选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 824.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-19 18:38:31 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
2．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
3．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是（ ）
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
7．从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
8．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．若直线平分圆的周长，则a的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
11．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
12．垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为
A． B． C． D．
14．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．圆和圆的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数______.
17．已知圆，点是圆上一动点，若在圆上存在点，使得，则正数的最大值为________.
18．已知直线和圆相切，则实数的值为____________.
三、解答题
19．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）若圆C被直线截得的弦长为，求圆C的方程；
（2）当圆C面积最小时，求圆C的方程.
20．已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）设点Q(-1，)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.
21．已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与x轴相切，被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．
22．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
2．A
由两圆的方程分别求出圆心和半径，然后由两点间距离公式求出|C1C2|，与两圆半径作比较即可判断．
【详解】
圆C1：x2+y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r＝1，
圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0的圆心C2，半径R，
∴，而，
∴两圆相交．
故选：A．
3．D
先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线的距离为：
，
又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，所以，
解得或．
故选：D．
4．B
设圆心到直线的距离为，进而根据弦长得与关系解得，进而将问题转化为与直线的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
5．A
当圆心与的连线垂直于时，被圆截得的线段长最短，从而可求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
当时，l被圆截得的线段最短，，∴，
故所求直线l的方程为，即.
故选：A.
6．D
求出圆心到直线的距离，与半径比较，可得出结果.
【详解】
圆心(1，-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=<3，所以直线与圆相交.
故选：D
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于基础题目.
7．B
分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.
【详解】
圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，
设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
8．C
根据圆上总存在两点到原点的距离为1，转化为圆和圆相交，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，
即为圆和圆相交，
又由两圆圆心距，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为两个圆相交，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
9．D
假设点，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB过定点，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】
设，则，
以OP为直径的圆的方程是，
与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，
因为，所以，代入直线AB的方程，得，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1，1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，
所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.
故选:D
关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线AB的方程以及观察得到该直线过定点.
10．B
利用圆的性质可得直线平分圆的周长，必经过圆心，根据圆的一般方程的到圆心坐标，代入直线方程求得的值.
【详解】
解：圆的圆心坐标为,
直线平分圆的周长，则直线必经过圆心，
点在直线上，
，所以，
故选：B.
11．B
根据圆的标准方程，得到两圆的圆心和半径，求出圆心距，与半径比较，即可得出结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
因此圆心距为，
所以两圆外切.
故选：B.
本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.
12．B
分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.
【详解】
根据题意，圆，其圆心为，则，
圆，其圆心为，则，
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；
故选:B.
13．D
先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆的直径等于公共弦长为，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.
【详解】
联立，得，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，所以圆的半径为
故选D
本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.
14．C
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
15．B
本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】
∵两个圆与，
∴圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
∴两圆圆心距为，
∵，
∴两圆相交，有条公切线.
故选：B.
16．
由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．
【详解】
因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，
则，解得.
故答案为：．
本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．
17．
分析可得满足，结合条件可得圆与圆内切，从而可得答案．
【详解】
解：要使最大，考虑点在圆外，
若在圆上存在点，使得，
当直线与圆相切时，有最大值，
∴，即，则满足，
又点是圆上一动点，
由图可知，圆与圆内切，
∴，即，
故答案为：．
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题．
18．##
先求出圆心和半径，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值
【详解】
由，得，则圆心为，半径为1，
因为直线和圆相切，
所以，得，解得，
故答案为：
19．（1）；（2）.
（1）根据题意得圆心，根据弦长、半径和点线距列方程求解即可；
（2）根据半径为可得最值.
【详解】
（1）∵圆心在直线上，∴，即圆心.
又圆C过点，故它的半径为,
且圆心C到直线的距离为.
若圆C被直线截得的弦长为，则，
求得，故圆心、半径，故圆C的方程为.
（2）由于圆C的半径为，故当半径最小时，圆的面积最小，故当时，圆的面积最小.
此时，圆心，半径为，圆的方程为.
20．（1）；（2）.
（1）求出的垂直平分线和直线的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；
【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点．
的中点为，直线的斜率为1，
的垂直平分线的方程为，即．
由，得，即圆心．
半径．
故所求圆的标准方程为．
（2）点在圆上，
或(舍去)，，
，直线的方程为：，
点到直线的距离为4，
的面积．
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B，其圆心必在线段的中垂线上.
21．（1）；（2）.
（1）设圆标准方程，由垂径定理、圆与轴相切、关于直线对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程；
（2）将四边形面积转化为，只需求得最小值即可；根据且可求得最小值，代入可求得结果.
【详解】
（1）设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：…①
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
结合①有：，，
又，，，
圆的标准方程为：.
（2）与圆相切，，，
由得：，
圆心到直线的距离，
，即（当时取等号），
又，
（当时取等号），
四边形面积的最小值为.
关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
（Ⅰ）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.
（Ⅱ）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.
