北师大版数学九年级上册同步课时练习：4.7 第2课时 相似三角形周长和面积的性质 (word版含答案)

第2课时　相似三角形周长和面积的性质
知识点 1　有关周长的计算
1.两个形状相同的三角形的最短边长分别为3和1,则这两个三角形的周长之比为 (　　)
A.3∶1 B.6∶1 C.9∶1 D.3∶2
2.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=10,A'D'=6,则△ABC和△A'B'C'的周长比是 (　　)
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD∶DB=1∶2,△ADE的周长是6,则△ABC的周长是 (　　)
A.6 B.12 C.18 D.24
4.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为 (　　)
A.3 B.2 C.4 D.5
5.如图,在 ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是 (　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
6.如图,在 ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,BG=4,求△FCE的周长.
知识点 2　有关面积的计算
7.△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的边BC和边B'C'上的高,若AD=2,A'D'=3,则△ABC与△A'B'C'的面积比为(　　)
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
8.若△ABC∽△DEF,且面积之比为9∶25,则△ABC与△DEF的周长之比为 (　　)
A.9∶25 B.3∶25 C.3∶5 D.2∶5
9.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则△DEO与△BCD的面积的比为 (　　)
A. B. C. D.
10.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△DAC的面积为a,则△ABD的面积为 (　　)
A.2a B.a C.3a D.a
11.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点,若△CMN的面积为1,则四边形ABNM的面积为　　　　.
12.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,若AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,则AB的长为　　　　.
13.已知两个相似三角形的一组对应中线的长分别为15和5,面积之差为80,则较大的三角形的面积为　　　　.
14.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线交AD于点F,E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
15.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
16.如图所示,M是△ABC内一点,过点M作三条直线分别平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,求△ABC的面积.
17.如图,在△ABC中,AB=5,CB=3,CA=4,PQ∥AB,点P在CA上(与点A,C不重合),点Q在CB上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.
(3)在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形 若存在,请求出PQ的长;若不存在,请简要说明理由.
答案
1.A　 这两个三角形的周长之比等于对应边之比,为3∶1.故选A.
2.C
3.C
4.A　5.A
6.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,BC=AD=9,
∴∠BAE=∠F,∠EAD=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BE=AB=6,∴CE=BC-BE=3.
∵∠AEB=∠FEC,∠BAE=∠F,
∴△ABE∽△FCE,
∴==2.
∵BG⊥AE,∴AE=2AG=2=4,
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=16,
∴△FCE的周长=×△ABE的周长=8.
7.A
8.C　 ∵△ABC∽△DEF,且面积之比为9∶25,
∴它们的相似比为3∶5,
∴△ABC与△DEF的周长之比为3∶5.
故选C.
9.B
10.C　 在△ABC和△DAC中,
∵∠C是公共角,∠CAD=∠B,
∴△ABC∽△DAC,相似比为=2,
∴=()2=4.
∵△DAC的面积为a,
∴△ABC的面积为4a,
∴△ABD的面积为3a.
11.3
12.3　 ∵∠AED=∠B,∠A是公共角,
∴△ADE∽△ACB,∴=()2.
∵△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,
∴△ACB的面积为9.
∵AE=2,∴=()2,
解得AB=3(负值已舍去).
13.90
14.解:(1)证明:∵CF平分∠ACB,DC=AC,
∴CF是△ACD的中线,
∴F是AD的中点.
又∵E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥BD,即EF∥BC.
(2)由(1)知EF∥BD,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠ADB,
∴△AEF∽△ABD,∴=()2.
又∵AE=AB,S△AEF=S△ABD-S四边形BDFE=S△ABD-6,
∴=()2,∴S△ABD=8.
15.A　 如图图,设A'B'交BC于点E,A'C'交BC于点F.
∵S△ABC=9,S△A'EF=4,
且AD为BC边上的中线,
∴S△A'DE=S△A'EF=2,S△ABD=S△ABC=.
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,
∴A'E∥AB,
∴∠DA'E=∠DAB,∠DEA'=∠DBA,
∴△DA'E∽△DAB,
则=,即=,
解得A'D=2或A'D=-(不合题意,舍去).
故选A.
16. 三个小三角形△1,△2,△3都与△ABC相似.
解:根据题意,容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC.
因为△1,△2,△3的面积分别是4,9和49,所以它们之间的相似比为2∶3∶7,即BC边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3,则△1与△ABC的相似比为2∶12=1∶6,所以它们的面积比为1∶36,所以△ABC的面积是36×4=144.
17.解:(1)∵PQ∥AB,
∴∠CPQ=∠A,∠CQP=∠B,
∴△PQC∽△ABC.
∵S△PQC=S四边形PABQ,
∴S△PQC∶S△ABC=1∶2,
∴==,
∴CP=·CA=2.
(2)∵△PQC∽△ABC,
∴==,
即==,
∴CQ=CP,PQ=CP,
∴C△PQC=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP,
C四边形PABQ=PA+AB+BQ+PQ=4-CP+AB+3-CQ+PQ=4-CP+5+3-CP+CP=12-CP.
由C△PQC=C四边形PABQ,得3CP=12-CP,
∴CP=12,∴CP=.
(3)存在.∵CA=4,AB=5,CB=3,
∴CB2+CA2=AB2,
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°,
∴△ABC中AB边上的高为.
①如图图(a)所示,
若∠MPQ=90°且PM=PQ,
∵△PQC∽△ABC,
∴=,
∴=,解得PQ=;
②若∠PQM=90°且PQ=QM,则与①相同,
PQ=;
③如图图(b)所示,
若∠PMQ=90°且PM=MQ,过点M作ME⊥PQ于点E,则ME=PQ,
∴△PQC中PQ边上的高为-ME=-PQ.
∵=,
∴=,解得PQ=.
综上可知,在AB上存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形,此时PQ的长为或.