北师大版数学九年级上册同步课时练习：4.4 第1课时 相似三角形的定义及其判定 (word版含答案)

4　第1课时　相似三角形的定义及其判定1
知识点 1　相似三角形的定义
1.下列说法中错误的是 (　　)
A.两个全等三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2.[2019·南充] 已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则等于 (　　)
A.2 B. C.3 D.
3.若△ABC与△DEF相似,∠A=50°,∠B=70°,∠D=60°,则∠E的度数可以是 (　　)
A.50° B.70° C.60° D.50°或70°
4.如图示,已知△ABC∽△ADE,AD=6 cm,BD=3 cm,BC=9.9 cm,∠A=70°,∠B=50°.
求:(1)∠AED的度数;
(2)DE的长.
知识点 2　两角分别相等的两个三角形相似
5.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,则这两个三角形 (　　)
A.一定不相似 B.不一定相似
C.一定相似 D.不能确定
6.如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
7.如图D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.[教材习题4.5第3题变式题] 如图在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则图中相似三角形有 (　　)
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
9.如图AB∥DE,AC∥DF,点B,E,C,F在一条直线上.求证:△ABC∽△DEF.
10.如图在 ABCD中,E是DC上一点,连接AE,F是AE上一点,且∠BFE=∠C.
求证:△ABF∽△EAD.
11.如图在△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为 (　　)
A.4 B.4 C.6 D.4
12.如图一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是 (　　)
A.(0,) B.(0,) C.(0,1) D.(0,2)
13.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如图果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为　　　　米.
14.如图,在△ABC中,已知AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点,F是AC边上一个动点,如图果△AEF与△ABC相似,那么EF的长为　　　　.
15.如图,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,则点D的位置最多有　　　　处.
16.如图所示,△PMN是等边三角形,∠APB=120°.求证:AM·PB=PN·AP.
17.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,∠BAD=90°,AC交BD于点E,∠ABD=30°,AD=,求线段AC和DE的长.
18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:△PAB∽△PBC;
(2)求证:PA=2PC;
(3)若点P到△ABC的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:=h2·h3.
答案
1.B
2.B　 ∵△ABC∽△A'B'C',
∴===.故选B.
3.D
4.解:(1)∵△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B=50°.
在△ADE中,∠A+∠ADE+∠AED=180°,
∴∠AED=180°-70°-50°=60°.
(2)∵△ADE∽△ABC,∴=,
即=,解得DE=6.6(cm).
5.C
6.B　 ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,
∴=,即=,解得BC=6.故选B.
7.C　 ∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴=,即=,解得AE=3.故选C.
8.D　 ∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°.
∵∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC.
∵∠DBC=∠CBA,
∴Rt△ABC∽Rt△CBD,
∴Rt△CBD∽Rt△ACD.
共有3对.故选D.
9.证明:∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,
∴△ABC∽△DEF.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°.
又∵∠AFB+∠BFE=180°,且∠BFE=∠C,
∴∠D=∠AFB.
∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AED,
∴△ABF∽△EAD.
11.B
12.B　 如图图,过点A作AD⊥y轴于点D.∵∠ADC=∠BOC=90°,∠ACD=∠BCO,∴△OBC∽△DAC,∴=,∴=,解得OC=,∴点C的坐标为(0,).故选B.
13.7　 ∵BD⊥AB,AC⊥AB,
∴∠DBE=∠CAE.
又∵∠DEB=∠CEA,
∴△ACE∽△BDE,∴=,
∴=,
∴AC=7(米).
14.或
15.3　 如图图,∵截得的小三角形与△ABC相似,∴过点P作AC的垂线,作AB的垂线,作BC的垂线,所截得的三角形均满足题意,则点D的位置最多有3处.
16.证明:∵△PMN是等边三角形,
∴∠PMN=60°,PN=MP,
∴∠AMP=180°-∠PMN=120°=∠APB.
又∵∠A=∠A,
∴△AMP∽△APB,
∴=,
∴AM·PB=MP·AP,
∴AM·PB=PN·AP.
17.解:在Rt△ABD中,
∵∠ABD=30°,AD=,
∴BD=2AD=2,
∴AB==3.
∵AD∥BC,∠BAD=90°,
∴∠ABC=180°-∠BAD=90°.
在Rt△ABC中,BC=AB=3,
∴AC==3.
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠BCE,∠ADE=∠CBE,
∴△ADE∽△CBE,
∴==,即DE=BE,
∴DE=BD=×2=3-.
∴线段AC和DE的长分别为3和3-.
18.证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.
∵∠APB=135°,
∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠PBC=∠PAB.
又∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC,
∴==.
在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴=,
∴PB=PC,PA=PB,
∴PA=2PC.
(3)如图图,过点P作PF⊥AB于点F,PD⊥BC于点D,PE⊥CA于点E,
∴PF=h1,PD=h2,PE=h3.
∵∠BPC+∠APB=135°+135°=270°,
∴∠APC=90°,
∴∠EAP+∠ACP=90°.
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,
∴∠EAP=∠PCD,
∴Rt△AEP∽Rt△CDP,
∴==2,即=2,∴h3=2h2.
∵∠PAF=∠PBD,∠AFP=∠BDP=90°,
∴△PAF∽△PBD,
∴==,即=,
∴h1=h2,
∴=2=2h2·h2=h2·h3,
即=h2·h3.