北师大版数学八年级下册同步课件：6.4 第2课时 多边形的外角和(共20张PPT)

(共20张PPT)
第六章 平行四边形
6.4 第2课时 多边形的外角和
知识回顾
1.n边形内角和计算公式是什么？
2.正n边形每个内角计算公式是什么？
n边形的内角和 = (n-2)·180°（n≥3的整数）
小明沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角.
获取新知
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
跑步方向改变的角分别是：∠1,∠2,∠3,∠4,∠5
观察这些角有什么特点？
问题(1)：小明每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
∠1,∠2,∠3,∠4,∠5的特点：
( 1 ) 顶点在多边形的顶角上；
（2）一边是多边形内角的一边；
（3）另一边是多边形内角一边的反向延长线
1. 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
如图，∠A的外角是∠1.
2. 多边形每个顶点处各取一个外角的和叫做这个多边形的外角和.
每个顶点处有两个外角，互为对顶角，是相等的
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
归纳小结
问题(2)： 它们的和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
外角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
小刚是这样思考的：
∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD ＋∠4＋∠CDE ＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
还有其他的方法吗？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
5
1
2
3
4
方法二：平移角
过图形外任一点作个边的平行线，外角转移后组合成一个周角
结论：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.
思考1：如果广场的形状是六边形，那么六边形的外角和是多少？
1
3
2
4
6
5
∵六边形的内角和
=(6-2)×180°=720°
∴六边形的每个内角
=720°÷6=120°
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6= 180°-120°=60°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 60°×6 = 360°
n边形外角和
n边形的外角和等于360°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 ° - (n - 2) × 180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考2：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
重组
多边形
平角-内角和
转化思想
多边形的外角和性质
n边形外角和等于360 °.
正多边形的每个外角的度数都等于
归纳小结
例题讲解
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n－2)·180°＝3×360°.
解得n＝8.
所以，这个多边形是八边形.
内角与外角的数量关系往往转化为方程来解决
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意得
7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
随堂演练
1. 五边形的外角和等于(　　)
A．180° B．360°
C．540° D．720°
B
2.如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
C
3. 如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是(　　)
A．140 m
B．150 m
C．160 m
D．240 m
B
4. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
解：设多边形的边数是n，
则：（n-2） 180°-360°=1260°，
解得：n=11，
答：这个多边形的边数是11．
5.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，
求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是3．
课堂小结
1.外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
2.（1）外角和：在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
（2）定理：多边形的外角和都等于360°．
[注意] (1)多边形的外角和与边数无关，都等于360°.
(2)正多边形的每个外角的度数都等于