【详解】
（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
（Ⅱ）如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
2．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
3．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是（ ）
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
7．从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
8．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．若直线平分圆的周长，则a的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
11．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
12．垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为
A． B． C． D．
14．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．圆和圆的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数______.
17．已知圆，点是圆上一动点，若在圆上存在点，使得，则正数的最大值为________.
18．已知直线和圆相切，则实数的值为____________.
三、解答题
19．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）若圆C被直线截得的弦长为，求圆C的方程；
（2）当圆C面积最小时，求圆C的方程.
20．已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）设点Q(-1，)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.
21．已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与x轴相切，被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．
22．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
2．A
由两圆的方程分别求出圆心和半径，然后由两点间距离公式求出|C1C2|，与两圆半径作比较即可判断．
【详解】
圆C1：x2+y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r＝1，
圆C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0的圆心C2，半径R，
∴，而，
∴两圆相交．
故选：A．
3．D
先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线的距离为：
，
又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，所以，
解得或．
故选：D．
4．B
设圆心到直线的距离为，进而根据弦长得与关系解得，进而将问题转化为与直线的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
5．A
当圆心与的连线垂直于时，被圆截得的线段长最短，从而可求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
当时，l被圆截得的线段最短，，∴，
故所求直线l的方程为，即.
故选：A.
6．D
求出圆心到直线的距离，与半径比较，可得出结果.
【详解】
圆心(1，-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=<3，所以直线与圆相交.
故选：D
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于基础题目.
7．B
分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.
【详解】
圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，
设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
8．C
根据圆上总存在两点到原点的距离为1，转化为圆和圆相交，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，
即为圆和圆相交，
又由两圆圆心距，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为两个圆相交，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
9．D
假设点，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB过定点，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】
设，则，
以OP为直径的圆的方程是，
与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，
因为，所以，代入直线AB的方程，得，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1，1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，
所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.
故选:D
关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线AB的方程以及观察得到该直线过定点.
10．B
利用圆的性质可得直线平分圆的周长，必经过圆心，根据圆的一般方程的到圆心坐标，代入直线方程求得的值.
【详解】
解：圆的圆心坐标为,
直线平分圆的周长，则直线必经过圆心，
点在直线上，
，所以，
故选：B.
11．B
根据圆的标准方程，得到两圆的圆心和半径，求出圆心距，与半径比较，即可得出结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
因此圆心距为，
所以两圆外切.
故选：B.
本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.
12．B
分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.
【详解】
根据题意，圆，其圆心为，则，
圆，其圆心为，则，
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；
故选:B.
13．D
先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆的直径等于公共弦长为，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.
【详解】
联立，得，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，所以圆的半径为
故选D
本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.
14．C
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
15．B
本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】
∵两个圆与，
∴圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
∴两圆圆心距为，
∵，
∴两圆相交，有条公切线.
故选：B.
16．
由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．
【详解】
因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，
则，解得.
故答案为：．
本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．
17．
分析可得满足，结合条件可得圆与圆内切，从而可得答案．
【详解】
解：要使最大，考虑点在圆外，
若在圆上存在点，使得，
当直线与圆相切时，有最大值，
∴，即，则满足，
又点是圆上一动点，
由图可知，圆与圆内切，
∴，即，
故答案为：．
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题．
18．##
先求出圆心和半径，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值
【详解】
由，得，则圆心为，半径为1，
因为直线和圆相切，
所以，得，解得，
故答案为：
19．（1）；（2）.
（1）根据题意得圆心，根据弦长、半径和点线距列方程求解即可；
（2）根据半径为可得最值.
【详解】
（1）∵圆心在直线上，∴，即圆心.
又圆C过点，故它的半径为,
且圆心C到直线的距离为.
若圆C被直线截得的弦长为，则，
求得，故圆心、半径，故圆C的方程为.
（2）由于圆C的半径为，故当半径最小时，圆的面积最小，故当时，圆的面积最小.
此时，圆心，半径为，圆的方程为.
20．（1）；（2）.
（1）求出的垂直平分线和直线的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；
【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点．
的中点为，直线的斜率为1，
的垂直平分线的方程为，即．
由，得，即圆心．
半径．
故所求圆的标准方程为．
（2）点在圆上，
或(舍去)，，
，直线的方程为：，
点到直线的距离为4，
的面积．
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B，其圆心必在线段的中垂线上.
21．（1）；（2）.
（1）设圆标准方程，由垂径定理、圆与轴相切、关于直线对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程；
（2）将四边形面积转化为，只需求得最小值即可；根据且可求得最小值，代入可求得结果.
【详解】
（1）设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：…①
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
结合①有：，，
又，，，
圆的标准方程为：.
（2）与圆相切，，，
由得：，
圆心到直线的距离，
，即（当时取等号），
又，
（当时取等号），
四边形面积的最小值为.
关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
（Ⅰ）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.
（Ⅱ）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.
【详解】
（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
（Ⅱ）如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
答案第1页，共2页
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