北师大版数学八年级下册 1.1 第3课时 等腰三角形的判定和反证法 同步课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1第3课时 等腰三角形的判定和反证法
知识回顾
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
1．性质定理：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）
2．推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边
上的高线互相重合（三线合一）.
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形
结论：相等的两边所对应的角相等
获取新知
知识点一：等腰三角形的判定
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
题设
结论
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的也相等.
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
A
B
C
A
B
C
D
方法一：作底边上的高
证明： 作AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.
在△ABD与△ACD中，
∠ADB= ∠ADC
∠B=∠C，
AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB=AC
在△ABD与△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD，
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
2
1
D
A
B
C
方法二：作顶角的角平分线
1．判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称等角对等边)
应用格式：在△ABC中，
∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
A
C
B
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中.
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
归纳小结
例题讲解
例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA ( SSS ).
∴ ∠ADB＝DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE＝DE (等角对等边).
∴△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
巩固练习
如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4 cm,则CD等于 (　 　)
A.3 cm　　 　 B.4 cm
C.1.5 cm D.2 cm
B
知识点二：反证法
获取新知
想一想：
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，即在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.你认为这个结论成立吗？如果成立，请证明.
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
知识点总结
用反证法证明的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
归纳小结
例题讲解
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
巩固练习
用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°.
求证:l1∥l2.
所以l1∥l2.
证明:假设l1不平行于l2, 即l1与l2相交于一点P .
则∠1+∠2+∠P=180°，
所以∠1+∠2<180°,
这与已知矛盾,故假设不成立.
随堂演练
1.△ABC其中两个内角的度数如下,则能判定△ABC为等腰三角形的是(　　)
A.∠A=40°,∠B=50°
B.∠A=40°,∠B=60°
C.∠A=20°,∠B=80°
D.∠A=40°,∠B=80°
C
2.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,应先假设(　　)
A.三角形中有一个内角小于60°
B.三角形中每一个内角都小于60°
C.三角形中有一个内角大于60°
D.三角形中每一个内角都大于60°
B
3. 如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,
AF与DE相交于点G.求证:GE=GF.
证明:如图.∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,
∴△ABF≌△DCE,
∴∠1=∠2,
∴GE=GF.
4. 用反证法证明:等腰三角形的两底角必为锐角.
证明:假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是直角或钝角,
则　　　　　　　　,
从而　　　　　　　>180°,
这与　　　　　　　　　 矛盾.
所以假设　　　　 ,所以∠B,∠C只能为　　　.
故等腰三角形的两底角必为锐角.
∠B=∠C≥90°
∠A+∠B+∠C
三角形内角和为180°
不成立
锐角
课堂小结
等腰三角形的判定与反证法
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
步骤：
（1）假设结论不成立;
（2）推导与已知条件或定理等相矛盾的结果;
（3）从而证明原命题成立.