平行四边形;
(2)若AB=4,OA=,求四边形ADBE的周长.
16.如图所示,过矩形ABCD的顶点A作一直线,交BC的延长线于点E,F是AE的中点,连接FC,FD.求证:∠FDA=∠FCB.
17.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如图果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=FB,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
答案
1.B　 矩形是特殊的平行四边形,因此矩形具有平行四边形的所有性质,故A,D选项正确,B错误.C选项,矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形是矩形,故C正确.故选B.
2.C　 因为矩形的每个角都是直角,所以两邻边和对角线构成直角三角形,所以BD==.
3.C　 在矩形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB∥CD,AD=BC.
∵AB=AE,AB=2BC,
∴AE=2AD,从而∠AED=30°,
则∠BAE=30°,∴∠ABE=75°,
∴∠EBC=90°-75°=15°.
4.解:(1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠A=∠B=90°.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
在△ADE与△BCE中,
∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,
∴△ADE≌△BCE(SAS).
(2)由(1)知△ADE≌△BCE,∴DE=CE.
在Rt△ADE中,AD=4,AE=AB=3,
由勾股定理,得DE===5,
∴△CDE的周长=2DE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.
5.C　 对边相等、对角相等、对角线互相平分都是平行四边形的性质,但是对角线相等是矩形特有的性质.故选C.
6.A　 ∵四边形ABCD是矩形,AC=6 cm,∴OA=OC=OB=OD=3 cm.∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=3 cm.
7.2.5　 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=BD,∴DO=5.∵P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=DO=2.5.
8.解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=15 cm.
∵OA=AC,∴OA=7.5 cm.
∵AE垂直且平分线段BO,
∴AB=OA=7.5 cm.
9.C　 ∵△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,
∴CD=BD=AB,∴∠B=∠DCB=55°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°-55°=35°.
10.D　 ∵AD⊥BC,AD=ED=4,
∴AE===4.
又∵∠BAC=90°,E是BC的中点,
∴BC=2AE=8.
故选D.
11.证明:在Rt△ABC中,∵E为斜边AB的中点,
∴CE=AB.
在Rt△ABD中,∵E为斜边AB的中点,
∴DE=AB,∴CE=DE.
12.C　 如图图,过点P作PM⊥AD于点M,交BC于点N,则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,∴S△PFD=S△PBE=×2×8=8,∴S阴影=8+8=16.故选C.
13.C
14.　 ∵在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,
∴△ABE,△ADB是直角三角形,
∴EM,DM分别是它们斜边上的中线,
∴EM=DM=AB=5.
∵ME=AB=MA,
∴∠MAE=∠MEA,
∴∠BME=2∠MAE.
同理,MD=AB=MA,
∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC.
∵∠DBE+∠C=∠C+∠DAC=90°,
∴∠DAC=∠DBE=30°,
∴∠EMD=2∠DAC=60°,
∴△EDM是边长为5的等边三角形,
∴S△EDM=×5×(5×)=.
故答案为.
15.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC,AD∥BC.
又∵BC=BE,∴BE=AD.
又∵AD∥BE,∴四边形ADBE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD为矩形,OA=,
∴BD=AC=2OA=5,∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°.
由(1)知四边形ADBE为平行四边形,
∴AE=BD=5.
在Rt△ABE中,根据勾股定理可知BE==3,
∴ ADBE的周长=2×(BD+BE)=2×(5+3)=16.
16.证明:连接BF.
因为四边形ABCD是矩形,
所以∠ABC=90°,AD=BC,AD∥BC,
所以∠E=∠EAD.
因为∠ABC=90°,F为AE的中点,
所以BF=AF=EF,
所以∠FBC=∠E,
所以∠FBC=∠EAD.
又因为BC=AD,BF=AF,
所以△BCF≌△ADF,
所以∠FDA=∠FCB.
17.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠BFO.
又∵∠AOE=∠FOB,AE=FB,
∴△AOE≌△FOB,∴EO=BO,
∴AO是△ABE的边BE上的中线,
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=BC=3,
∴FB=AE=3.
∵△AOB和△AOE是“友好三角形”,
∴S△AOB=S△AOE.
∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.