第六章立体几何初步之空间“三角”问题 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
第六章立体几何初步
专题课：空间【三角】问题
北师大（2019）必修2
目
录
1.异面直线成角
2.直线与平面成角
3.二面角的平面角
空间【三角】问题
环节一
异面直线所成角
异面直线所成角
直线，b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线‘，b’，使 把a‘和b'所成的锐角或直角记作异面直线和b所成的角

异面直线所成角的范围是
求法
一、几何法（先作图后求）
①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线；

②补形法： 把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.

一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：
求法
二、向量法（高一暂不讲）
用向量求解两条异面直线的夹角问题，首先应根据图形取定基底或建立空间直角坐标系，然后分别求出与这两条异面直线共线的向量m和n、再由 的值来确定异面直线夹角的大小.

【例1】在正四面体 中，E、F分别是AD、BC的中点，连CE、AF，求异面直线CE与AF所成角余弦值.

【解析】 如图，连DF，设O为DF的中点，连EO、OC，则 故在三角形OEC中， (或其补角)即为异面直线AF与CE所成角，设 则



由余弦定理得：


故所求异面直线CE与AF所成角的余弦大小为

例2.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与 的高分别为1和 求异面直线AQ与PB所成的角余弦值.
连结AC、BD设 由PQ上平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面、取OC的中点N，连接PN.

因为 所以

从而 (或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.

因为



所以

从而异面直线AQ与PB所成的角是
解后思
【平移法】即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.就是把异面直线所成的角通过平移转化为两条相交直线所成的角，化为平面问题，具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成角(或其补角）的三角形，再求之。
【例3】如图，在长方体 中，已知 求异面直线 与AC所成角的余弦值的大小.
【解析】 在长方体 的一旁补上一个全等的长方体 连接BF、D1F，则BF//AC.于是BF与BD；所成的角(或其补角)即为AC与 所成的角.

设

在三角形 中，由余弦定理得：

补形法
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.

1.求异面直线的步骤：

一作，二证，三指，四计算,五答
2.关键：在空间内找到一个恰当的点O，通过平移直线，作出异面直线所成的角把空间异面直线所成的角，转化为平面内相交直线所成的锐角或直角
3.解Rt▲或斜三角形，用余弦定理求角时，
注意异面直线所成的角范围是

小结
环节二
线面角
定义
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角.

(2)直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角.

(3)直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是 度的角.
理解
2.按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：

(1) 直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是 角；

(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；

(3)直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角.

3.斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
求法
一、几何法（定义法）
求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点(斜足)，然后在直线上取一点(除斜足外)，作平面的垂线，再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影)，最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角.

解题步骤：作、证、算
求法
二、法向量法
与平面的斜线共线的向量 和这个平面的一个法向量 的夹角 （或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.

即：若直线AB与平面a所成的角为θ，平面a的法向量为 与 的夹角为@

故

求法
二、等积法
在几何法中，如果垂线段垂足无法确定或者垂线段长度不易求出，可以转化为三棱锥等积法
例1.如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，侧棱 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.求EB与底面ABCD所成的角的正切值.
解：作 交DC于F.连结BF.设正方形ABCD的边长为a.

QPDL底面ABCD， F为CD的中点.

EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故 为直线EB与底面ABCD所成的角.

在 中，

在 中，
例2 (2004年重庆高考题)如图，四棱锥 面是正方形， 底面 。
若 求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.
解：连结BD交AC于0、连结BE，过0作BE的垂线OH，垂足 H在BE上，易知PD1面MAE，故 又 战OH//DE，因此OH1面MAE.
连结AH，则△HAO是所足要求的线AC与面NAE所成的角

设AB=a，则

因Rt△ADE ~ Rt△PDA，故

从而在

中
例2.四棱锥 底面ABCD,AB//CD,AB⊥AD,AB=AD ，E、F分别是PC、PD的中点。求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值。

如图，将平面ABEF向右进行延展，作 面ABEF，连接AH、AE，则 为直线AC与平面ABEF所成角
因为 所P以 /面ABCD。
因为F为PD 中图点， 底面ABCD，所以点E、F到面ABCD的距离相等。

所以点F到面ABCD的距离为 所以点E到面ABCD的距离
因为

所以

又 所以

故直线AC与面ABEF所成角的正弦值为
环节三
面面角
1、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
记作：

2、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则 叫做二面角 的平面角
求法
1.定义法
依据二面角的平面角的定义，只要找到二面角的棱的垂面便可获得二面角的平面角.
例1 如图，二面角 -β内一点P， 于A，PB 于B，△APB=60°，求二面角 的大小.

解：设PA与PB所确定的平面为Y，设 连结AO，BO，设Y∩a=AO，Y∩β=BO.
: l；同理：


为二面角 的平面角.
四边形AOBP为平面四边形， 即二面角α- 的大小为
本题如果是作 于O，再连接BO，则不易证明 即所求角.
依据二面角平面角的定义可得：以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角是二面角的平面角.据此，只要找到这样的两条射线即可.
评注
求法
2.三垂线法
要作平面角，首先找“垂线"(指其中一个半平面的垂线)；找不到“垂线”找“垂面”(指其中一个半平面的垂面)；找不到“垂面”作“垂线”，构造三垂线定理或逆定理条件得到二面角的平面角.
例2 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD中， 面ABCD， 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.

解：题设中已有“线面垂直”条件，只需找到棱，依据三垂线定理或逆定理条件得到二面角的平面角.

延长BA、CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱.

AD/BC,BC=2AD, EA=AB=SA,.. 得面SEB上面EBC，EB是交线，又BC上EB，BC上面SEB，SB是SC在面SEB上的射影，SC1SE，△BSC是所求二面角的平面角.

SB, 即所求二面角的正切值为
求法
3、辅助平面法
(1)求二面角 的大小，可转化为求β的拓展半平面与a所成二面角大小，取其邻补角即可，

(2)对于一些无棱二面角问题有时我们不必去找棱，而通过移面法去求另一个平面角相等的二面角.即把其中一个平面平行移动使之与另一半平面相交、形成一个新的有棱二面角，求出有棱二面角的度数即为无棱二面角度数.
例3.在正方体 中，求二面角 的大小.
略解：本题的常规解法是在半平面， 和 内构作二面角的平面角，但过程较繁、而利用半平面 的延伸面A；B，D解之，过程十分简洁.

作 ，垂足为E，连结A，E，. 是二面角 的平面角.

设正方体棱长为a，可得 即二面角 大小为 又二面角 与 C互为补角，二面角 大小为

求法
4、法向量法
环节四
学以致用
1.在正方体 中，

(1)求异面直线AB与 所成的角；

(2)求异面直线AB和 所成的角

2.等腰 的顶点A在平面α外底边BC在平面α内，已知底边长 腰长 又知点A到平面α的垂线段

(1)等腰 的高AE的长；

(2)斜线AE和平面α所成的角的大小(精确到1°).

15
42°
3.已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少