选择性必修第一册2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
3．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
4．已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（　　）
A．直线l1与直线l2可能重合
B．直线l1与直线l2可能垂直
C．直线l1与直线l2可能平行
D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
5．已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
6．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．直线和直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
10．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
11．已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则的最大值是（ ）
A． B．5 C．8 D．10
12．设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（ ）．
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过点的直线与直线平行；
③若，则直线经过的中点；
④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数______.
14．已知直线l：过定点P，则点P的坐标为________．
15．若点为直线上的动点，则的最小值为___________．
16．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标为________.
17．无论m取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为______．
三、解答题
18．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程.
19．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
20．求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)
（1）经过点，且斜率等于直线的斜率的倍；
（2）经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
21．已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
就直线与平行或过的中点可求直线的方程.
【详解】
若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.
故选：D.
2．A
由已知直线方程，直接判断它们的位置关系即可.
【详解】
是表示轴的直线，表示轴的直线，两条直线互相垂直．
故选：A．
3．A
根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】
由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
4．B
由直线位置关系的平行、重合、垂直的条件可得答案.
【详解】
直线l1∶xsina+y=0的斜率为，与直线l2∶3x+y+c=0斜率为，
若直线l1与直线l2重合，则，且，由于，故A错误；
若，则，直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；
若直线l1与直线l2平行，则，由于，故C错误；
由AC知，直线l1与直线l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直线l1不可能绕P旋转后与直线l2重合，故D错误.
故选：B.
5．D
由恒成立得可得定点.
【详解】
由得，
因为恒成立，
所以 解得 所以恒过定点
故选：D
6．A
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
7．C
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
8．C
根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】
根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
9．B
将直线方程化为斜截式方程，再根据斜率与截距判断即可；
【详解】
解：直线化为斜截式方程为，故斜率为；
直线化为斜截式方程为，故斜率为，
因为，
所以直线和直线的位置关系是平行.
故选：B
10．A
根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】
因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
11．D
先根据直线方程求出的坐标，再根据两条直线垂直得到，利用基本不等式可求的最大值.
【详解】
因为，故，
因为，故，
因为，故，故，
因为，故，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：D.
方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证.
12．D
由可得①正确，分和两种情况讨论可得直线与直线平行，可得②正确，当时，可得到，从而得到③正确，当时可得和，然后可得④正确.
【详解】
因为中，，所以点不在直线上，故①正确
当时，根据得到，化简得，
即直线的斜率为，又直线的斜率为，由①可知点不在直线上，
得到直线与直线平行
当时，可得直线与直线的斜率都不存在，也满足平行，故②正确
当时，得到，化简得
而线段的中点坐标为，所以直线经过的中点，故③正确
当时，得到，所以，
即，所以点在直线的同侧
且，可得点与点到直线的距离不等，
所以延长线与直线相交，故④正确
综上：命题正确的有4个
故选：D
本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.
13．12
求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于的方程，解方程后可得实数的值.
【详解】
令，则；令，则，
故，解得.
故答案为：.
本题考查直线的截距，注意截距不是距离，横截距是直线与轴交点的横坐标，纵截距是直线与轴交点的纵坐标，本题属于基础题.
14．
把给定方程化为，由直线恒过定点的意义列式计算即得．
【详解】
化为，
因直线l恒过定点，即无论m取何值等式都成立，
即与同时成立，由，解得，
所以点P的坐标为．
故答案为：
15．
把转化为，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】
由可化为，转化为点到点的距离的平方，
因为点为直线上的动点，
由原点到直线的距离为，
所以最小值为．
16．或
由直线的倾斜角求出直线的斜率，利用点斜式求得直线方程，进而得到直线在两坐标轴上的截距即可．
【详解】
∵直线PA的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°=1，∴直线PA的方程为y-（-1）=1×（x-2），即x-y-3=0．
令y=0，得x=3；令x=0，得y=-3．∴点P的坐标是（3，0）或（0，-3）．
故答案为：（3，0）或（0，-3）．
本题考查了直线的倾斜角和斜率，考查了直线在坐标轴上的截距，属于基础题．
17．
将直线方程化成，进而可得，解方程组即可求出结果.
【详解】
直线，即．令，解得所以该直线过定点．
故答案为：．
18．（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.
（1）由中点坐标公式可得BC的中点为M(4，2)，由两点式可得BC边上的中线所在直线的方程；
（2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程.
【详解】
（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).
因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，
即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.
（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.
因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.
因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，
即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.
本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.
19．（1）；（2）；（3）；（4）
（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】
（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
20．（1）；（2）或．
（1）由题意可得的斜率为，即可得所求直线的斜率，代入点斜式方程，即可得直线的方程，化简整理，即可得答案.
（2）当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，根据直线方程的截距式，代入点坐标，即可得直线方程；直线过原点时，设直线方程为，代入点坐标，即可得直线方程，综合即可得答案.
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，
化简得．
（2）由题意，当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，则所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
21．（1）
（2）或
(1)将含有的项提取出来,再令所乘的式为0,不含的项也为0,列方程求解即可.
(2)算出直线在轴上的截距令其相等求解即可.
【详解】
(1) 由化简得,
令 ,故直线恒过定点
(2)由题得中.
令有 ,故在轴上的截距为.
令有.故在轴上的截距为.
故,故或.
当时, 化简得,当时,化简得
故直线的方程为或
本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.
答案第1页，共2页
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