北师大版数学八年级下册 1.4 第2课时 三角形三条内角平分线 同步课件(共18张PPT)

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第一章 三角形的证明
1.4 第2课时 三角形三条内角平分线
知识回顾
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
获取新知
思考 (1)分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
思考 (2)分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
例题讲解
例1 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
D
E
F
A
B
C
P
N
M
CN是∠ACB的平分线
BM是∠ABC的平分线
PE=PF
PD=PE
PD=PF
点P在∠BAC的平分线上
分析：
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且
PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，
∴PD＝PE (角平分线的性质).
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上(角平分线的判定)，
即 ∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
归纳小结
三角形的内角平分线性质
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
例2 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
解(1)∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC＝BC，
∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角).
∵ ∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴ BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
∴ AC＝BC＝CD＋BD＝
E
D
A
B
C
(2) 证明：由(1)的求解过程易知，
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等)
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
随堂演练
1.三角形中,到三边距离相等的点是 (　　)
A.三条高线所在直线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点
C
2. 已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是(　　)
A．P为∠A与∠B的平分线的交点
B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
B
3.如图，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的
平分线交于点O，则∠BOC＝______．
140°
4.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，
其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.
4:5:6
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
解：如图，点P1 、 P2 、 P3 、 P4即为所求作的点.
课堂小结
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题